Абсолютное представление группы

В математике абсолютное представление является одним из методов определения группы .

Напомним, что для определения группы $G$ посредством представления задается набор $S$ генераторов множество так, что каждый элемент группы можно записать как произведение некоторых из этих генераторов, а $R$ отношений . между этими генераторами В символах:

$G\simeq \langle S\mid R\rangle .$

Неофициально $G$ группа, порожденная набором $S$ такой, что $r=1$ для всех $r\in R$. Но здесь есть негласное предположение , что $G$ что отношения удовлетворяются в любом гомоморфном образе является самой «свободной» такой группой, поскольку очевидно , $G$. Один из способов устранить это молчаливое предположение — указать, что определенные слова в $S$ не должно быть равно $1.$ То есть мы указываем набор $I$, называемое множеством ирреляций , такое, что $i\neq 1$ для всех $i\in I.$

Формальное определение

Чтобы определить абсолютное представление группы $G$ один указывает набор $S$ генераторов и установок $R$ и $I$ отношений и неотношений между теми, генераторы. Затем мы говорим $G$ имеет абсолютную презентацию

$\langle S\mid R,I\rangle .$

при условии, что:

1. $G$ есть презентация $\langle S\mid R\rangle .$
2. Учитывая любой гомоморфизм $h:G\rightarrow H$ такие, что ирреляции $I$ удовлетворены в $h(G)$, $G$ изоморфен ​ ​ $h(G)$.

Более алгебраический, но эквивалентный способ формулировки условия 2:

2а. Если $N\triangleleft G$ является нетривиальной нормальной подгруппой группы $G$ затем $I\cap N\neq \left\{1\right\}.$

Примечание. Концепция абсолютного представления оказалась плодотворной в таких областях, как алгебраически замкнутые группы и топология Григорчука .В литературе в контексте, где речь идет об абсолютных представлениях, представление (в обычном смысле этого слова) иногда называют относительным представлением , что является примером ретронима .

Пример

Циклическая группа порядка 8 имеет представление

$\langle a\mid a^{8}=1\rangle .$

Но с точностью до изоморфизма существуют еще три группы, «удовлетворяющие» соотношению $a^{8}=1,$ а именно:

$\langle a\mid a^{4}=1\rangle$

$\langle a\mid a^{2}=1\rangle$ и

$\langle a\mid a=1\rangle .$

Однако ни один из них не удовлетворяет неравенству $a^{4}\neq 1$. Таким образом, абсолютное представление циклической группы восьмого порядка таково:

$\langle a\mid a^{8}=1,a^{4}\neq 1\rangle .$

Частью определения абсолютного представления является то, что иротношения не удовлетворяются ни в одном собственном гомоморфном образе группы. Поэтому:

$\langle a\mid a^{8}=1,a^{2}\neq 1\rangle$

является Не абсолютным представлением циклической группы восьмого порядка, поскольку ирреляция $a^{2}\neq 1$ выполняется в циклической группе порядка 4.

Фон

Понятие абсолютного представления возникло в результате Бернхардом Нейманом исследования проблемы изоморфизма алгебраически замкнутых групп .

Общая стратегия рассмотрения вопроса о том, являются ли две группы $G$ и $H$ изоморфны , заключается в рассмотрении вопроса о том, может ли представление одного быть преобразовано в представление другого. Однако алгебраически замкнутые группы не являются ни конечно порожденными , ни рекурсивно представленными , поэтому сравнивать их представления невозможно. Нейман рассмотрел следующую альтернативную стратегию:

Предположим, мы знаем, что группа $G$ с конечным представлением $G=\langle x_{1},x_{2}\mid R\rangle$ вкладывается в алгебраически замкнутую группу $G^{*}$ тогда дана другая алгебраически замкнутая группа $H^{*}$, мы можем спросить: «Может ли $G$ быть встроенным в $H^{*}$?"

Вскоре становится очевидным, что представление группы не содержит достаточно информации для принятия такого решения, поскольку может существовать гомоморфизм. $h:G\rightarrow H^{*}$, этот гомоморфизм не обязательно должен быть вложением. Нужна спецификация на $G^{*}$ это «заставляет» любой гомоморфизм, сохраняющий эту спецификацию, быть вложением. Абсолютное представление делает именно это.