Теорема о верхней оценке
В математике теорема о верхней границе утверждает, что циклические многогранники имеют максимально возможное количество граней среди всех выпуклых многогранников с заданной размерностью и количеством вершин. Это один из центральных результатов полиэдральной комбинаторики .
Первоначально известное как гипотеза о верхней границе , это утверждение было сформулировано Теодором Моцкиным и доказано в 1970 году Питером Макмалленом . [1] и усилен от многогранников к подразделениям сферы в 1975 году Ричардом П. Стэнли .
Циклические многогранники
[ редактировать ]Циклический многогранник можно определить как выпуклую оболочку вершин на кривой момента , множество -мерные точки с координатами . Точный выбор того, что точки на этой кривой не имеют значения для комбинаторного строения этого многогранника.Количество -мерные грани определяется формулой
и полностью определить через уравнения Дена–Соммервилля . Та же самая формула для числа граней справедлива в более общем смысле для любого соседнего многогранника .
Заявление
[ редактировать ]Теорема о верхней оценке гласит, что если представляет собой симплициальную сферу размерности с вершины, то Разница между для размерности симплициальной сферы и для размерности циклического многогранника исходит из того факта, что поверхность -мерный многогранник (например, циклический многогранник) — это -мерное подразделение сферы.Следовательно, из теоремы о верхней оценке следует, что количество граней произвольного многогранника никогда не может быть больше количества граней циклического или соседнего многогранника с той же размерностью и числом вершин.Асимптотически это означает, что существует не более лица всех размеров.Те же оценки справедливы и для выпуклых многогранников, которые не являются симплициальными, поскольку возмущение вершин такого многогранника (и взятие выпуклой оболочки возмущенных вершин) может только увеличить количество граней.
История
[ редактировать ]Гипотеза о верхней границе для симплициальных многогранников была предложена Моцкиным в 1957 году и доказана Макмалленом в 1970 году. Ключевым моментом в его доказательстве была следующая переформулировка в терминах h -векторов :
Виктор Клее предположил, что одно и то же утверждение должно быть справедливым для всех симплициальных сфер, и это действительно было установлено в 1975 году Стэнли. [2] используя понятие кольца Стэнли–Рейснера и гомологические методы. Хороший исторический обзор этой теоремы см. в статье Стэнли «Как была доказана гипотеза о верхней границе». [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер, с. 254, ISBN 9780387943657 Наконец ,
в 1970 году Макмаллен дал полное доказательство гипотезы о верхней границе – с тех пор она стала известна как теорема о верхней границе. Доказательство Макмаллена удивительно просто и элегантно, оно сочетает в себе два ключевых инструмента: возможность оболочки и h -векторы.
- ^ Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Биркхойзер Бостон. п. 164. ИСБН 0-8176-3836-9 .
- ^ Стэнли, Ричард (2014). «Как была доказана гипотеза о верхней границе». Анналы комбинаторики . 18 (3): 533–539. CiteSeerX 10.1.1.416.5481 . дои : 10.1007/s00026-014-0238-5 . S2CID 253585250 .