h-вектор

В алгебраической комбинаторике -вектор h уравнения симплициального многогранника является фундаментальным инвариантом многогранника, который кодирует количество граней разных размерностей и позволяет выразить Дена – Соммервилля в особенно простой форме. Характеристика множества h -векторов симплициальных многогранников была предложена Питером Макмалленом. и доказано Лу Биллерой и Карлом В. Ли. и Ричард Стэнли ( g -теорема ). Определение h -вектора применимо к произвольным абстрактным симплициальным комплексам . утверждала g -гипотеза , что для симплициальных сфер все возможные h -векторы встречаются уже среди h -векторов границ выпуклых симплициальных многогранников. Это доказал в декабре 2018 года Карим Адипрасито .

Стэнли представил обобщение h -вектора, торический h -вектор , который определен для произвольного ранжированного ЧУМ , и доказал, что для класса Эйлеровых ЧУУ уравнения Дена–Соммервилля продолжают выполняться. Другое, более комбинаторное, обобщение h -вектора, которое было тщательно изучено, - это флага h -вектор ранжированного частичного множества. Для эйлеровых ЧУП его можно более кратко выразить с помощью некоммутативного многочлена от двух переменных, называемого cd -index .

Определение

Пусть ∆ — абстрактный симплициальный комплекс размерности d − 1 с f _i i -мерными гранями и f ₋₁ = 1. Эти числа упорядочены в f -вектор ∆,

$f(\Delta )=(f_{-1},f_{0},\ldots ,f_{d-1}).$

Важный частный случай возникает, когда ∆ является границей d -мерного выпуклого многогранника.

Для k = 0, 1, …, d пусть

$h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {d-i}{k-i}}f_{i-1}.$

Кортеж

$h(\Delta )=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})$

называется h -вектором ∆. В частности, $h_{0}=1$, $h_{1}=f_{0}-d$, и $h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta ))$, где $\chi (\Delta )$ является эйлеровой характеристикой $\Delta$. f -вектор однозначно -вектор и h определяют друг друга посредством линейного соотношения

$\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k},$

откуда следует, что для $i=0,\dotsc ,d$,

$f_{i-1}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {d-k}{i-k}}h_{k}.$

В частности, $f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}$. Пусть R = k [∆] — кольцо Стэнли–Рейснера группы ∆. Тогда его ряд Гильберта–Пуанкаре можно выразить как

$P_{R}(t)=\sum _{i=0}^{d}{\frac {f_{i-1}t^{i}}{(1-t)^{i}}}={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.$

Это мотивирует определение h -вектора конечно порожденной положительно градуированной алгебры размерности Крулля d как числителя ее ряда Гильберта – Пуанкаре, записанного со знаменателем (1 - t ). ^д .

h -вектор тесно связан с h ^* -вектор для выпуклого решетчатого многогранника, см. Полином Эрхарта .

Рекуррентное отношение

The $\textstyle h$-вектор $(h_{0},h_{1},\dotsc ,h_{d})$ можно вычислить из $\textstyle f$-вектор $(f_{-1},f_{0},\dotsc ,f_{d-1})$ используя рекуррентное соотношение

$h_{0}^{i}=1,\qquad -1\leq i\leq d$

$h_{i+1}^{i}=f_{i},\qquad -1\leq i\leq d-1$

$h_{k}^{i}=h_{k}^{i-1}-h_{k-1}^{i-1},\qquad 1\leq k\leq i\leq d$.

и, наконец, установка $\textstyle h_{k}=h_{k}^{d}$ для $\textstyle 0\leq k\leq d$. Для небольших примеров можно использовать этот метод для вычисления $\textstyle h$-векторов быстро вручную, рекурсивно заполняя элементы массива, похожего на треугольник Паскаля . Например, рассмотрим граничный комплекс $\textstyle \Delta$ октаэдра ​ . $\textstyle f$-вектор $\textstyle \Delta$ является $\textstyle (1,6,12,8)$. Чтобы вычислить $\textstyle h$-вектор $\Delta$, создайте треугольный массив, сначала написав $d+2$ $\textstyle 1$s вниз по левому краю и $\textstyle f$-вектор вниз по правому краю.

${\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&&&12&\\&1&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\end{matrix}}$

(Мы устанавливаем $f_{d}=0$ просто чтобы сделать массив треугольным.) Затем, начиная сверху, заполните каждую оставшуюся запись, вычитая ее верхнего левого соседа из верхнего правого соседа. Таким образом, мы генерируем следующий массив:

${\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\1&&3&&3&&1&&0\end{matrix}}$

Записи нижнего ряда (кроме последнего $0$) — это записи $\textstyle h$-вектор. Следовательно, $\textstyle h$-вектор $\textstyle \Delta$ является $\textstyle (1,3,3,1)$.

Торический h -вектор

Произвольному градуированному частично упорядоченному множеству P Стэнли сопоставил пару полиномов f ( P , x ) и g ( P , x ). Их определение рекурсивно в терминах полиномов, связанных с интервалами [0, y ] для всех y ∈ P , y ≠ 1, рассматриваемых как ранжированные частично упорядоченные множества более низкого ранга (0 и 1 обозначают минимальный и максимальный элементы P ). Коэффициенты f ( P , x образуют торический h вектор P. - ) Когда P — эйлерово частично упорядоченное множество ранга d + 1 такое, что P − 1 симплициально, торический h -вектор совпадает с обычным h -вектором, построенным с использованием чисел f _i элементов P − 1 заданного ранга i + 1. В этом случае торический h -вектор P удовлетворяет уравнениям Дена–Соммервилля

$h_{k}=h_{d-k}.$

Причиной прилагательного «торик» является связь торического h -вектора с когомологиями пересечений некоторого проективного торического многообразия X всякий раз, когда P является граничным комплексом рационального выпуклого многогранника. А именно, компоненты являются размерностями когомологий четных пересечений групп X :

$h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )$

когомологий нечетных пересечений (все группы X равны нулю). Уравнения Дена–Соммервилля являются проявлением двойственности Пуанкаре в когомологиях пересечения X . Калле Кару доказал, что торический h -вектор многогранника унимодальный независимо от того, рационален этот многогранник или нет.

Флаг h -vector и cd- index

другое обобщение понятий f -вектора и h Широко изучено -вектора выпуклого многогранника. Позволять $P$ — конечное градуированное ЧУМ ранга n , так что каждая максимальная цепь в $P$ имеет длину n . Для любого $S$, подмножество $\left\{0,\ldots ,n\right\}$, позволять $\alpha _{P}(S)$ обозначают количество цепочек в $P$ чьи ранги составляют множество $S$. Более формально, пусть

$rk:P\to \{0,1,\ldots ,n\}$

быть ранговой функцией $P$ и пусть $P_{S}$ быть $S$-ранг выбранного подмножества , состоящего из элементов из $P$ чей ранг находится в $S$:

$P_{S}=\{x\in P:rk(x)\in S\}.$

Затем $\alpha _{P}(S)$ — число максимальных цепей в $P_{S}$ и функция

$S\mapsto \alpha _{P}(S)$

называется флаговым f вектором P . - Функция

$S\mapsto \beta _{P}(S),\quad \beta _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}\alpha _{P}(S)$

называется флагом h -вектора ​ $P$. По принципу включения-исключения ,

$\alpha _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}\beta _{P}(T).$

Флаг f- и h -векторов $P$ уточнить обычные f- и h -векторы его комплекса порядка $\Delta (P)$:

$f_{i-1}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\alpha _{P}(S),\quad h_{i}(\Delta (P))=\sum _{|S|=i}\beta _{P}(S).$

Флаг h -вектор $P$ может быть отображено через полином от некоммутативных переменных a и b . Для любого подмножества $S$ из {1,…, n }, определим соответствующий моном от a и b ,

$u_{S}=u_{1}\cdots u_{n},\quad u_{i}=a{\text{ for }}i\notin S,u_{i}=b{\text{ for }}i\in S.$

Тогда некоммутативная производящая функция для h -вектора флага P определяется формулой

$\Psi _{P}(a,b)=\sum _{S}\beta _{P}(S)u_{S}.$

Из соотношения между α _P ( S ) и β _P ( S ) некоммутативная производящая функция для флага f -вектора P равна

$\Psi _{P}(a,a+b)=\sum _{S}\alpha _{P}(S)u_{S}.$

Маргарет Байер и Луи Биллера определили наиболее общие линейные отношения, которые выполняются между компонентами флага h -вектора эйлерова частично упорядоченного множества P .

Файн отметил элегантный способ формулировки этих отношений: существует некоммутативный многочлен Φ _P ( c , d ), называемый cd -индексом P , такой, что

$\Psi _{P}(a,b)=\Phi _{P}(a+b,ab+ba).$

Стэнли доказал, что все коэффициенты cd -индекса граничного комплекса выпуклого многогранника неотрицательны. Он предположил, что это явление положительности сохраняется для более общего класса эйлеровых частично упорядоченных множеств, который Стэнли называет комплексами Горенштейна* и который включает симплициальные сферы и полные вееры. Эту гипотезу доказал Калле Кару . Комбинаторный смысл этих неотрицательных коэффициентов (ответ на вопрос «что они считают?») остается неясным.

Дальнейшее чтение

• Стэнли, Ричард (1996), Комбинаторика и коммутативная алгебра , Progress in Mathematics, vol. 41 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN  0-8176-3836-9 .
• Стэнли, Ричард (1997), Перечислительная комбинаторика , том. 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-55309-1 .