Симплициальная сфера

В геометрии и комбинаторике симплициальная гомеоморфный (или комбинаторная ) d -сфера — это симплициальный комплекс, d - мерной сфере . Некоторые симплициальные сферы возникают как границы выпуклых многогранников , однако в более высоких измерениях большинство симплициальных сфер не могут быть получены таким способом.

Одной из важных открытых проблем в этой области была g-гипотеза , сформулированная Питером Макмалленом , которая спрашивает о возможном количестве граней различных измерений симплициальной сферы. В декабре 2018 года g-гипотеза была доказана Каримом Адипрасито в более общем контексте сфер рациональной гомологии. ^[1]^[2]

Примеры

Для любого n ≥ 3 простой n -цикл C _n является симплициальной окружностью , т. е. симплициальной сферой размерности 1. Эта конструкция дает все симплициальные окружности.
Граница выпуклого многогранника в R ³ с треугольными гранями, такими как октаэдр или икосаэдр , представляет собой симплициальную 2-сферу.
В более общем смысле, граница любого ( d +1)-мерного компактного (или ограниченного ) симплициального выпуклого многогранника в евклидовом пространстве представляет собой симплициальную d -сферу.

Характеристики

следует Из формулы Эйлера , что любая симплициальная 2-сфера с n вершинами имеет 3 n − 6 ребер и 2 n − 4 грани. Случай n = 4 реализуется тетраэдром. Многократно выполняя барицентрическое подразделение , легко построить симплициальную сферу для любого n ≥ 4. Более того, Эрнст Стейниц дал характеристику 1-скелета (или реберных графов) выпуклых многогранников в R ³ подразумевая, что любая симплициальная 2-сфера является границей выпуклого многогранника.

Бранко Грюнбаум построил пример неполитопальной симплициальной сферы (т. е. симплициальной сферы, не являющейся границей многогранника). Гил Калаи доказал, что на самом деле «большинство» симплициальных сфер неполитопальны. Самый маленький пример имеет размерность d = 4 и имеет f ₀ = 8 вершин.

Теорема о верхней оценке дает верхние оценки для числа f _i i -граней любой симплициальной d -сферы с f ₀ = n вершин. Эта гипотеза была доказана для симплициальных выпуклых многогранников Питером Макмалленом в 1970 году. ^[3] и Ричард Стэнли для общих симплициальных сфер в 1975 году.

, G -гипотеза сформулированная Макмалленом в 1970 году, требует полной характеристики f -векторов симплициальных d -сфер. Другими словами, каковы возможные последовательности чисел граней каждого измерения для симплициальной d -сферы? В случае многогранных сфер ответ даёт g -теорема , доказанная в 1979 году Биллерой и Ли (существование) и Стэнли (необходимость). Высказано предположение, что такие же условия необходимы и для общих симплициальных сфер. Гипотезу доказал Карим Адипрасито в декабре 2018 года. ^[1]^[2]

См. также

Уравнения Дена – Соммервилля

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Адипрасито, Карим (2019). «Комбинаторные теоремы Лефшеца за пределами положительности». arXiv : 1812.10454 .
^ Jump up to: ^а ^б Калаи, Гил (25 декабря 2018 г.). «Потрясающе: Карим Адипрасито доказал g-гипотезу для сфер!» . Комбинаторика и многое другое . Проверено 25 декабря 2018 г.
^ МакМаллен, П. (1971). «О гипотезе о верхней границе для выпуклых многогранников» . Журнал комбинаторной теории, серия B. 10 : 187–200. дои : 10.1016/0095-8956(71)90042-6 .

Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Прогресс в математике. Том. 41 (Второе изд.). Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3836-9 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Адипрасито, Карим (2019). «Комбинаторные теоремы Лефшеца за пределами положительности». arXiv : 1812.10454 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б Калаи, Гил (25 декабря 2018 г.). «Потрясающе: Карим Адипрасито доказал g-гипотезу для сфер!» . Комбинаторика и многое другое . Проверено 25 декабря 2018 г.

[3] МакМаллен, П. (1971). «О гипотезе о верхней границе для выпуклых многогранников» . Журнал комбинаторной теории, серия B. 10 : 187–200. дои : 10.1016/0095-8956(71)90042-6 .

[1]

[2]

[3]