Точная категория

Эта статья о точных категориях в смысле Квиллена. Точные категории в смысле Барра см. в разделе « Регулярная категория» . Точные категории в смысле Бухсбаума см. в абелевой категории .

В математике , особенно в теории категорий , точная категория — это категория, снабженная короткими точными последовательностями . Эта концепция принадлежит Дэниелу Квиллену и предназначена для инкапсуляции свойств коротких точных последовательностей в абелевых категориях без требования, чтобы морфизмы действительно обладали ядрами и коядрами , что необходимо для обычного определения такой последовательности.

Определение

Точная категория E — это аддитивная категория, обладающая классом E «коротких точных последовательностей»: троек объектов, соединенных стрелками.

$M'\to M\to M''\$

удовлетворяющие следующим аксиомам, основанным на свойствах коротких точных последовательностей в абелевой категории :

• E замкнуто относительно изоморфизмов и содержит канонические («точные расщепления») последовательности:

$M'\to M'\oplus M''\to M'';$

• Предполагать $M\to M''$ встречается как вторая стрелка последовательности из E (это допустимый эпиморфизм ) и $N\to M''$ любая стрелка в E . Тогда существует их откат и его проекция на $N$ также является допустимым эпиморфизмом. Двойственно , если $M'\to M$ встречается как первая стрелка последовательности из E (это допустимый мономорфизм ) и $M'\to N$ — любая стрелка, то существует их выталкивание и его копроекция из $N$ также является допустимым мономорфизмом. (Мы говорим, что допустимые эпиморфизмы «устойчивы при возврате», соответственно допустимые мономорфизмы «устойчивы при выталкивании».);
• Допустимые мономорфизмы являются ядрами соответствующих им допустимых эпиморфизмов, причем двойственно. Допустима композиция двух допустимых мономорфизмов (а также допустимых эпиморфизмов);
• Предполагать $M\to M''$ — отображение в E , допускающее ядро ​​в E , и предположим, что $N\to M$ есть ли карта такая, что композиция $N\to M\to M''$ является допустимым эпиморфизмом. Тогда так и есть $M\to M''.$ Двойственно, если $M'\to M$ допускает коядро и $M\to N$ таков, что $M'\to M\to N$ является допустимым мономорфизмом, то таков $M'\to M.$

Допустимые мономорфизмы обычно обозначаются $\rightarrowtail$ а допустимые эпиморфизмы обозначаются $\twoheadrightarrow .$ Эти аксиомы не являются минимальными; ) показал, на самом деле Бернхард Келлер ( 1990 что последний из них излишен.

между точными категориями можно говорить О точном функторе точно так же, как и о точных функторах абелевых категорий: точный функтор $F$ из точной категории D в другую E — аддитивный функтор такой, что если

$M'\rightarrowtail M\twoheadrightarrow M''$

точен в D , то

$F(M')\rightarrowtail F(M)\twoheadrightarrow F(M'')$

точен E. в Если D является подкатегорией E , это точная подкатегория , если функтор включения полностью строгий и точный.

Мотивация

Точные категории происходят из абелевых категорий следующим образом. Предположим, что A абелева, и пусть E — любая строго полная аддитивная подкатегория, замкнутая при расширении в том смысле, что для заданной точной последовательности

$0\to M'\to M\to M''\to 0\$

в A , то если $M',M''$ находятся в E , как и $M$. Мы можем считать классом E просто последовательности из E , точные в A ; то есть,

$M'\to M\to M''\$

находится в E, если только

$0\to M'\to M\to M''\to 0\$

точен A. в Тогда E — точная категория в указанном выше смысле. Проверяем аксиомы:

• E замкнуто относительно изоморфизмов и содержит расщепляемые точные последовательности: это верно по определению, поскольку в абелевой категории любая последовательность, изоморфная точной, также точна, и поскольку расщепляемые последовательности всегда точны в A .
• Допустимые эпиморфизмы (соответственно допустимые мономорфизмы) устойчивы относительно обратных образов (соответственно выталкиваний): при заданной точной последовательности объектов в E ,

$0\to M'{\xrightarrow {f}}M\to M''\to 0,\$

и карта $N\to M''$ с $N$ в E проверяется, что следующая последовательность также точна; поскольку E устойчиво при расширениях, это означает, что $M\times _{M''}N$ находится в Е :

$0\to M'{\xrightarrow {(f,0)}}M\times _{M''}N\to N\to 0.\$

• Каждый допустимый мономорфизм является ядром соответствующего ему допустимого эпиморфизма, и наоборот: это верно для морфизмов в A , а E — полная подкатегория.
• Если $M\to M''$ допускает ядро ​​в E , и если $N\to M$ таков, что $N\to M\to M''$ является допустимым эпиморфизмом, то также $M\to M''$: См. Куиллен ( 1972 ).

И наоборот, если E — любая точная категория, мы можем взять A как категорию левых точных функторов из E в категорию абелевых групп , которая сама является абелевой и в которой E — естественная подкатегория (посредством вложения Йонеды , поскольку Hom точна слева), стабильна относительно расширений и в которой последовательность находится в E тогда и только тогда, когда она точна в A .

Примеры

• Любая абелева категория точна очевидным образом, согласно конструкции #Мотивация .
• Менее тривиальный пример — категория Ab _tf абелевых групп без кручения , которая является строго полной подкатегорией (абелевой) категории Ab всех абелевых групп. Он закрыт при расширениях: если

$0\to A\to B\to C\to 0\$

— короткая точная последовательность абелевых групп, в которой $A,C$ не имеют кручения, то $B$ рассматривается как не имеющая кручения на основании следующего аргумента: если $b$ — торсионный элемент, то его образ в $C$ равен нулю, так как $C$ не имеет скручивания. Таким образом $b$ лежит в ядре карты $C$, что $A$, но это также без кручения, поэтому $b=0$. По построению #Мотивация Ab tf _— точная категория; некоторые примеры точных последовательностей в нем:

$0\to \mathbb {Z} {\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}}\right)}}\mathbb {Z} ^{2}{\xrightarrow {(-2,1)}}\mathbb {Z} \to 0,$

$0\to d\Omega ^{0}(S^{1})\to \Omega _{c}^{1}(S^{1})\to H_{\text{dR}}^{1}(S^{1})\to 0,$

где последний пример вдохновлен когомологиями де Рама ( $\Omega _{c}^{1}(S^{1})$ и $d\Omega ^{0}(S^{1})$ — замкнутая и точная дифференциальные формы на группе окружностей ); в частности, известно, что группа когомологий изоморфна действительным числам. Эта категория не является абелевой.

• Следующий пример в некотором смысле дополняет приведенный выше. Пусть Ab _t — категория абелевых групп с кручением (а также нулевая группа). Это аддитивная и снова строго полная подкатегория Ab . Еще проще увидеть, что он стабилен при расширениях: если

$0\to A\to B\to C\to 0\$

представляет собой точную последовательность, в которой $A,C$ есть кручение, тогда $B$ естественно имеет все торсионные элементы $A$. Таким образом, это точная категория.

Ссылки

• Келлер, Бернхард (1990). «Цепные комплексы и устойчивые категории». Манускрипта Математика . 67 : 379–417. CiteSeerX   10.1.1.146.3555 . дои : 10.1007/BF02568439 . S2CID   6945014 . Приложение A. Точные категории

• Куиллен, Дэниел (1972). Высшая алгебраическая К-теория I . Конспект лекций по математике. Том. 341. Спрингер. стр. 85–147. дои : 10.1007/BFb0067053 . ISBN  978-3-540-06434-3 .