Jump to content

Теорема о верхней оценке

В математике теорема о верхней границе утверждает, что циклические многогранники имеют максимально возможное количество граней среди всех выпуклых многогранников с заданной размерностью и количеством вершин. Это один из центральных результатов полиэдральной комбинаторики .

Первоначально известное как гипотеза о верхней границе , это утверждение было сформулировано Теодором Моцкиным и доказано в 1970 году Питером Макмалленом . [1] и усилен от многогранников к подразделениям сферы в 1975 году Ричардом П. Стэнли .

Циклические многогранники

[ редактировать ]

Циклический многогранник можно определить как выпуклую оболочку вершин на кривой момента , множество -мерные точки с координатами . Точный выбор того, что точки на этой кривой не имеют значения для комбинаторного строения этого многогранника.Количество -мерные грани определяется формулой

и полностью определить через уравнения Дена–Соммервилля . Та же самая формула для числа граней справедлива в более общем смысле для любого соседнего многогранника .

Заявление

[ редактировать ]

Теорема о верхней оценке гласит, что если представляет собой симплициальную сферу размерности с вершины, то Разница между для размерности симплициальной сферы и для размерности циклического многогранника исходит из того факта, что поверхность -мерный многогранник (например, циклический многогранник) — это -мерное подразделение сферы.Следовательно, из теоремы о верхней оценке следует, что количество граней произвольного многогранника никогда не может быть больше количества граней циклического или соседнего многогранника с той же размерностью и числом вершин.Асимптотически это означает, что существует не более лица всех размеров.Те же оценки справедливы и для выпуклых многогранников, которые не являются симплициальными, поскольку возмущение вершин такого многогранника (и взятие выпуклой оболочки возмущенных вершин) может только увеличить количество граней.

Гипотеза о верхней границе для симплициальных многогранников была предложена Моцкиным в 1957 году и доказана Макмалленом в 1970 году. Ключевым моментом в его доказательстве была следующая переформулировка в терминах h -векторов :

Виктор Клее предположил, что одно и то же утверждение должно быть справедливым для всех симплициальных сфер, и это действительно было установлено в 1975 году Стэнли. [2] используя понятие кольца Стэнли–Рейснера и гомологические методы. Хороший исторический обзор этой теоремы см. в статье Стэнли «Как была доказана гипотеза о верхней границе». [3]

  1. ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер, с. 254, ISBN  9780387943657 Наконец , в 1970 году Макмаллен дал полное доказательство гипотезы о верхней границе – с тех пор она стала известна как теорема о верхней границе. Доказательство Макмаллена удивительно просто и элегантно, оно сочетает в себе два ключевых инструмента: возможность оболочки и h -векторы.
  2. ^ Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Биркхойзер Бостон. п. 164. ИСБН  0-8176-3836-9 .
  3. ^ Стэнли, Ричард (2014). «Как была доказана гипотеза о верхней границе». Анналы комбинаторики . 18 (3): 533–539. CiteSeerX   10.1.1.416.5481 . дои : 10.1007/s00026-014-0238-5 . S2CID   253585250 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 21c213e81ea2b52de1b8069458543616__1715922300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/21/16/21c213e81ea2b52de1b8069458543616.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Upper bound theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)