Чистая математика
 | Эта статья написана как личное размышление, личное эссе или аргументативное эссе , в котором излагаются личные чувства редактора Википедии или представлен оригинальный аргумент по определенной теме. ( декабрь 2023 г. ) |
| Часть серии о | ||
| Математика | ||
|---|---|---|
 Математический портал | ||
Чистая математика — это изучение математических понятий независимо от каких-либо приложений за пределами математики . Эти концепции могут возникать из реальных проблем, а полученные результаты могут позже оказаться полезными для практических приложений, но чистые математики не заинтересованы в первую очередь в таких приложениях. Вместо этого привлекательность объясняется интеллектуальной сложностью и эстетической красотой разработки логических следствий основных принципов.
Хотя чистая математика существовала как вид деятельности, по крайней мере, со времен Древней Греции , эта концепция была разработана примерно в 1900 году. [2] после введения теорий с нелогичными свойствами (таких как неевклидова геометрия и теория бесконечных множеств Кантора ) и открытия очевидных парадоксов (таких как непрерывные функции, которые нигде не дифференцируются , и парадокс Рассела ). Это привело к необходимости обновить концепцию математической строгости и соответствующим образом переписать всю математику с систематическим использованием аксиоматических методов . Это побудило многих математиков сосредоточиться на математике как таковой, то есть на чистой математике.
Тем не менее, почти все математические теории по-прежнему основывались на проблемах, исходящих из реального мира или менее абстрактных математических теорий. Кроме того, многие математические теории, которые, казалось, были совершенно чистой математикой, со временем стали использоваться в прикладных областях, главным образом в физике и информатике . Известным ранним примером является демонстрация Исааком Ньютоном того, что его закон всемирного тяготения подразумевает, что планеты движутся по орбитам, которые представляют собой конические сечения , геометрические кривые, которые изучал в древности Аполлоний . Другой пример — проблема факторизации больших целых чисел , лежащая в основе криптосистемы RSA , широко используемой для защиты интернет- коммуникаций. [3]
Отсюда следует, что в настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее философской точкой зрения или предпочтением математика, а не жестким подразделением математики. [ нужна ссылка ]
История
[ редактировать ]Древняя Греция
[ редактировать ]Древнегреческие математики были одними из первых, кто провел различие между чистой и прикладной математикой. Платон помог создать разрыв между «арифметикой», ныне называемой теорией чисел , и «логистикой», ныне называемой арифметикой . Платон считал логистику (арифметику) подходящей для бизнесменов и военных, которые «должны научиться искусству чисел, иначе [они] не будут знать, как выстроить [свои] войска», а арифметику (теорию чисел) — подходящей для философов, «потому что [ они должны] подняться из моря перемен и ухватиться за истинное бытие». [4] Евклид Александрийский , когда один из его учеников спросил, какая польза от изучения геометрии, попросил своего раба дать ученику три пенса, «поскольку он должен извлечь выгоду из того, что узнает». [5] Греческого математика Аполлония Пергского спросили о полезности некоторых из его теорем в книге IV «Коники» , на что он с гордостью заявил: [6]
Они достойны принятия ради самих доказательств, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике именно по этой и ни по какой другой причине.
А поскольку многие из его результатов не были применимы к науке или технике того времени, Аполлоний далее утверждал в предисловии к пятой книге « Коники» , что этот предмет является одним из тех, которые «... кажутся достойными изучения сами по себе. ." [6]
19 век
[ редактировать ]Сам этот термин закреплен в полном названии садлейрианской кафедры «Садлейрианский профессор чистой математики», основанной (как профессор) в середине девятнадцатого века. идея отдельной дисциплины чистой Возможно, именно тогда возникла математики. Поколение Гаусса не проводило резкого различия между чистым и прикладным . В последующие годы специализация и профессионализация (особенно в подходе Вейерштрасса к математическому анализу ) начали делать раскол более очевидным.
20 век
[ редактировать ]В начале двадцатого века математики взяли на вооружение аксиоматический метод , находящийся под сильным влиянием Дэвида Гильберта примера . Логическая формулировка чистой математики, предложенная Бертраном Расселом в терминах кванторной структуры предложений, казалась все более и более правдоподобной по мере того, как большие части математики становились аксиоматизированными и, таким образом, подчинялись простым критериям строгого доказательства .
Чистая математика, согласно точке зрения, которую можно приписать группе Бурбаки , и есть то, что доказано. «Чистый математик» стал признанной профессией, достижимой посредством обучения.
Было доказано, что чистая математика полезна в инженерном образовании : [7]
- Происходит тренировка образа мышления, точек зрения и интеллектуального понимания обычных инженерных проблем, которую может дать только изучение высшей математики.
Общность и абстракция
[ редактировать ]
Одной из центральных концепций чистой математики является идея общности; чистая математика часто демонстрирует тенденцию к большей общности. Использование и преимущества общности включают следующее:
- Обобщение теорем или математических структур может привести к более глубокому пониманию исходных теорем или структур.
- Общность может упростить изложение материала, в результате чего доказательства или аргументы станут короче, и их будет легче понять.
- Можно использовать общность, чтобы избежать дублирования усилий, доказывая общий результат вместо необходимости доказывать отдельные случаи независимо или использовать результаты из других областей математики.
- Общность может облегчить связи между различными разделами математики. Теория категорий — это одна из областей математики, посвященная исследованию этой общности структур, проявляющейся в некоторых областях математики.
Влияние общности на интуицию зависит как от предмета, так и от личных предпочтений или стиля обучения. Часто общность рассматривается как препятствие для интуиции, хотя она, безусловно, может служить ей подспорьем, особенно когда она обеспечивает аналогии с материалом, для которого уже имеется хорошая интуиция.
В качестве яркого примера общности программа Эрлангена включала расширение геометрии для включения неевклидовой геометрии , а также области топологии и других форм геометрии, рассматривая геометрию как исследование пространства вместе с группой преобразований. . Изучение чисел , называемое алгеброй на начальном уровне бакалавриата, распространяется на абстрактную алгебру на более продвинутом уровне; а изучение функций , называемое исчислением на уровне первокурсников колледжа, становится математическим анализом и функциональным анализом на более продвинутом уровне. Каждая из этих отраслей более абстрактной математики имеет множество подспециальностей, и на самом деле существует множество связей между чистой математикой и дисциплинами прикладной математики. резкий рост абстракции В середине 20 века наблюдался .
Однако на практике эти разработки привели к резкому отходу от физики , особенно в период с 1950 по 1983 год. Позже это подверглось критике, например, со стороны Владимира Арнольда , как слишком много Гильберта , недостаточно Пуанкаре . Вопрос, кажется, еще не решен, поскольку теория струн тянет в одну сторону, в то время как дискретная математика отступает к доказательству как центральному принципу.
Чистая и прикладная математика
[ редактировать ]Математики всегда имели разные мнения относительно различия между чистой и прикладной математикой. Один из самых известных (но, возможно, неправильно понятых) современных примеров этой дискуссии можно найти в эссе Г.Х. Харди 1940 года «Апология математика» .
Широко распространено мнение, что Харди считал прикладную математику уродливой и скучной. Хотя это правда, что Харди предпочитал чистую математику, которую он часто сравнивал с живописью и поэзией , Харди видел различие между чистой и прикладной математикой просто в том, что прикладная математика стремилась выразить физическую истину в математической структуре, тогда как чистая математика выражала истины, которые были независимы от физического мира. Харди провел в математике отдельное различие между тем, что он называл «настоящей» математикой, «которая имеет постоянную эстетическую ценность», и «скучными и элементарными частями математики», имеющими практическое применение. [8]
Харди считал некоторых физиков, таких как Эйнштейн и Дирак , одними из «настоящих» математиков, но в то время, когда он писал свою «Апологию» , он считал общую теорию относительности и квантовую механику «бесполезными», что позволило ему придерживаться мнение, что полезна только «скучная» математика. Более того, Харди вкратце признал, что — точно так же, как применение теории матриц и теории групп к физике произошло неожиданно, — может наступить время, когда некоторые виды красивой, «настоящей» математики также могут оказаться полезными.
Другой проницательный взгляд предлагает американский математик Энди Магид :
Я всегда думал, что хорошую модель здесь можно почерпнуть из теории колец. В этом предмете есть разделы коммутативной теории колец и некоммутативной теории колец . Неосведомленный наблюдатель может подумать, что это дихотомия, но на самом деле последняя включает в себя первую: некоммутативное кольцо — это не обязательно коммутативное кольцо. Если мы используем аналогичные соглашения, то мы могли бы ссылаться на прикладную математику и неприкладную математику, где под последней мы подразумеваем необязательно прикладную математику ... [курсив добавлен] [9]
Фридрих Энгельс в своей книге «Анти-Дюринг» 1878 года утверждал , что «совершенно неверно, что в чистой математике разум имеет дело только со своими собственными творениями и фантазиями. Понятия числа и фигуры не были изобретены ни из какого источника, кроме мира. реальности». [10] : 36 Далее он утверждал, что «прежде чем прийти к идее вывести форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, необходимо было изучить ряд реальных прямоугольников и цилиндров, какими бы несовершенными они ни были по форме. Как и все другие науки, математика возникла из потребностей человека... Но, как и во всякой области мысли, на известной ступени развития законы, абстрагированные от реального мира, оторваны от реального мира и устанавливаются противостоять ему как чему-то независимому, как законам, приходящим извне, которым мир должен подчиняться». [10] : 37
См. также
[ редактировать ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ «Чистая математика» . Университет Ливерпуля . Проверено 24 марта 2022 г.
- ^ Пьяджио, HTH, «Садлейрианские профессора» , в О'Конноре, Джоне Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.), Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ Робинсон, Сара (июнь 2003 г.). «Все еще сохраняя секреты после многих лет атак, RSA заслужила признание своих основателей» (PDF) . СИАМ Новости . 36 (5).
- ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Эпоха Платона и Аристотеля» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 86 . ISBN 0-471-54397-7 .
- ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Евклид Александрийский» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 101 . ISBN 0-471-54397-7 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский» . История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., стр. 152 . ISBN 0-471-54397-7 .
- ^ А. С. Хэтэуэй (1901) «Чистая математика для студентов-инженеров» , Бюллетень Американского математического общества 7 (6): 266–71.
- ^ Левинсон, Норман (1970). «Теория кодирования: контрпример концепции прикладной математики Г.Х. Харди» . Американский математический ежемесячник . 77 (3): 249–258. дои : 10.2307/2317708 . ISSN 0002-9890 .
- ^ Энди Магид (ноябрь 2005 г.) Письмо редактора , Уведомления Американского математического общества , стр. 1173
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Энгельс, Фридрих (1987). Собрание сочинений Маркса Энгельса (том 25) (английское изд.). Москва: Издательство Прогресс. п. 33-133. ISBN 0-7178-0525-5 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]
- Что такое чистая математика? – Кафедра чистой математики, Университет Ватерлоо
- Принципы математики Бертрана Рассела
Основные математики области |
|---|
