Минор (линейная алгебра)
В линейной алгебре минор . матрицы A A — это определитель некоторой меньшей квадратной матрицы , вырезанной из путем удаления одной или нескольких ее строк и столбцов Миноры, полученные удалением всего одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), необходимы для вычисления сомножителей матрицы , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц. Требование, чтобы квадратная матрица была меньше исходной, в определении часто опускается.
Определение и иллюстрация
[ редактировать ]Первые несовершеннолетние
[ редактировать ]Если A — квадратная матрица, то минор записи в i -й строке и j -м столбце (также называемый ( i , j ) минором или первым минором [1] ) — определитель подматрицы , образованной удалением i- й строки и j -го столбца. Это число часто обозначается Mi ,j . ( i , j ) Кофактор получается путем умножения минора на .
Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3:
Чтобы вычислить минор M 2,3 и кофактор C 2,3 , мы находим определитель приведенной выше матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.
Таким образом, кофактор записи (2,3) равен
Общее определение
[ редактировать ]Пусть A — матрица размера m × n , а k — целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . A k × k минор A A , также называемый младшим определителем порядка k или A , если m = n , ( n - k ) минорным определителем ( -м слово «определитель» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядок») — это определитель матрицы размера k × k , полученной из A удалением m − k строк и n — k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения матрицы k × k , полученной из A , как указано выше (путем удаления m - k строк и n - k столбцов), но эту матрицу следует называть (квадратной) подматрицей A , оставляя термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A , как указано выше, всего существует миноры размера k × k . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы нулевой минор является просто определителем матрицы. [2] [3]
Позволять и Будучи упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовем их I и J соответственно. Несовершеннолетний соответствующий такому выбору индексов, обозначается или или или или или (где обозначает последовательность индексов I и т. д.), в зависимости от источника. Также в литературе используются два типа обозначений: минорные, связанные с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы [4] означают определитель матрицы, которая формируется, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строк, индексы которых находятся в I, и столбцов, индексы которых находятся в J , тогда как некоторые другие авторы подразумевают под минором, связанным с I и J , определитель матрицы, сформированной из исходной матрицы путем удаления строк в и столбцов в J. I [2] Какие обозначения используются, всегда следует проверять по соответствующему источнику. В этой статье мы используем инклюзивное определение выбора элементов из строк I и столбцов J . Исключительным случаем является случай первого минора или ( i , j )-минор, описанный выше; в этом случае исключительное значение является стандартным во всей литературе и используется также в этой статье.
Дополнить
[ редактировать ]Дополнение B ijk...,pqr... минора M ijk...,pqr... квадратной матрицы A формируется определителем матрицы A, из которого все строки ( ijk... ) и столбцы ( pqr... ), связанные с M ijk...,pqr..., были удалены. Дополнением первого минора элемента a ij является просто этот элемент. [5]
Применение миноров и кофакторов
[ редактировать ]Кофакторное разложение определителя
[ редактировать ]Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения определителей, которая представляет собой метод вычисления больших определителей через меньшие. Учитывая размера n × n матрицу , определитель A , обозначаемый det( A ), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их породили. Другими словами, определение тогда разложение кофактора по j -му столбцу дает:
Разложение кофактора по i- й строке дает:
Обратная матрица
[ редактировать ]Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее сомножители с помощью правила Крамера следующим образом. Матрица, образованная всеми сомножителями квадратной матрицы A, называется матрицей сомножителей (также называемой матрицей сомножителей или, иногда, коматрицей ):
Тогда инверсия A представляет собой транспонирование матрицы-сомножителя, умноженное на обратную величину определителя A :
Транспонирование матрицы-сомножителя называется сопряженной матрицей (также называемой классическим сопряженным ) A. матрицы
Приведенную выше формулу можно обобщить следующим образом: Пусть и — упорядоченные последовательности (в естественном порядке) индексов (здесь A — матрица размера n × n ). Затем [6]
где I' , J' обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополнительные к I , J , так что каждый индекс 1,..., n появляется ровно один раз либо в I , либо в I. ′ , но не в обоих (аналогично для J и J′ ) и обозначает определитель подматрицы A, образованной путем выбора строк набора индексов I и столбцов набора индексов J . Также, . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. Действительно,
где являются базисными векторами. Действуя по А с обеих сторон, получим
Знак можно разработать так, чтобы он был , поэтому знак определяется суммами элементов в I и J .
Другие приложения
[ редактировать ]Учитывая матрицу размера m × n с вещественными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r , тогда существует хотя бы один ненулевой минор размера r × r , в то время как все большие миноры равны нулю.
Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A — матрица размера m × n , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., n } с k элементами, то мы пишем [ A ] I , J для k × k минора A , который соответствует строкам с индексом в I и столбцам с индексом в J .
- Если I = J , то [ A ] I , J называется главным минором .
- Если матрица, соответствующая главной минорной матрице, представляет собой квадратную верхнюю левую подматрицу большей матрицы (т. е. она состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k , также называемых ведущей главной подматрицей), то главная минорная матрица называется ведущим главным минором (порядка k) или угловым (главным) минором (порядка k) . [3] Для квадратной матрицы размера n × n существует n ведущих главных миноров.
- Базовый минор матрицы — это определитель квадратной подматрицы максимального размера с ненулевым определителем. [3]
- Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки положительной определенности , а главные миноры могут использоваться для проверки положительной полуопределенности . см . в критерии Сильвестра . Подробнее
Как формула обычного умножения матриц , так и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц.Предположим, что A — матрица размера m × n , B — матрица размера n × p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p }. с k элементами. Затем
где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.
Подход полилинейной алгебры
[ редактировать ]Более систематическая, алгебраическая трактовка миноров дается в полилинейной алгебре с использованием клинового произведения : k -миноры матрицы являются элементами k -го внешнего степенного отображения.
Если столбцы матрицы соединяются вместе k одновременно, миноры k × k появляются как компоненты результирующих k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы
равны -13 (из первых двух строк), -7 (из первой и последней строки) и 5 (из последних двух строк). Теперь рассмотрим клиновое произведение
где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства клинового произведения, а именно его билинейность и знакопеременность ,
и антисимметричный ,
мы можем упростить это выражение до
где коэффициенты согласуются с минорами, вычисленными ранее.
Замечание о других обозначениях
[ редактировать ]В некоторых книгах вместо кофактора термин адъюнкт . используется [7] При этом он обозначается как Aij : и определяется так же, как и кофактор
Используя эти обозначения, обратная матрица записывается следующим образом:
Имейте в виду, что дополнение не является сопряженным или присоединенным . В современной терминологии под «сопряженным» матрицей чаще всего понимается соответствующий сопряженный оператор .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Бернсайд, Уильям Сноу и Пантон, Артур Уильям (1886) Теория уравнений: с введением в теорию двоичных алгебраических форм .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Элементарная матричная алгебра (третье издание), Франц Э. Хон, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с "Незначительный". Энциклопедия математики .
- ^ Линейная алгебра и геометрия, Игорь Р. Шафаревич, Алексей О. Ремизов, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
- ^ Берта Джеффрис, Методы математической физики , стр. 135, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-66402-0 .
- ^ Виктор Васильевич Прасолов (13 июня 1994 г.). Проблемы и теоремы линейной алгебры . Американское математическое соц. стр. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6 .
- ^ Феликс Гантмахер , Теория матриц (1-е изд., язык оригинала русский), Москва: Государственное издательство технической и теоретической литературы, 1953, с.491,