Комбинаторная коммутативная алгебра

Комбинаторная коммутативная алгебра — относительно новая, быстро развивающаяся математическая дисциплина. Как следует из названия, он находится на пересечении двух более известных областей, коммутативной алгебры и комбинаторики , и часто использует методы одной для решения проблем, возникающих в другой. Менее очевидно, что многогранная геометрия значительную роль играет .

Одной из вех в развитии этой темы стало Ричардом Стэнли доказательство в 1975 году гипотезы о верхней границе для симплициальных сфер , которое было основано на более ранних работах Мелвина Хохстера и Джеральда Рейснера. Хотя проблему можно сформулировать чисто в геометрических терминах, методы доказательства основаны на методах коммутативной алгебры.

Теорема о сигнатурах в комбинаторной коммутативной алгебре — это характеристика h -векторов симплициальных многогранников, выдвинутая в 1970 году Питером Макмалленом . Известная как g -теорема , она была доказана в 1979 году Стэнли ( необходимость условий, алгебраический аргумент), а также Луисом Биллерой и Карлом Ли ( достаточность , комбинаторная и геометрическая конструкция). Основным открытым вопросом было расширение этой характеристики от симплициальных многогранников до симплициальных сфер, g -гипотеза , которая была решена в 2018 году Каримом Адипрасито .

Важные понятия

• без квадратов Мономиальный идеал в кольце полиномов и кольцо Стэнли–Рейснера симплициального комплекса .
• Кольцо Коэна-Маколея .
• Мономиальное кольцо , тесно связанное с аффинной полугруппы и координатным кольцом аффинного кольцом торического многообразия .
• Алгебра с законом выпрямления . Существует несколько их версий, включая алгебры Ходжа Коррадо де Кончини , Дэвида Эйзенбуда и Клаудио Процесси .

См. также

• Алгебраическая комбинаторика
• Полиэдральная комбинаторика
• Граф делителей нуля

Ссылки

Фундаментальная статья о комплексах Стэнли – Рейснера одного из пионеров теории:

• Хохстер, Мелвин (1977). «Кольца Коэна – Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы» . Теория колец II: материалы второй конференции в Оклахоме . Конспект лекций по чистой и прикладной математике. Том. 26. Деккер. стр. 171–223. ISBN  0-8247-6575-3 . OCLC   610144046 . Збл   0351.13009 .

Первая книга является классической (первое издание вышло в 1983 году):

• Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Прогресс в математике. Том. 41 (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN  0-8176-3836-9 . Збл   0838.13008 .

Очень влиятельный и хорошо написанный учебник-монография:

• Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993). Кольца Коэна–Маколея . Том. 39. Кембриджские исследования по высшей математике: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41068-1 . OCLC   802912314 . Збл   0788.13005 .

Дополнительное чтение:

• Вильярреал, Рафаэль Х. (2001). Мономиальные алгебры . Монографии и учебники по чистой и прикладной математике. Том. 238. Марсель Деккер. ISBN  0-8247-0524-6 . Збл   1002.13010 .
• Хиби, Такаюки (1992). Алгебраическая комбинаторика на выпуклых многогранниках . Глеб, Австралия: Публикации Карслоу. ISBN  1875399046 . ОСЛК   29023080 .
• Штурмфельс, Бернд (1996). Базисы Грёбнера и выпуклые многогранники . Серия университетских лекций. Том. 8. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0487-1 . OCLC   907364245 . Збл   0856.13020 .
• Брунс, Винфрид; Губеладзе, Иосиф (2009). Многогранники, кольца и K-теория . Монографии Спрингера по математике. Спрингер. дои : 10.1007/b105283 . ISBN  978-0-387-76355-2 . Артикул   1168.13001 .

Недавнее дополнение к растущей литературе в этой области содержит изложение текущих тем исследований:

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Том 227. Спрингер. ISBN  0-387-22356-8 . Збл   1066.13001 .
• Херцог, Юрген; Хиби, Такаюки (2011). Мономиальные идеалы . Тексты для аспирантов по математике. Том 260. Спрингер. ISBN  978-0-85729-106-6 . Збл   1206.13001 .