Гильбертов спектр

Гильбертовый спектр частотно-модулированного сигнала в форме, заданной формулой $x(t)=(c_{1}-c_{2}t)\cdot \cos {\big (}\omega t+\epsilon \sin(2\omega t){\big )}$ .

Спектр Гильберта (иногда называемый амплитудным спектром Гильберта ), названный в честь Дэвида Гильберта , представляет собой статистический инструмент, который может помочь различать смесь движущихся сигналов. Сам спектр разлагается на составляющие его источники с помощью независимого компонентного анализа . Разделение совокупного воздействия неопознанных источников ( слепое разделение сигналов ) находит применение в климатологии , сейсмологии и биомедицинской визуализации .

Концептуальное резюме

Спектр Гильберта вычисляется в виде двухэтапного процесса, состоящего из:

Предварительная обработка сигнала разделяет его на функции внутреннего режима с использованием математического разложения, такого как разложение по сингулярным значениям (SVD) или разложение по эмпирическим режимам (EMD);
Применяя преобразование Гильберта к результатам вышеуказанного шага, чтобы получить мгновенный частотный спектр каждого из компонентов.

определяет Преобразование Гильберта мнимую часть функции , чтобы сделать ее аналитической функцией (иногда называемой прогрессивной функцией ), то есть функцией, мощность сигнала которой равна нулю для всех частотных составляющих, меньших нуля.

С помощью преобразования Гильберта сингулярные векторы дают мгновенные частоты, которые являются функциями времени, так что результатом является распределение энергии по времени и частоте .

Результатом является способность фиксировать частотно-временную локализацию, чтобы сделать концепцию мгновенной частоты и времени актуальной (в противном случае концепция мгновенной частоты является абстрактной или ее трудно определить для всех сигналов, кроме однокомпонентных).

Определение

Для данного сигнала $x(t)$ разложить (например, с помощью разложения по эмпирическому режиму ) на

$x(t)=r(t)+\sum _{j=1}^{k}c_{j}(t)$

где $k$ - это количество внутренних функций режима, которые $x(t)$ состоит из и

$c_{j}(t)=\mathbb {R} {\big \{}a_{j}(t)e^{-i\theta _{j}(t)}{\big \}}=a_{j}(t)\cos {\big (}\theta _{j}(t){\big )}$

Мгновенная угловая частота тогда определяется как

$\omega _{j}(t)={\frac {d\theta _{j}(t)}{dt}}$

Отсюда мы можем определить спектр Гильберта. ^[1] для $c_{j}(t)$ как

$H_{j}(\omega ,t)={\begin{cases}a_{j}(t),&\omega =\omega _{j}(t)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Гильбертовский спектр $x(t)$ затем дается

$H(\omega ,t)=\sum _{j=1}^{k}H_{j}(\omega ,t)$

Маргинальный гильбертовский спектр

Двумерное представление спектра Гильберта, называемое маргинальным спектром Гильберта, определяется как

$h(\omega )={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}H(\omega ,t)dt$

где $T$ длина дискретизированного сигнала $x(t)$ . Маргинальный спектр Гильберта показывает полную энергию, которую вносит каждое значение частоты. ^[1]

Приложения

Спектр Гильберта имеет множество практических приложений. Одним из примеров применения, впервые предложенного профессором Ричардом Кобболдом , является использование спектра Гильберта для анализа кровотока с помощью импульсной допплерографии . Другие применения спектра Гильберта включают анализ климатических особенностей , волн на воде и тому подобное.

См. также

Преобразование Гильберта – Хуанга

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Норден Э Хуанг, Сэмюэл С. П. Шен, Преобразование Гильберта-Хуана и его приложения, 2-е издание

Хуанг и др., « Эмпирическое модовое разложение и гильбертовский спектр для нелинейного и нестационарного анализа временных рядов », Proc. Р. Сок. Лонд. (А) 1998 г.
Хуанг, Северная Каролина; и др. (2016). «О спектральном анализе Голо-Гильберта: полное информационное спектральное представление нелинейных и нестационарных данных» . Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. А. 374 (2065): 20150206. Бибкод : 2016RSPTA.37450206H . дои : 10.1098/rsta.2015.0206 . ПМЦ 4792412 . ПМИД 26953180 .

[Hilbert-Huang_Transform_and_Its_Applications-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Норден Э Хуанг, Сэмюэл С. П. Шен, Преобразование Гильберта-Хуана и его приложения, 2-е издание

[1]