Jump to content

Условная алгебра событий

Стандартная булева алгебра событий — это набор событий, связанных друг с другом знакомыми операциями и , или , и not . Алгебра условных событий ( УЭА ) содержит не только обычные события, но и условные события, которые имеют вид «если А , то В ». Обычная цель CEA - дать возможность определить функцию вероятности P , которая удовлетворяет уравнению P (если A , то B ) = P ( A и B ) / P ( A ).

Мотивация

[ редактировать ]

В стандартной теории вероятностей событие представляет собой набор результатов, любой из которых будет возникновением события. P ( A ), вероятность события A , представляет собой сумму вероятностей всех A -исходов, P ( B ) является суммой вероятностей всех B -исходов, а P ( A и B ) является суммой вероятности всех исходов, которые являются как A -исходами, так и B -исходами. Другими словами, и , обычно обозначаемые логическим символом ∧, интерпретируются как пересечение множеств: P ( A B ) = P ( A B ). Точно так же или , ∨ становится объединением множеств, ∪, а не , ¬ становится дополнением множеств, ′. Любая комбинация событий с использованием операций и , или , а также not также является событием, а присвоение вероятностей всем результатам генерирует вероятность для каждого события. С технической точки зрения это означает, что набор событий и три операции вместе составляют булеву алгебру множеств с соответствующей функцией вероятности .

P (если A , то B ) обычно интерпретируется не как обычная вероятность — не конкретно как P ( A ′ ∪ B ) — а как условная вероятность B при заданном A , P ( B | A ) = P ( A Б ) / п ( А ). Возникает вопрос: а как насчет вероятности типа P (если A , то B , а если C , то D )? На этот вопрос не существует стандартного ответа. Для обеспечения согласованности потребуется обработка if-then как бинарной операции →, такой, что для условных событий A B и C D , P ( A B ) = P ( B | A ), P ( C D ) = P ( D | C ), а P (( A B ) ∧ ( C D )) четко определено и разумно. Именно такую ​​обработку пытаются обеспечить алгебры условных событий. [1]

Типы условной алгебры событий

[ редактировать ]

В идеале алгебра условных событий, или CEA, должна поддерживать функцию вероятности, отвечающую трем условиям:

1. Функция вероятности подтверждает обычные аксиомы .
2. Для любых двух обычных событий A и B , если P ( A ) > 0, то P ( A B ) = P ( B | A ) = P ( A B )/ P ( A ).
3. Для обычного события A и приемлемой функции вероятности P , если P ( A ) > 0, то PA A = P ( ⋅ | A ), функция, полученная путем обусловления , также является приемлемой функцией вероятности.

Однако Дэвид Льюис (1976) показал , что эти условия могут быть выполнены только тогда, когда есть только два возможных результата — как, скажем, при одном подбрасывании монеты. При наличии трех или более возможных результатов построение функции вероятности требует выбора, какое из трех вышеуказанных условий следует нарушить. Интерпретация A B как A ′ ∪ B дает обычную булеву алгебру, которая нарушает условие 2. При использовании CEA выбор делается между 1 и 3.

CEA трехмерного мероприятия

[ редактировать ]

CEA с тремя событиями черпают вдохновение из трехзначной логики , где идентификация логического соединения, дизъюнкции и отрицания с помощью простых операций над множествами больше не применяется. Для обычных событий A и B тройное событие A B происходит, когда происходят оба события A и B , не происходит, когда происходит A , но B не происходит , и остается неопределенным, когда A не происходит. (Термин «три события» взят из Финетти (1935): triévénement .) Обычные события, которые никогда не остаются неопределенными, включаются в алгебру как три события, обусловленные Ω, пустым событием, представленным всем выборочным пространством результаты; образом, A становится Ω → A. таким

Поскольку существует много трехзначных логик, существует множество возможных трехсобытийных алгебр. Однако два типа вызвали больший интерес, чем остальные. В одном типе A B и A B являются нерешительными только тогда, когда оба A и B не определены; когда есть только один из них, соединение или дизъюнкция следует за другим соединением или дизъюнктом. Когда отрицание обрабатывается очевидным способом, когда ¬ A не определено только в случае, если A не определено, этот тип алгебры трех событий соответствует трехзначной логике, предложенной Собоциньским (1920) и поддерживаемой Белнапом (1973), а также подразумеваемой «квазисоюзию» Адамса (1975) для кондиционалов. Шай (1968) был первым, кто предложил алгебраическую трактовку, которую Калабрезе (1987) развил более правильно. [2]

Другой тип CEA с тремя событиями обрабатывает отрицание так же, как и первый, но он рассматривает соединение и дизъюнкцию как минимальную и максимальную функции соответственно, с возникновением как высоким значением, отказом как низким значением и нерешительностью между ними. Этот тип алгебры трех событий соответствует трехзначной логике, предложенной Лукасевичем (1920), а также одобренной де Финетти (1935). Гудман, Нгуен и Уокер (1991) в конечном итоге предоставили алгебраическую формулировку.

Вероятность любого тройного события определяется как вероятность того, что оно произойдет, деленная на вероятность того, что оно произойдет или не произойдет. [3] При таком соглашении условия 2 и 3, приведенные выше, удовлетворяются двумя ведущими типами CEA с тремя событиями. Однако условие 1 не выполняется. В алгебре типа Собоциньского ∧ не распределяется по ∨, поэтому P ( A ∧ ( B C )) и P (( A B ) ∨ ( A C )) не обязательно должны быть равны. [4] В алгебре типа Лукасевича ∧ распределяется по ∨, но не по исключительным или, ( А B = ( А ∧ ¬ B ) ∨ (¬ A B )). [5] Кроме того, трехсобытийные CEA не являются дополняемыми решетками , а только псевдодополняемыми , потому что в общем случае ( A B ) ∧ ¬( A B ) не может возникнуть, но может быть неопределенным и, следовательно, не идентично Ω → ∅, нижнему элементу решетка. Это означает, что P ( C ) и P ( C (( A B ) ∧ ¬( A B ))) могут отличаться, хотя классически это не так.

Пространство продуктов CEA

[ редактировать ]

Если Р (если А , то В ) рассматривать как вероятность того, что А произойдет раньше А -и-не- В в серии испытаний, это можно вычислить как бесконечную сумму простых вероятностей: вероятность А ) -и- В в первом испытании плюс вероятность не- А (и либо В, либо не- В в первом испытании и А -и- В во втором, плюс вероятность не- А в первом испытании. первые два испытания и A - и - B в третьем и так далее, то есть P ( A B ) + P A ) P ( A B ) + P A ) 2 P ( A B ) + … или, в факторизованной форме, P ( A B )[1 + P A ) + P A ) 2 +…]. Поскольку второй множитель представляет собой разложение в ряд Маклорена 1 / [1 – P ( ¬A )] = 1 / P ( A ), бесконечная сумма равна P ( A B ) / P ( A ) = P ( B | A ).

Бесконечная сумма сама по себе является простой вероятностью, но пространство выборки теперь содержит не обычные результаты отдельных испытаний, а бесконечные последовательности обычных результатов. Таким образом, условная вероятность P ( B | A ) превращается в простую вероятность P ( B A ) путем замены Ω, выборочного пространства всех обычных результатов, на Ω*, выборочного пространства всех последовательностей обычных результатов, и путем идентификации условное событие A B с набором последовательностей, в которых первый ( A B )-исход предшествует первому ( A ∧ ¬ B )-исходу. В декартовых обозначениях произведения Ω* = Ω × Ω × Ω × …, а A B — бесконечное объединение [( A B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × ( A B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ А ′ × А ′ × ( А B ) × Ω × Ω × …] ∪ …. Безусловное событие A снова представлено условным событием Ω A. [6] В отличие от CEA с тремя событиями, этот тип CEA поддерживает идентификацию ∧, ∨ и ¬ с помощью знакомых операций ∩, ∪ и ′ не только для обычных безусловных событий, но и для условных. Поскольку Ω* — это пространство, определяемое бесконечно длинным декартовым произведением, булева алгебра подмножеств условных событий Ω* называется пространством-произведением CEA. Этот тип СЕА был введен ван Фраассеном (1976) в ответ на результат Льюиса, а позже независимо открыт Гудманом и Нгуеном (1994).

Функции вероятности, связанные с CEA в пространстве продуктов, удовлетворяют условиям 1 и 2, указанным выше. Однако для данной функции вероятности P , которая удовлетворяет условиям 1 и 2, если P ( A 0, можно показать, что P A ( C | B ) = P ( C | A B ) и PA ( ) > B C ) знак равно п ( B C | А ) + п ( B ′ | А ) п ( C | B ). [7] Если A , B и C попарно совместимы, но P ( A B C ) = 0, то P ( C | A B ) = P ( B C | A ) = 0, но P ( B ′ | A ) P ( C | B > 0. Следовательно, ( B B C ) не всегда равно PA ( ) C | PA ). Поскольку P A не соответствует условию 2, P не соответствует условию 3.

Вложенное если-то

[ редактировать ]

А как насчет вложенных условных конструкций? В CEA с тремя событиями право-вложенные конструкции обрабатываются более или менее автоматически, поскольку естественно сказать, что A → ( B C ) принимает значение B C (возможно, неопределённое), когда A истинно и не определено . когда А ложно. Однако левое вложение требует более осознанного выбора: когда A B не определено, должно ли ( A B ) → C быть неопределенным или оно должно принимать значение C ? Мнения различаются. Калабрезе придерживается последней точки зрения, отождествляя ( A B ) → ( D ) с ((¬ A B ) ∧ C ) → D. C [8]

При использовании CEA в пространстве продукта вложенные условные выражения требуют вложенных конструкций последовательностей: для оценки P (( A B ) → ( C D )) требуется выборочное пространство метапоследовательностей последовательностей обычных результатов. Вероятности обычных последовательностей рассчитываются, как и раньше. Для данной серии испытаний, исходами которых являются последовательности обычных исходов, P (( A B ) → ( C D )) равно P ( C D | A B ) = P (( A B ) ∧ ( C D )) / P ( A B ), вероятность того, что (( A B ) ∧ ( C B )) -последовательность встретится перед (( A B ) ∧ ¬( C B )) -последовательность. Итерации условных операторов более высокого порядка требуют метапоследовательных конструкций более высокого порядка. [9]

В любом из двух ведущих типов трехсобытийного CEA A → ( B C ) = ( A B ) → C . [10] CEA для продуктового пространства, с другой стороны, не поддерживают эту идентичность. Последний факт можно вывести из уже отмеченного невыполнения P A ( B C ) равенства P A ( C | B ), поскольку P A ( C | B ) = P (( A B ) → C ) и P A ( B C ) = P ( A → ( B C )). Однако для прямого анализа рассмотрим метапоследовательность, первая последовательность членов которой начинается с ( A ∧ ¬ B C )-исхода, за которым следует (¬ A B C )-исход, за которым следует ( A B ∧ ¬ C )-исход. Эта метапоследовательность будет принадлежать событию A → ( B C ), поскольку первая последовательность-член является ( A ∧ ( B C )) -последовательностью, но метапоследовательность не будет принадлежать событию ( A B ) → C , поскольку первая последовательность-член является (( A B ) → ¬ C )-последовательностью.

Приложения

[ редактировать ]

Первоначальный стимул для CEA является теоретическим, а именно, проблемой реагирования на результат Льюиса, но были предложены практические приложения. Если, например, события A и C включают сигналы, излучаемые военными радиолокационными станциями, а события B и D связаны с запусками ракет, противостоящая военная сила с системой противоракетной обороны, управляемой ИИ, может захотеть, чтобы система была способна вычислить P (( A B ) ∧ ( C D )) и/или P (( A B ) → ( C D )). [11] Другие приложения варьируются от интерпретации изображений [12] для обнаружения атак типа «отказ в обслуживании» в компьютерных сетях. [13]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ В литературе по CEA на самом деле используется ( B | A ) для обозначения «если A , то B », но из-за этого соглашения некоторые моменты сложнее четко сформулировать. для улучшения разборчивости в настоящей статье используется более знакомое A B. По этой причине, а также
  2. ^ Шай фактически определил две алгебры, одну связанную с ∧, а другую с ∨. Этой линии развития не последовали другие.
  3. ^ Де Финетти 1935, с. 184. Технически существует две функции вероятности: P , которая распространяется на обычные события, и P *, которая определяется P и распространяется на условные события. Эта нотационная тонкость здесь будет проигнорирована.
  4. ^ Рассмотрим случай, когда A истинно, B не определено, а C ложно.
  5. ^ С А B не определился, когда будет A или B , сравните A ∧ ( B С ) и ( А B ) ( A C ), когда A не определено, а B и C оба верны.
  6. ^ Поскольку Ω ∩ A = A и Ω′ = ∅, бесконечное объединение, представляющее Ω → A, сводится к A × Ω × Ω × Ω ×….
  7. ^ Гудман, Малер и Нгуен 1999, с. 7, дает формулу, необходимую для получения последнего результата: P (( A B ) ∧ ( C D )) = [ P ( A B C D ) + P ( A ′ ∧ C D ) P ( B А C ) + ( C А B ) п ( D | п )] / п ( А C ). Интерес представляет особый случай P ((Ω → A ) ∧ ( B C )).
  8. ^ Калабрезе 1987, с. 217.
  9. ^ Гудман и Нгуен 1995, стр. 281-283.
  10. ^ Это тождество по логике соответствует закону импорта-экспорта, как его называют.
  11. ^ Гудман, Малер и Нгуен 1999.
  12. ^ Келли, Дерин и Гонг 1999.
  13. ^ Сан и др. 2014.

Адамс, EW 1975. Логика условных предложений. Д. Райдель, Дордрехт.

Бамбер Д., Гудман И.Р. и Нгуен Х.Т. 2004. «Вывод из условного знания». Мягкие вычисления 8: 247–255.

Белнап, Н.Д. 1973. «Ограниченная количественная оценка и условное утверждение», в Х. Леблане (редактор), « Истина, синтаксис и модальность» , Северная Голландия, Амстердам. 48–75.

Калабрезе, П. 1987. «Алгебраический синтез основ логики и вероятности». Информационные науки 42:187-237.

Финетти, Бруно. 1935. «Логика вероятности». Материалы Международного научно-философского конгресса . Париж.

ван Фраассен, Бас К. 1976. «Вероятности условных предложений» в книге У.Л. Харпера и К.А. Хукера (ред.), « Основы теории вероятностей, статистических выводов и статистических теорий науки» , том И.Д. Рейделя, Дордрехт, стр. 261–308. .

Гудман, И. Р., Малер, Р. П. С. и Нгуен, Х. Т. 1999. «Что такое алгебра условных событий и почему вас это должно волновать?» Труды SPIE , Vol. 3720.

Гудман, И.Р., Нгуен, Х.Т. и Уокер, Э.А. 1991. Условный вывод и логика для интеллектуальных систем: теория безмерной обусловленности . Офис начальника военно-морских исследований, Арлингтон, Вирджиния.

Гудман, И. Р. и Нгуен, Х. Т. 1994. «Теория условной информации для вероятностного вывода в интеллектуальных системах: II, подход пространства продуктов; III Математическое приложение». Информационные науки 76:13-42; 75: 253-277.

Гудман, И. Р. и Нгуен, Х. Т. 1995. «Математические основы условных выражений и их вероятностные назначения». Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях 3 (3): 247-339

Келли, Пенсильвания, Дерин, Х. и Гонг, В.-Б. 1999. «Некоторые применения условных событий и случайных наборов для оценки изображений и моделирования систем». SPIE Proceedings 3720: 14-24.

Лукасевич, Дж. 1920. «О трехзначной логике» (на польском языке). Философское движение 5: 170–171. Английский перевод: «О трехзначной логике», в Л. Борковски (редактор), Избранные работы Яна Лукасевича , Северная Голландия, Амстердам, 1970, стр. 87–88. ISBN 0-7204-2252-3

Шай, Геза. 1968. «Алгебра условных событий». Журнал математического анализа и приложений 24: 334-344.

Собоциньский, Б. 1952. «Аксиоматизация частичной системы трехзначного исчисления высказываний». Журнал вычислительных систем 1 (1): 23-55.

Сунь Д., Ян К., Цзин Х., Лв Б. и Ван Ю. 2014. «Обнаружение аномального сетевого трафика на основе алгебры условных событий». Прикладная механика и материалы 644-650: 1093-1099.

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 6d7fe4ed2f5a89de26459dc4d2a93d2d__1713330720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/6d/2d/6d7fe4ed2f5a89de26459dc4d2a93d2d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Conditional event algebra - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)