Содержание (теория меры)

В математике , в частности в теории меры , содержание $\mu$ - это функция с действительным знаком, определенная для набора подмножеств ${\mathcal {A}}$ такой, что

1. $\mu (A)\in \ [0,\infty ]{\text{ whenever }}A\in {\mathcal {A}}.$
2. $\mu (\varnothing )=0.$
3. $\mu {\Bigl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}){\text{ whenever }}A_{1},\dots ,A_{n},\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}{\text{ and }}A_{i}\cap A_{j}=\varnothing {\text{ for }}i\neq j.$

То есть содержание есть обобщение меры : если последняя должна быть счетно-аддитивной, то первая должна быть лишь конечно-аддитивной.

Во многих важных приложениях ${\mathcal {A}}$ выбирается кольцом множеств или, по крайней мере, полукольцом множеств, и в этом случае можно вывести некоторые дополнительные свойства, которые описаны ниже. По этой причине некоторые авторы предпочитают определять содержание только для случая полуколец или даже колец.

Если содержание дополнительно является σ -аддитивным, оно называется предварительной мерой , а если, кроме того, ${\mathcal {A}}$ является σ -алгеброй , ее содержание называется мерой . Следовательно, каждая (действительная) мера является содержанием, а не наоборот. Содержание дает хорошее представление об интегрировании ограниченных функций в пространстве, но может вести себя плохо при интегрировании неограниченных функций, тогда как меры дают хорошее представление об интегрировании неограниченных функций.

Примеры

Классическим примером является определение содержимого на всех полуоткрытых интервалах. $[a,b)\subseteq \mathbb {R}$ установив их содержание в соответствии с длиной интервалов, то есть $\mu ([a,b))=b-a.$ Далее можно показать, что это содержание на самом деле является σ -аддитивным и, таким образом, определяет предварительную меру на полукольце всех полуинтервалов. Это можно использовать для построения меры Лебега для прямой вещественных чисел, используя теорему Каратеодори о продолжении . Более подробную информацию об общей конструкции см. в статье о мере Лебега .

Примером содержимого, которое не является мерой σ -алгебры, является содержимое всех подмножеств положительных целых чисел, имеющих значение $1/2^{n}$ на любое целое число $n$ и бесконечно на любом бесконечном подмножестве.

Пример содержания натуральных чисел, которое всегда конечно, но не является мерой, можно дать следующим образом. Возьмем положительный линейный функционал на ограниченных последовательностях, равный 0, если последовательность имеет только конечное число ненулевых элементов и принимает значение 1 в последовательности. $1,1,1,\ldots ,$ поэтому функционал в некотором смысле дает «среднее значение» любой ограниченной последовательности. (Такой функционал не может быть построен явно, но существует по теореме Хана–Банаха .) Тогда содержимым набора натуральных чисел является среднее значение последовательности, равное 1 на этом наборе и 0 в другом месте. Неформально можно думать о содержимом подмножества целых чисел как о «шансе» того, что случайно выбранное целое число лежит в этом подмножестве (хотя это несовместимо с обычными определениями шанса в теории вероятностей, которые предполагают счетную аддитивность).

Характеристики

Часто содержимое определяется в коллекциях наборов, удовлетворяющих дальнейшим ограничениям. В этом случае можно вывести дополнительные свойства, которые в целом не выполняются для содержимого, определенного в любых коллекциях множеств.

На полукольцах

Если ${\mathcal {A}}$ образует полукольцо множеств , то можно вывести следующие утверждения:

• Каждый контент $\mu$ является монотонным , то есть $$A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B){\text{ for }}A,B\in {\mathcal {A}}.$$
• Каждый контент $\mu$ является субаддитивным , то есть

$\mu (A\cup B)\leq \mu (A)+\mu (B)$ для $A,B\in {\mathcal {A}}$ такой, что $A\cup B\in {\mathcal {A}}.$

На кольцах

Если, кроме того, ${\mathcal {A}}$ представляет собой Кольцо наборов, которые можно получить дополнительно:

• Субтрактивность : для $B\subseteq A$ удовлетворяющий $\mu (B)<\infty$ следует $\mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B).$
• $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).$
• Субаддитивность : $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc ,n)\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).$
• $\sigma$-Супераддитивность : для любого $A_{i}\in {\mathcal {A}}\;(i=1,2,\dotsc )\$ попарно непересекающееся, удовлетворяющее $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A}}$ у нас есть $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i}).$
• Если $\mu$ является конечным содержанием, т.е. $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \mu (A)<\infty ,$ тогда применяется принцип включения-исключения : $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dotsc ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$$ где $A_{i}\in {\mathcal {A}}$ для всех $i\in \{1,\dotsc ,n\}.$

Интегрирование ограниченных функций

В целом интеграция функций по отношению к контенту работает не очень хорошо. Однако существует правильное понятие интегрирования при условии, что функция ограничена и общее содержимое пространства конечно, а именно:

Предположим, что общее содержимое пространства конечно. Если $f$ является ограниченной функцией в пространстве, такой что прообраз любого открытого подмножества действительных чисел имеет содержание, то мы можем определить интеграл от $f$ относительно содержания, как $$\int f\,d\lambda =\lim \sum _{i=1}^{n}f(\alpha _{i})\lambda (f^{-1}(A_{i}))$$где $A_{i}$ образуют конечный набор непересекающихся полуоткрытых множеств, объединение которых охватывает область значений $f,$ и $\alpha _{i}$ это любой элемент $A_{i},$ и где за предел принимаются диаметры множеств $A_{i}$ стремятся к 0.

Дуальные пространства ограниченных функций

Предположим, что $\mu$ является мерой некоторого пространства $X.$ Ограниченные измеримые функции на $X$ образуют банахово пространство относительно супремума. Положительные элементы двойственного этого пространства соответствуют ограниченному содержанию $\lambda$ $X,$ со значением $\lambda$ на $f$ заданный интегралом $\int f\,d\lambda .$ Аналогичным образом можно сформировать пространство существенно ограниченных функций с нормой, заданной существенной супремумом, а положительные элементы двойственного этого пространства задаются ограниченным содержанием, которое обращается в нуль на множествах меры 0.

Построение меры из содержания

Существует несколько способов построить меру µ из содержимого. $\lambda$ на топологическом пространстве. В этом разделе дается один такой метод для локально компактных хаусдорфовых пространств , содержание которых определено на всех компактных подмножествах. В общем, мера не является расширением содержания, поскольку содержание может не быть счетно-аддитивным, и мера может даже быть тождественно нулевой, даже если содержание таковым не является.

Сначала ограничьте содержимое компактными наборами. Это дает функцию $\lambda$ компактных наборов $C$ со следующими свойствами:

1. $\lambda (C)\in \ [0,\infty ]$ для всех компактных наборов $C$
2. $\lambda (\varnothing )=0.$
3. $\lambda (C_{1})\leq \lambda (C_{2}){\text{ whenever }}C_{1}\subseteq C_{2}$
4. $\lambda (C_{1}\cup C_{2})\leq \lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ для всех пар компактов
5. $\lambda (C_{1}\cup C_{2})=\lambda (C_{1})+\lambda (C_{2})$ для всех пар непересекающихся компактов.

Также есть примеры функций $\lambda$ как указано выше, не построено на основе содержимого. Примером может служить построение меры Хаара на локально компактной группе . Один из методов построения такой меры Хаара — создать левоинвариантную функцию $\lambda$ как и выше, на компактных подмножествах группы, которые затем можно расширить до левоинвариантной меры.

Определение открытых множеств

Учитывая λ, как указано выше, мы определяем функцию µ на ​​всех открытых множествах формулой $$\mu (U)=\sup _{C\subseteq U}\lambda (C).$$Это имеет следующие свойства:

1. $\mu (U)\in \ [0,\infty ]$
2. $\mu (\varnothing )=0$
3. $\mu (U_{1})\leq \mu (U_{2}){\text{ whenever }}U_{1}\subseteq U_{2}$
4. $\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)\leq \sum _{n}\lambda (U_{n})$ для любой коллекции открытых наборов
5. $\mu \left(\bigcup _{n}U_{n}\right)=\sum _{n}\lambda (U_{n})$ для любого набора непересекающихся открытых множеств.

Определение на всех комплектах

Учитывая µ, как указано выше, мы расширяем функцию µ на ​​все подмножества топологического пространства с помощью $$\mu (A)=\inf _{A\subseteq U}\mu (U).$$Это внешняя мера , иными словами, она обладает следующими свойствами:

1. $\mu (A)\in \ [0,\infty ]$
2. $\mu (\varnothing )=0.$
3. $\mu (A_{1})\leq \mu (A_{2}){\text{ whenever }}A_{1}\subseteq A_{2}$
4. $\mu \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\lambda (A_{n})$ для любого счетного набора множеств.

Построение меры

Функция µ, приведенная выше, является внешней мерой семейства всех подмножеств. Следовательно, она становится мерой, если ограничиваться измеримыми подмножествами внешней меры, которыми являются подмножества $E$ такой, что $\mu (X)=\mu (X\cap E)+\mu (X\setminus E)$ для всех подмножеств $X.$ Если пространство локально компактно, то любое открытое множество измеримо по этой мере.

Мера $\mu$ не обязательно совпадает с содержанием $\lambda$ на компактных множествах. Однако это так, если $\lambda$ является регулярным в том смысле, что для любого компакта $C,$ $\lambda (C)$ это информация $\lambda (D)$ для компактных наборов $D$ содержащий $C$ в их интерьерах.

См. также

• Содержание Минковского

Ссылки

• Эльстродт, Юрген (2018), Теория измерения и интегрирования , Springer-Verlag
• Халмос, Пол (1950), Теория меры , Ван Ностранд и компания.
• Майрхофер, Карл (1952), Содержание и мера , Springer-Verlag, MR   0053185