Теорема Бертини

В математике теорема Бертини — теорема существования и типичности гладких связных гиперплоских сечений для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями , введенная Эудженио Бертини . Это самая простая и широкая из «теором Бертини», применимая к линейной системе делителей ; Самый простой, поскольку нет ограничений на характеристику основного поля, в то время как для расширений требуется характеристика 0. ^[1]^[2]

Утверждение для гиперплоских сечений гладких многообразий

Пусть X — гладкое квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, вложенное в проективное пространство. $\mathbf {P} ^{n}$ .Позволять $|H|$ обозначим полную систему дивизоров гиперплоскости в $\mathbf {P} ^{n}$ . Напомним, что это двойственное пространство $(\mathbf {P} ^{n})^{\star }$ из $\mathbf {P} ^{n}$ и изоморфен $\mathbf {P} ^{n}$ .

Теорема Бертини утверждает, что множество гиперплоскостей, не содержащих X и имеющих гладкое пересечение с X, содержит открытое плотное подмножество полной системы дивизоров. $|H|$ . Само множество открыто, если X проективно. Если $\dim(X)\geq 2$ , то эти пересечения (называемые гиперплоскими сечениями X ) связны и, следовательно, неприводимы.

Таким образом, теорема утверждает, что общее гиперплоское сечение, не равное X, является гладким, то есть свойство гладкости является общим.

Над произвольным полем k существует плотное открытое подмножество двойственного пространства $(\mathbf {P} ^{n})^{\star }$ которого рациональные точки определяют гиперплоскости. Гладкие гиперплоские сечения X . Когда k бесконечно, это открытое подмножество имеет бесконечно много рациональных точек, и в X существует бесконечно много гладких гиперплоских сечений .

Над конечным полем указанное выше открытое подмножество может не содержать рациональных точек и, вообще, не существует гиперплоскостей с гладким пересечением с X . Однако если взять гиперповерхности достаточно больших степеней, то теорема Бертини верна. ^[3]

Схема доказательства

Рассмотрим подрасслоение многообразия произведений $X\times |H|$ с волокном выше $x\in X$ линейная система гиперплоскостей, X пересекающих нетрансверсально в точке x .

Ранг расслоения в произведении на единицу меньше коразмерности $X\subset \mathbf {P} ^{n}$ , так что общее пространство имеет меньшую размерность, чем $n$ и поэтому его проекция содержится в дивизоре полной системы $|H|$ .

Общее заявление

Над любым бесконечным полем $k$ характеристики 0, если X — гладкая квазипроективная $k$ -многообразие, общий член линейной системы дивизоров на X является гладким вдали от базового множества системы. Для пояснения это означает, что для данной линейной системы $f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}$ , прообраз $f^{-1}(H)$ гиперплоскости H является гладким - вне базового локуса f - для всех гиперплоскостей H в некотором плотном открытом подмножестве двойственного проективного пространства. $(\mathbf {P} ^{n})^{\star }$ . Эта теорема справедлива и в характеристике p>0, когда линейная система f неразветвлена. ^[4]

Обобщения

Теорема Бертини обобщалась различными способами. Например, результат Стивена Клеймана утверждает следующее (см. теорему Клеймана ): для связной алгебраической группы G и любого однородного G -многообразия X и двух многообразий Y и Z, отображающихся в X , пусть Y ^п — многообразие, полученное действием σ ∈ G на Y . Тогда существует открытая плотная подсхема H группы G такая, что для σ ∈ H , $Y^{\sigma }\times _{X}Z$ либо пусто, либо имеет чисто (ожидаемую) размерность dim Y + dim Z − dim X . , кроме того, Y и Z гладкие Если и базовое поле имеет нулевую характеристику, то H можно взять таким, что $Y^{\sigma }\times _{X}Z$ гладко для всех $\sigma \in H$ , также. Приведенная выше теорема Бертини представляет собой частный случай, когда $X=\mathbb {P} ^{n}$ выражается как фактор SL _n по подгруппе Бореля верхнетреугольных матриц, Z — подмногообразие, а Y — гиперплоскость. ^[5]