Расширение группы

В математике расширение группы — это общий способ описания группы в терминах конкретной нормальной подгруппы и факторгруппы . Если $Q$ и $N$ две группы, то $G$ является продолжением $Q$ к $N$ если существует короткая точная последовательность

1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.

Если $G$ является продолжением $Q$ к $N$ , затем $G$ это группа, $\iota (N)$ является нормальной подгруппой $G$ и факторгруппа $G/\iota (N)$ изоморфна группе $Q$ . Расширения групп возникают в контексте проблемы расширений , где группы $Q$ и $N$ известны и свойства $G$ предстоит определить. Обратите внимание, что формулировка « $G$ является продолжением $N$ к $Q$ "также используется некоторыми. ^[1]

Поскольку любая конечная группа $G$ имеет максимальную нормальную подгруппу $N$ с простой группой факторов $G/N$ все конечные группы могут быть построены как серии расширений с конечными простыми группами . Этот факт послужил мотивом для завершения классификации конечных простых групп .

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа $N$ в центре лежит $G$ .

Расширения в целом

Одно расширение, прямой продукт , сразу бросается в глаза. Если кто-то требует $G$ и $Q$ быть абелевыми группами , то множество классов изоморфизма расширений $Q$ по заданной (абелевой) группе $N$ деле является группой, изоморфной на самом

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);

ср. функтор Ext . Известны несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как сложная проблема; это называется проблемой расширения .

Рассмотрим несколько примеров, если $G=K\times H$ , затем $G$ является продолжением обоих $H$ и $K$ . В более общем смысле, если $G$ является полупрямым продуктом $K$ и $H$ , записанный как $G=K\rtimes H$ , затем $G$ является продолжением $H$ к $K$ , поэтому такие продукты, как сплетенный продукт, представляют собой дополнительные примеры расширений.

Проблема с расширением

Вопрос о том, какие группы $G$ являются продолжением $H$ к $N$ называется проблемой расширения и интенсивно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается его мотивации, учтите, что композиционный ряд конечной группы представляет собой конечную последовательность подгрупп. $\{A_{i}\}$ , где каждый $\{A_{i+1}\}$ является продолжением $\{A_{i}\}$ какой-то простой группой . Классификация конечных простых групп дает нам полный список конечных простых групп; поэтому решение проблемы расширения дало бы нам достаточно информации, чтобы построить и классифицировать все конечные группы в целом.

Классификация расширений

Решение проблемы расширения сводится к классификации всех расширений H с помощью K ; или, что более практично, выражая все такие расширения в терминах математических объектов, которые легче понять и вычислить. В общем, эта проблема очень сложна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Важно знать, когда два расширения эквивалентны или конгруэнтны. Мы говорим, что расширения

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

и

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

эквивалентны (или конгруэнтны) , если существует групповой изоморфизм $T:G\to G'$ сделав коммутативной диаграмму рисунка 1.На самом деле достаточно иметь групповой гомоморфизм; в силу предполагаемой коммутативности диаграммы отображение $T$ вынуждена быть изоморфизмом лемма о коротких пяти .

Предупреждение

Может случиться так, что расширения $1\to K\to G\to H\to 1$ и $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ неэквивалентны, но G и G' изоморфны как группы. Например, есть $8$ неэквивалентные расширения четырехгруппы Клейна с помощью $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , ^[2] но существует с точностью до группового изоморфизма только четыре группы порядка $8$ содержащая нормальную подгруппу порядка $2$ с факторгруппой, изоморфной четырехгруппе Клейна .

Тривиальные расширения

— Тривиальное расширение это расширение

1\to K\to G\to H\to 1

что эквивалентно расширению

1\to K\to K\times H\to H\to 1

где левая и правая стрелки — соответственно включение и проекция каждого фактора $K\times H$ .

Классификация разделенных расширений

— Разделенное расширение это расширение

1\to K\to G\to H\to 1

с гомоморфизмом $s\colon H\to G$ такой, что переход от H к G с помощью s, а затем обратно к H с помощью фактор-отображения короткой точной последовательности индуцирует тождественное отображение на H, т. е. $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ . В этой ситуации обычно говорят, что s разбивает приведенную выше точную последовательность .

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение является расщепляемым и только тогда, когда G является полупрямым произведением K тогда и H. группа Сами полупрямые произведения легко классифицировать, поскольку они находятся во взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами из $H\to \operatorname {Aut} (K)$ , где Aut( K ) — автоморфизмов группа K . Подробное обсуждение того, почему это так, см. в разделе полупрямое произведение .

Предупреждение о терминологии

В общем, в математике расширение структуры K обычно рассматривается как структура L, которой является K. подструктурой См., например, расширение поля . Однако в теорию групп закралась противоположная терминология, отчасти из-за обозначения $\operatorname {Ext} (Q,N)$ , что легко читается как расширение Q с помощью N уделяется группе Q. , и основное внимание

В статье Рональда Брауна и Тимоти Портера о теории неабелевых расширений Отто Шрайера используется терминология, согласно которой расширение K дает более широкую структуру. ^[3]

Центральное расширение

Центральное расширение группы G — это короткая точная последовательность групп

1\to A\to E\to G\to 1

такой, что A входит в $Z(E)$ , центр группы E . Множество классов изоморфизма центральных расширений группы G с помощью A находится во взаимно однозначном соответствии с когомологий группой $H^{2}(G,A)$ .

Примеры центральных расширений можно построить, взяв любую группу G и любую абелеву группу A и установив E как $A\times G$ . Этот пример разделения соответствует элементу 0 в $H^{2}(G,A)$ согласно вышеуказанной переписке. Другой пример разделения дан для нормальной подгруппы A , где E присвоено полупрямому произведению $A\rtimes G$ . Более серьезные примеры встречаются в теории проективных представлений в тех случаях, когда проективное представление не может быть поднято до обычного линейного представления .

В случае конечных совершенных групп существует универсальное совершенное центральное расширение .

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ это точная последовательность

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0

такой, что ${\mathfrak {a}}$ находится в центре ${\mathfrak {e}}$ .

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева . ^[4]

Обобщение до общих расширений

Аналогичная классификация всех расширений G с помощью A проводится в терминах гомоморфизмов из $G\to \operatorname {Out} (A)$ , утомительное, но явно проверяемое условие существования, включающее $H^{3}(G,Z(A))$ и группа когомологий $H^{2}(G,Z(A))$ . ^[5]

Группы лжи

В групп Ли теории центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией . Грубо говоря, центральные расширения групп Ли дискретными группами — это то же самое, что и накрывающие группы . Точнее, связное накрытие $G *$ связной группы Ли $G$ естественно является центральным расширением $G$ таким образом, что проекция

\pi \colon G^{*}\to G

является групповым гомоморфизмом и сюръективен. (Структура группы на $G *$ зависит от выбора отображения единичного элемента на единицу в $G.$ ) Например, когда $G *$ — универсальное накрытие группы $G$ , ядро группы π — фундаментальная группа группы $G$ , которая, как известно, абелева (см. H-пространство ). И наоборот, для группы Ли $G$ и дискретной центральной подгруппы $Z$ фактор $G / Z$ является группой Ли, а $G$ является ее накрывающим пространством.

В более общем смысле, когда группы $A$ , $E$ и $G,$ встречающиеся в центральном расширении, являются группами Ли, а отображения между ними являются гомоморфизмами групп Ли, тогда, если алгебра Ли группы $g , алгебра Ли группы A равна a , а алгебра Ли группы G$ G равна $равна g$ , алгебра Ли группы $A$ равна $a$ , а алгебра Ли группы A равна a . $E$ есть $e$ , тогда $e$ является центральной алгебре Ли посредством $расширением g$ в $a$ . В терминологии теоретической физики генераторы $а$ называются центральными зарядами . Эти образующие находятся в центре $e$ ; по теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам, называемым зарядами .

Основными примерами центральных расширений как покрывающих групп являются:

спиновые группы , которые дважды накрывают специальные ортогональные группы , которые (в четной размерности) дважды накрывают проективную ортогональную группу .
метаплектические группы , дважды накрывающие симплектические группы .

В случае $SL 2 (R)$ фундаментальная группа является бесконечной циклической . Здесь задействованное центральное расширение хорошо известно в теории модульных форм в случае форм веса $½$ . Соответствующее проективное представление — это представление Вейля , построенное на основе преобразования Фурье , в данном случае на вещественной прямой . Метаплектические группы также встречаются в квантовой механике .

См. также

Ссылки

^ группа+расширение#Определение в n лаборатории Примечание 2.2.
^ номер страницы. 830, Даммит, Дэвид С., Фут, Ричард М., Абстрактная алгебра (третье издание), John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси (2004).
^ Браун, Рональд ; Портер, Тимоти (1996). «К теории Шрайера неабелевых расширений: обобщения и вычисления». Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 96 (2): 213–227. МР 1641218 .
^ Джанелидзе, Георгий; Келли, Грегори Максвелл (2000). «Центральные расширения в многообразиях Мальцева» . Теория и приложения категорий . 7 (10): 219–226. МР 1774075 .
^ Пи Джей Моранди, Group Extensions и H ³ Архивировано 17 мая 2018 г. в Wayback Machine . Из его сборника кратких математических заметок.

Мак Лейн, Сондерс (1975), Гомология , Классика математики, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
Р. Л. Тейлор, Покрывающие группы несвязных топологических групп, Труды Американского математического общества , том. 5 (1954), 753–768.
Р. Браун и О. Мучук, Еще раз о покрывающих группах несвязных топологических групп, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 115 (1994), 97–110.

[1] группа+расширение#Определение в n лаборатории Примечание 2.2.

[2] номер страницы. 830, Даммит, Дэвид С., Фут, Ричард М., Абстрактная алгебра (третье издание), John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси (2004).

[3] Браун, Рональд ; Портер, Тимоти (1996). «К теории Шрайера неабелевых расширений: обобщения и вычисления». Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 96 (2): 213–227. МР 1641218 .

[4] Джанелидзе, Георгий; Келли, Грегори Максвелл (2000). «Центральные расширения в многообразиях Мальцева» . Теория и приложения категорий . 7 (10): 219–226. МР 1774075 .

[5] Пи Джей Моранди, Group Extensions и H ³ Архивировано 17 мая 2018 г. в Wayback Machine . Из его сборника кратких математических заметок.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]