Прогрессивная функция

В математике функция прогрессивная ƒ ∈ L ² ( R ) — функция, преобразование Фурье которой поддерживается только положительными частотами:

$\mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{+}.$

Он называется суперрегрессивным тогда и только тогда, когда обращенная во времени функция f (− t ) прогрессивна или, что то же самое, если

$\mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{-}.$

Комплексно -сопряженная прогрессивная функция является регрессивной, и наоборот.

Пространство прогрессивных функций иногда обозначают $H_{+}^{2}(R)$, которое известно как пространство Харди верхней полуплоскости. Это связано с тем, что прогрессивная функция имеет формулу обращения Фурье.

$f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}{\hat {f}}(s)\,ds$

и, следовательно, продолжается до голоморфной функции в верхней полуплоскости $\{t+iu:t,u\in R,u\geq 0\}$

по формуле

$f(t+iu)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi is(t+iu)}{\hat {f}}(s)\,ds=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}e^{-2\pi su}{\hat {f}}(s)\,ds.$

Обратно, каждая голоморфная функция в верхней полуплоскости, равномерно интегрируемая с квадратом на каждой горизонтальной прямойвозникнет таким образом.

Регрессивные функции аналогичным образом связаны с пространством Харди в нижней полуплоскости. $\{t+iu:t,u\in R,u\leq 0\}$.

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из прогрессивной функции PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .