Циклический многогранник

В математике циклический многогранник , обозначаемый C ( n , d ), представляет собой выпуклый многогранник , образованный как выпуклая оболочка из n различных точек на рациональной нормальной кривой в R. ^д , где n больше, чем d . Эти многогранники изучали Константин Каратеодори , Дэвид Гейл , Теодор Моцкин , Виктор Клее и другие. Они играют важную роль в полиэдральной комбинаторике : согласно теореме о верхней границе Питером Макмалленом и Ричардом Стэнли , граница Δ ( n , d ) циклического многогранника ( n , d ) максимизирует число fi _i- C доказанной , размерные грани среди всех симплициальных сфер размерности d − 1 с n вершинами.

Определение

момента Кривая в $\mathbb {R} ^{d}$ определяется

$\mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}$.

The $d$-мерный циклический многогранник с $n$ вершины - это выпуклая оболочка

$C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}$

из $n>d\geq 2$ отдельные точки $\mathbf {x} (t_{i})$ с $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ на кривой момента.

Комбинаторная структура этого многогранника не зависит от выбранных точек, а полученный многогранник имеет размерность d и n вершин. Его границей является ( d − 1)-мерный симплициальный многогранник, обозначаемый Δ ( n , d ).

Условие равномерности Гейла

Условие равномерности Гейла обеспечивает необходимое и достаточное условие для определения фасета циклического многогранника.

Позволять $T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}$. Затем $d$-подмножество $T_{d}\subseteq T$ образует грань $C(n,d)$ тогда и только тогда, когда любые два элемента в $T\setminus T_{d}$ отделены четным числом элементов от $T_{d}$ в последовательности $(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})$.

Добрососедство

Циклические многогранники являются примерами соседних многогранников , в которых каждый набор из не более d /2 вершин образует грань. Это были первые известные соседние многогранники, и Теодор Моцкин предположил, что все соседние многогранники комбинаторно эквивалентны циклическим многогранникам, но теперь известно, что это неверно.

Количество граней

Число i -мерных граней циклического многогранника Δ ( n , d ) определяется формулой

$f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor$

и $(f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})$ полностью определить $(f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})$ через уравнения Дена–Соммервилля .

Теорема о верхней оценке

Основная статья: Теорема о верхней границе

Теорема о верхней оценке утверждает, что циклические многогранники имеют максимально возможное количество граней для заданной размерности и количества вершин: если Δ - симплициальная сфера размерности d - 1 с n вершинами, то

$f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.$

Гипотеза о верхней границе для симплициальных многогранников была предложена Теодором Моцкиным в 1957 году и доказана Питером Макмалленом в 1970 году. Виктор Кли предположил, что то же утверждение должно быть справедливым для всех симплициальных сфер, и это действительно было установлено в 1975 году Ричардом П. Стэнли. используя понятие кольца Стэнли–Рейснера и гомологические методы.

См. также

• Комбинаторная коммутативная алгебра