Дифференциальный ЧУУ

В математике дифференциальное ЧУ-множество — это частично упорядоченное множество (или для краткости ЧУ-множество ), удовлетворяющее определённым локальным свойствам. (Формальное определение дано ниже.) Это семейство ЧУМ было введено Стэнли (1988) как обобщение решетки Янга (ЧуУ-множество целочисленных разбиений, упорядоченных по включению), многие из комбинаторных свойств которых являются общими для всех дифференциальных ЧУМ. Помимо решетки Янга, другим наиболее важным примером дифференциального чу-множества является решетка Янга – Фибоначчи .

Определения

ЧУ-множество P называется дифференциальным ЧУ-множеством и, в частности, r - дифференциальным (где r — целое положительное число ), если оно удовлетворяет следующим условиям:

• P градуирован ; и локально конечен с единственным минимальным элементом
• для каждых двух различных элементов x , y из P количество элементов, охватывающих как x, так и y, такое же, как количество элементов, охватываемых как x, так и y ; и
• для каждого элемента x из P количество элементов, покрывающих x, ровно на r больше, чем количество элементов, покрываемых x .

Эти основные свойства можно переформулировать по-разному. Например, Стэнли показывает, что количество элементов, охватывающих два различных элемента x и y дифференциального ЧУУ, всегда равно 0 или 1, поэтому второе определяющее свойство можно соответствующим образом изменить.

Определяющие свойства также могут быть переформулированы в следующей линейно-алгебраической постановке: принимая элементы частично упорядоченного множества P в качестве формальных базисных векторов (бесконечномерного) векторного пространства , пусть D и U будут операторами, определенными так, что D   x равен сумме элементов, охватываемых x , а U   x равно сумме элементов, охватывающих x . (Операторы D и U по очевидным причинам называются операторами вниз и вверх .) Тогда второе и третье условия можно заменить утверждением, что DU − UD = r   I (где I — тождество).

Эта последняя переформулировка превращает дифференциальное ЧУУ в комбинаторную реализацию алгебры Вейля и, в частности, объясняет название дифференциала : операторы « d / dx » и «умножение на x » в векторном пространстве многочленов подчиняются тому же коммутационному соотношению, что и U. и Д / р .

Примеры

Граф Янга-Фибоначчи , диаграмма Хассе решетки Янга-Фибоначчи.

Каноническими примерами дифференциальных ЧУ-множеств являются решётка Юнга , ЧУ-множество целочисленных разбиений, упорядоченных по включению, и решётка Янга-Фибоначчи . В первоначальной статье Стэнли было установлено, что решетка Янга является единственной 1-дифференциальной дистрибутивной решеткой , а Бирнс (2012) показал, что это единственные 1-дифференциальные решетки .

Существует каноническая конструкция (называемая «отражением») дифференциального ЧУ-множества с учетом конечного ЧУ-множества, которое подчиняется всем определяющим аксиомам ниже его верхнего ранга. (Решетка Янга – Фибоначчи — это ЧУ, возникающее в результате применения этой конструкции, начиная с одной точки.) Это можно использовать, чтобы показать, что существует бесконечно много дифференциальных ЧУ. Стэнли (1988) включает замечание, что «[Дэвид] Вагнер описал очень общий метод построения дифференциальных ч.у.у., который делает маловероятным, что [их можно классифицировать]». Это уточняется в Льюисе (2007) , где показано, что существует несчетное множество 1-дифференциальных частично упорядоченных множеств . С другой стороны, явные примеры дифференциальных ЧУМ редки; Льюис (2007) дает запутанное описание дифференциального ЧУУ, отличного от решеток Янга и Янга – Фибоначчи.

Решетка Янга-Фибоначчи имеет естественный r -дифференциальный аналог для каждого натурального числа r . Эти частично упорядоченные множества представляют собой решетки и могут быть построены путем вариации конструкции отражения. Кроме того, произведение r -дифференциала и s -дифференциала ЧУУ всегда является ( r + s )-дифференциалом ЧУУ. Эта конструкция также сохраняет свойство решетки. > 1 неизвестно, При любом r существуют ли какие-либо r -дифференциальные решетки, кроме тех, которые возникают в результате произведения решеток Янга – Фибоначчи и решетки Юнга.

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли дифференциальные решетки, не являющиеся произведениями решетки Юнга и решетки Юнга – Фибоначчи?

(еще нерешенные задачи по математике)

Рост рейтинга

Помимо вопроса о том, существуют ли другие дифференциальные решетки, существует несколько давних открытых проблем, связанных с ростом ранга дифференциальных ЧУ-множеств. была высказана гипотеза В Стэнли (1988) , что если P — дифференциальное ЧУ-множество с r _n вершинами ранга n , то

$p(n)\leq r_{n}\leq F_{n},$

где p ( n ) — количество целочисленных разбиений n , а Fn _{— n} е число Фибоначчи - . Другими словами, гипотеза утверждает, что на каждом ранге каждое дифференциальное ЧУМ имеет ряд вершин, лежащих между числами решетки Юнга и решетки Янга-Фибоначчи. Верхняя оценка была доказана в работе Бирнса (2012) , тогда как нижняя оценка остается открытой. Стэнли и Занелло (2012) доказали асимптотическую версию нижней оценки, показав, что

$r_{n}\gg n^{a}\exp(2{\sqrt {n}})$

для каждого дифференциального ЧУУ и некоторой константы a . Для сравнения, статистическая сумма имеет асимптотику

$p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right).$

Все известные оценки размеров рангов дифференциальных ЧУМ являются быстро растущими функциями. В оригинальной статье Стэнли было показано (с использованием собственных значений оператора DU ), что размеры рангов слабо возрастают. Однако прошло 25 лет, прежде чем Миллер (2013) показал, что размеры рангов r -дифференциального ЧУУ строго увеличиваются (за исключением тривиального перехода между рангами 0 и 1, когда r = 1).

Характеристики

Диаграмма Хассе решетки Юнга

Каждое дифференциальное ЧУМ-множество P обладает большим количеством комбинаторных свойств. Вот некоторые из них:

• Число путей длины 2 n в диаграмме Хассе P , начинающихся и заканчивающихся минимальным элементом, равно (2 n − 1)!! , где м !! — функция двойного факториала . В r -дифференциальном частично упорядоченном множестве число таких путей равно (2 n − 1)!! р ^н .
• Число путей длины 2 n в диаграмме Хассе P, начинающихся с минимального элемента, таких, что первые n шагов охватывают отношения от меньшего к большему элементу P, а последние n шагов охватывают отношения от большего к a меньший элемент P равен n ! . В r -дифференциальном ЧУУ это число равно n ! р ^н .
• Число восходящих путей длины n в диаграмме Хассе языка P, начинающихся с минимального элемента, равно числу инволюций в симметрической группе из n букв. В r -дифференциальном частично упорядоченном множестве последовательность этих чисел имеет экспоненциальную производящую функцию e ^{гх + х 2 /2} .

Обобщения

В дифференциальном ЧУУ один и тот же набор ребер используется для вычисления операторов вверх и U и D. вниз Если допустить разные наборы верхних и нижних ребер (совместно использующие одни и те же наборы вершин и удовлетворяющие одному и тому же отношению), результирующая концепция представляет собой двойственный градуированный граф , первоначально определенный Фоминым (1994) . Дифференциальные ЧУ восстанавливаются в случае совпадения двух наборов ребер.

Большая часть интереса к дифференциальным ЧУМ вызвана их связью с теорией представлений . Элементами решетки Юнга являются целочисленные разбиения, которые кодируют представления симметрических групп и связаны с кольцом симметрических функций ; Окада (1994) определил алгебры , представление которых вместо этого кодируется решеткой Янга – Фибоначчи, и допускают аналогичные конструкции, такие как версия Фибоначчи симметричных функций. Неизвестно, существуют ли подобные алгебры для каждого дифференциального ЧУМ. В другом направлении Лам и Шимозоно (2007) определили двойственные градуированные графы, соответствующие любой алгебре Каца – Муди .

Возможны и другие варианты; Стэнли (1990) определил версии, в которых число r в определении меняется от ранга к рангу, а Лам (2008) определил знаковый аналог дифференциальных ЧУМ, в которых отношениям покрытия может быть присвоен «вес» -1.

Источники

• Стэнли, Ричард (2011), Перечислительная комбинаторика (PDF) , том. 1 (2-е изд.), заархивировано из оригинала (PDF) 31 мая 2011 г. , получено 21 сентября 2015 г.
• Бирнс, Патрик (2012), Структурные аспекты дифференциальных частично упорядоченных множеств , ISBN  9781267855169
• Фомин, Сергей (1994), «Двойственность градуированных графов», Журнал алгебраической комбинаторики , 3 (4): 357–404, doi : 10.1023/A:1022412010826
• Лам, Томас Ф. (2008), «Знаковые дифференциальные частично упорядоченные множества и дисбаланс знаков», Журнал комбинаторной теории, серия A , 115 (3): 466–484, arXiv : math/0611296 , doi : 10.1016/j.jcta. 2007.07.003 , S2CID   10802016
• Лам, Томас Ф.; Симозоно, Марк (2007), «Двойные градуированные графы для алгебр Каца-Муди», Алгебра и теория чисел , 1 (4): 451–488, arXiv : math/0702090 , doi : 10.2140/ant.2007.1.451 , S2CID   18253442
• Льюис, Джоэл Брюстер (2007), О дифференциальных постулатах (PDF) ( Гарвардского колледжа ) дипломная работа
• Миллер, Александр (2013), «Дифференциальные ЧУУ имеют строгий рост ранга: гипотеза Стэнли», Order , 30 (2): 657–662, arXiv : 1202.3006 , doi : 10.1007/s11083-012-9268-y , S2CID   38737147
• Окада, Соичи (1994), «Алгебры, связанные с решеткой Янга-Фибоначчи», Transactions of the American Mathematical Society , 346 (2), American Mathematical Society: 549–568, doi : 10.2307/2154860 , JSTOR   2154860
• Стэнли, Ричард П. (1988), «Дифференциальные упорядоченные множества», Журнал Американского математического общества , 1 (4), Американское математическое общество: 919–961, doi : 10.2307/1990995 , JSTOR   1990995
• Стэнли, Ричард П. (1990), «Вариации дифференциальных частично упорядоченных множеств», Теория инвариантов и таблицы (Миннеаполис, Миннесота), 1988 , IMA Vol. Математика. Приложение, вып. 19, Спрингер, стр. 145–165.
• Стэнли, Ричард П .; Занелло, Фабрицио (2012), «О ранговой функции дифференциального частичного множества» , Электронный журнал комбинаторики , 19 (2): P13, arXiv : 1111.4371 , doi : 10.37236/2258 , S2CID   7405057