2-значный морфизм
В математике морфизм двузначный [1] является гомоморфизмом , который переводит булеву алгебру B в двухэлементную булеву алгебру 2 = {0,1}. По сути, это то же самое, что ультрафильтр на B , по-другому, то же самое, что и максимальный идеал B. , и Двузначные морфизмы также были предложены в качестве инструмента для объединения языка физики. [2]
2-значные морфизмы, ультрафильтры и максимальные идеалы
[ редактировать ]Предположим, B — булева алгебра.
- Если s : B → 2 является 2-значным морфизмом, то набор элементов B которые отправляются в 1, является ультрафильтром на B , а набор элементов B , которые отправляются в 0, является максимальным идеалом B. ,
- Если U — ультрафильтр на B , то дополнение к U — максимальный идеал B , и существует ровно один двузначный морфизм s : B → 2 , который переводит ультрафильтр в 1, а максимальный идеал в 0.
- Если M — максимальный идеал B , то дополнение M является ультрафильтром на B , и существует ровно один двузначный морфизм s : B → 2 , который переводит ультрафильтр в 1, а максимальный идеал в 0.
Физика
[ редактировать ]Если элементы B рассматриваются как «предложения о некотором объекте», то двузначный морфизм на B можно интерпретировать как представление определенного «состояния этого объекта», а именно того, в котором предложения B , которые отображаются в 1 истинны, а предложения, отображаемые в 0, ложны. Поскольку морфизм сохраняет булевы операторы ( отрицание , конъюнкция и т. д.), набор истинных предложений не будет противоречивым, а будет соответствовать конкретной максимальной конъюнкции предложений, обозначающей (атомарное) состояние. (Истинные предложения образуют ультрафильтр, ложные предложения образуют максимальный идеал, как упоминалось выше.)
Переход между двумя состояниями s 1 и s 2 B , представленный двузначными морфизмами, может быть тогда представлен автоморфизмом f из B в B , таким что s 2 o f = s 1 .
Возможные состояния различных объектов, определенные таким образом, можно рассматривать как представляющие потенциальные события. Тогда набор событий может быть структурирован таким же образом, как инвариантность причинной структуры, или локально-глобальные причинные связи, или даже формальные свойства глобальных причинных связей.
Морфизмы между (нетривиальными) объектами можно рассматривать как представляющие причинные связи, ведущие от одного события к другому. Например, приведенный выше морфизм f приводит от события s 1 к событию s 2 . Последовательности или «пути» морфизмов, для которых нет обратного морфизма, можно было бы тогда интерпретировать как определяющие горизматического отношения или хронологического предшествования. Эти отношения затем будут определять временной порядок , топологию и, возможно, метрику .
В соответствии с, [2] «Можно найти минимальную реализацию такой реляционно определенной структуры пространства-времени». Однако в этой модели нет явных различий. Это эквивалентно модели, где каждый объект характеризуется только одним различием: (наличие, отсутствие) или (существование, несуществование) события. Таким образом, «стрелки» или «структурный язык» можно интерпретировать как морфизмы, сохраняющие это уникальное различие». [2]
Однако если рассматривать более одного различия, модель становится гораздо более сложной, а интерпретация состояний различия как событий или морфизмов как процессов становится гораздо менее простой.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Флейшер, Исидор (1993), «Булева формализация исчисления предикатов», Алгебры и порядки (Монреаль, PQ, 1991) , NATO Adv. наук. Инст. Сер. С Математика. Физ. наук, том. 389, Клювер Акад. Публикация, Дордрехт, стр. 193–198, MR 1233791 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Хейлиген, Фрэнсис (1990). Структурный язык основ физики . Брюссель: Международный журнал общих систем 18, стр. 93-112.