Площадь оппозиции

Площадь оппозиции. Здесь вместо прописных букв (A, E, I, O) используются строчные буквы (a, e, i, o), чтобы визуально отличить их от окружающих заглавных букв S (Тематический термин) и P. (предикатный термин). На диаграммах Венна черные области пусты , а красные области непусты. Белые области могут быть или не быть пустыми. Выцветшие стрелки и выцветшие красные области применяются в традиционной логике, предполагающей существование вещей, обозначенных как S (или вещей, удовлетворяющих утверждению S в современной логике). В современной логике это не предполагается, поэтому блеклые не имеют силы. (В современной логике в блекло-красных областях не может быть никакого элемента.)

Изображение 15 века.

В терминологической логике (раздел философской логики ) квадрат оппозиции представляет собой диаграмму, изображающую отношения между четырьмя основными категорическими суждениями .Происхождение квадрата можно проследить до « трактата Аристотеля Об интерпретации» и его различения двух оппозиций: противоречия и противоречия .Однако Аристотель не нарисовал никакой диаграммы; это сделали несколько столетий спустя Апулей и Боэций .

Краткое содержание

В традиционной логике суждение устное (лат. propositio ) — это утверждение ( oratio enunciativa не значение утверждения, как в современной философии языка ), а и логики . Категорическое предложение — это простое предложение, содержащее два термина, субъект ( S ) и предикат ( P ), в котором предикат либо утверждается, либо отрицается в отношении субъекта.

Каждое категорическое суждение можно свести к одной из четырех логических форм названных A , E , I и O, основанных на латинском affirmo ( e я утверждаю ) , для утвердительных суждений A и I и n , go ( I для отрицательных предложений Е и О. отрицать) , Это:

• Предложение А , универсальное утвердительное утверждение ( universalisafferativa ), форма которого на латыни — «omne S est P », обычно переводится как «каждое S есть P ».
• Предложение Е , универсальное отрицательное ( universalis negativa ), латинская форма «nullum S est P », обычно переводится как «нет S есть P ».
• Предложение I , частное утвердительное предложение ( specialisafferativa ), латинское «quoddam S est P », обычно переводимое как «некоторые S есть P ».
• Предложение О , частное отрицание ( партикулярис негатива ), латинское «quoddam S nōn est P », обычно переводится как «некоторые S не являются P ».

В табличной форме:

Четыре положения Аристотеля

Имя	Символ	латинский	Английский*	Мнемоника	Современная форма
Универсальный утвердительный	А	Каждое S есть P. ​	Каждое S есть P. ​ ( S всегда P .)	фирма ​ (я подтверждаю)	$\forall x(Sx\rightarrow Px)$
Универсальный негатив	И	Нет S это P. —	Нет S это P. — ( S никогда не является P. )	n e go (даже дни)	$\forall x(Sx\rightarrow \neg Px)$
Особый утвердительный	я	Определенное S есть P. ​	Некоторое S есть P. ​ ( S иногда P. )	афф я рмо (я подтверждаю)	$\exists x(Sx\land Px)$
Особый негатив	ТО	Некоторое S есть P. не	Некоторое S есть P. не ( S не всегда P. )	neg o (даже дни)	$\exists x(Sx\land \neg Px)$

* Предложение А можно сформулировать как «Все S есть Р ». Однако предложение E, если оно сформулировано соответственно как «Все S не есть P ». неоднозначен потому что это может быть предложение E или O , поэтому для определения формы требуется контекст; стандартная форма «Нет S есть P » однозначна, поэтому она предпочтительна. Предложение O также принимает форму «Иногда S не есть P ». и «Некоторое S не есть P ». (буквально латинское «Quoddam S nōn est P. »)

** $Sx$ в современных формах означает, что утверждение $S$ применяется к объекту $x$. Это можно просто интерпретировать как « $x$ является $S$"Во многих случаях. $Sx$ можно также записать как $S(x)$.

Аристотель утверждает (в шестой и седьмой главах Peri hermēneias (Περὶ Ἑρμηνείας, латинское De Interpretatione , англ. «Об интерпретации»)), что между этими четырьмя видами предложений существуют определенные логические отношения. Он говорит, что каждому утверждению соответствует ровно одно отрицание и что каждое утверждение и его отрицание «противоположны» так, что всегда одно из них должно быть истинным, а другое ложным. Пара утвердительного высказывания и его отрицания есть, по его словам, « противоречие » (на средневековой латыни — противоречие ). Примерами противоречий являются «каждый человек белый» и «не каждый человек белый» (также читается как «некоторые мужчины не белые»), «ни один человек не белый» и «некоторые мужчины белые».

Приведенные ниже отношения, противоположные, субпротивоположные, субальтернативные и суперальтернативные, действительно выполняются на основе традиционного логического предположения о том, что вещи, заявленные как S (или вещи, удовлетворяющие утверждению S в современной логике), существуют. Если это предположение исключить, то эти соотношения не выполняются.

« Противоположные » (средневековые: contrariae ) утверждения таковы, что оба утверждения не могут быть истинными одновременно. Примерами этого являются универсальное утвердительное утверждение «каждый человек белый» и универсальное отрицательное утверждение «ни один человек не белый». Это не может быть правдой одновременно. Однако это не противоречия, поскольку оба они могут быть ложными. Например, утверждение о том, что каждый человек белый, неверно, поскольку некоторые мужчины не белые. Однако неверно и то, что ни один человек не является белым, поскольку есть некоторые белые люди.

Поскольку каждое утверждение имеет противоречивую противоположность (его отрицание) и поскольку противоречивое утверждение истинно, когда его противоположность ложна, из этого следует, что противоположности противоположностей (которые средневековье называли subcontraries , subcontrariae ) могут быть истинными оба, но они не могут одновременно быть истинными. быть ложным. Поскольку субпротивоположности являются отрицаниями универсальных высказываний, средневековые логики называли их «частными» высказываниями.

Другое логическое отношение, подразумеваемое этим, хотя и не упомянутое Аристотелем явно, — это «чередование» ( alternatio ), состоящее из « подальтернирования » и « сверхальтернирования ». Субальтернирование — это такое отношение между частным высказыванием и универсальным высказыванием одного и того же качества (утвердительного или отрицательного), при котором частное подразумевается из всеобщего, тогда как суперальтернирование — это такое отношение между ними, при котором ложность всеобщего (т. е. отрицание всеобщее) подразумевается ложностью частного (что эквивалентно отрицанию частного). (Сверхальтернирование является противоположностью субальтернативности.) В этих отношениях особенное является подчиненным всеобщего, которое является суперальтерном частного. Например, если утверждение «каждый человек белый» истинно, то утверждение «ни один человек не белый» является ложным. Следовательно, противоречивое утверждение «какой-то мужчина белый» верно. Точно так же универсальное «ни один человек не белый» подразумевает частное «не каждый человек белый».

В итоге:

• Универсальные утверждения противоположны: «каждый человек справедлив» и «никто не справедлив» не могут быть истинными вместе, хотя одно может быть истинным, а другое ложным, а также оба могут быть ложными (если хотя бы один человек справедлив и при этом хоть один человек не справедлив).
• Частные высказывания являются второстепенными. «Некоторый человек справедлив» и «некоторый человек не справедлив» не могут быть ложными вместе.
• Частное утверждение одного качества является подчиненным универсальным утверждением того же качества, которое является суперальтерном частного утверждения, поскольку в семантике Аристотеля «каждое А есть В » подразумевает «некоторые А есть В » и «ни одно А не есть В ». подразумевает, что «некоторое А не есть Б ». Обратите внимание, что современные формальные интерпретации английских предложений интерпретируют фразу «каждый A есть B » как «для любого x утверждение, что x есть A, подразумевает утверждение, что x есть B », что не подразумевает, что «некоторый x есть A» . Однако это вопрос семантической интерпретации, и это не означает, как иногда утверждают, что аристотелевская логика «неправильна».
• Общее утвердительное ( А ) и частное отрицательное ( О ) противоречивы. Если какое-то не является B , то не каждое A является B. A И наоборот, хотя в современной семантике это не так, считалось, что если каждое не является B , то некоторое A не является B. A Такая интерпретация вызвала затруднения (см. ниже). В то время как греческий язык Аристотеля не представляет конкретное негативное как «некоторое А не есть Б» , а как «не всякое А есть Б », кто-то в своем комментарии к Peri hermaneias передает конкретное негативное как «quoddam A nōn est B », буквально «определенное А не есть Б », и во всех средневековых трудах по логике принято представлять конкретное предложение именно таким образом.

Эти отношения легли в основу диаграммы, созданной Боэцием и использовавшейся средневековыми логиками для классификации логических отношений. Предложения расположены в четырех углах квадрата, а отношения представлены в виде линий, проведенных между ними, отсюда и название «квадрат оппозиции».Таким образом, можно выделить следующие случаи:

1. Если А истинно, то Е ложно, I истинно, О ложно;
2. Если Е истинно, то А ложно, I ложно, О истинно;
3. Если I истинно, то E ложно, A и O неопределенны;
4. Если О истинно, то А ложно, Е и I неопределенны;
5. Если А ложно, то О истинно, Е и I неопределенны;
6. Если Е ложно, то I истинно, А и О неопределенны;
7. Если I ложно, то A ложно, E истинно, O истинно;
8. Если О ложно, то А истинно, Е ложно, I истинно.

Для их запоминания средневековые люди придумали следующую латинскую рифму:

А утверждает, Е отрицает , но универсально и то, и другое;
Я утверждаю, О отрицает , но особенно то и другое.

Он утверждает, что A и E не являются ни одновременно истинными, ни одновременно ложными в каждом из вышеперечисленных случаев. То же самое относится и I и O. к Первые два являются универсальными утверждениями, а пара ввода / вывода относится к частным.

Квадрат Оппозиций использовался для категорических умозаключений, описанных греческим философом Аристотелем: конверсия , противодействие и противопоставление . трех типов категорического вывода был применен к четырем боэтовским логическим формам: A , E , I и O. Каждый из этих

Проблема экзистенциального импорта

Основная статья: Экзистенциальный импорт

Подпротивоположности ( I и O ), которые средневековые логики представляли в форме «quoddam A est B » (некоторое конкретное A есть B ) и «quoddam A non est B » (некоторое конкретное A не есть B ), не могут одновременно быть ложными, поскольку их универсальные противоречивые утверждения (ни одно A не является B / каждое A есть B ) не могут быть одновременно истинными. Это приводит к затруднению, впервые выявленному Петром Абеляром (1079 – 21 апреля 1142 г.). «Некоторое А есть Б », по-видимому, подразумевает «что-то есть » , другими словами, существует нечто, что есть А. А Например, фраза «Некоторый мужчина белый», по-видимому, подразумевает, что по крайней мере одна вещь, которая существует, — это мужчина, а именно человек, который должен быть белым, если утверждение «Некоторый мужчина белый» истинно. Но фраза «какой-то человек не белый» также подразумевает, что нечто в виде человека существует, а именно человек, который не белый, если утверждение «какой-то человек не белый» истинно. Но аристотелевская логика требует, чтобы одно из этих утверждений (в более общем смысле: «некоторое конкретное А есть В » и «некое конкретное А не есть В ») обязательно истинно, т. е. они не могут оба быть ложными. Следовательно, поскольку оба утверждения подразумевают присутствие хотя бы одного существа, то есть человека, следует присутствие мужчины или людей. Но, как отмечает Абеляр в Диалектика , неужели люди не могут существовать?

Поскольку абсолютно никакого человека не существует, ни утверждение «каждый человек есть человек», ни утверждение «какой-то человек не является человеком».

Абеляр также указывает, что оба противоположности, содержащие субъектные термины, ничего не обозначающие, такие как «человек, который есть камень», оба ложны.

Если утверждение «каждый каменный человек — камень» истинно, то и его преобразование per Accidens верно («Некоторые камни — каменные люди»). Но ни один камень не является каменным человеком, потому что ни этот человек, ни тот человек и т. д. не являются камнем. Но и утверждение «какой-то каменный человек не является камнем» по необходимости ложно, поскольку невозможно предположить, что оно истинно.

Теренс Парсонс (род. 1939) утверждает, что древние философы не сталкивались с проблемой экзистенциального значения , поскольку только формы A (универсальное утвердительное) и I (частное утвердительное) имели экзистенциальное значение. (Если утверждение включает в себя такой термин, что это утверждение является ложным, если этот термин не имеет экземпляров, т. е. не существует ничего, связанного с этим термином, то говорят, что утверждение имеет экзистенциальное значение по отношению к этому термину.)

Утвердительные утверждения имеют экзистенциальное значение, а отрицательные — нет. Таким образом, древние не видели бессвязности квадрата, сформулированной Аристотелем, потому что не было никакой бессвязности, которую можно было бы увидеть.

Далее он цитирует средневекового философа Уильяма Мербеке (1215–35 – ок. 1286 ):

В утвердительных предложениях термин всегда утверждается, предполагая что-то. Таким образом, если оно ничего не предполагает, то предложение ложно. Однако в отрицательных предложениях утверждение состоит либо в том, что термин не предполагает чего-то, либо в том, что он предполагает что-то, предикат которого действительно отрицается. Таким образом, отрицательное суждение имеет две причины истинности.

И указывает на то, что перевод Боэция работы Аристотеля дает начало ошибочному представлению о том, что форма О имеет экзистенциальное значение.

Но когда Боэций (477–524 гг. н.э.) комментирует этот текст, он иллюстрирует учение Аристотеля знаменитой ныне диаграммой и использует формулировку: «Некоторые люди не справедливы». Поэтому ему, должно быть, показалось это естественным эквивалентом в латыни. Нам это кажется странным на английском языке, но его это не беспокоило.

Современные площади оппозиции

Площадь оппозиции Фреге
Противоречие ниже является ошибкой :
Должно читаться subconträr .

В 19 веке Джордж Буль (ноябрь 1815 г. - 8 декабря 1864 г.) выступал за требование экзистенциального импорта обоих терминов в конкретных утверждениях ( I и O ), но позволял всем терминам универсальных требований ( A и E ) лишаться экзистенциального импорта. Это решение сделало диаграммы Венна особенно простыми в использовании для терминальной логики. Квадрат оппозиции, согласно этому набору логических предположений, часто называют современным квадратом оппозиции . В современном квадрате оппозиции утверждения А и О являются противоречивыми, как и Е и I , но все другие формы оппозиции перестают иметь силу; нет противоположностей, субпротивоположностей, субальтернаций и сверхальтернаций. Таким образом, с современной точки зрения часто имеет смысл говорить об оппозиции утверждения, а не настаивать, как это делали старые логики, на том, что утверждение имеет несколько различных противоположностей, которые находятся в различных видах оппозиции с утверждением. требовать.

Готлоба Фреге (8 ноября 1848 - 26 июля 1925) В « Begriffsschrift» также представлен квадрат оппозиций, организованный почти идентично классическому квадрату, показывающий противоречия, подчиненные и противоположности между четырьмя формулами, построенными на основе универсального количественного определения, отрицания и импликации. .

Альгирдаса Жюльена Греймаса (9 марта 1917 – 27 февраля 1992) Семиотический квадрат был заимствован из работ Аристотеля.

Традиционный квадрат оппозиции теперь часто сравнивают с квадратами, основанными на внутреннем и внешнем отрицании.

Логические шестиугольники и другие бисимплексы

Основная статья: Логический шестиугольник

Квадрат оппозиции расширен до логического шестиугольника, включающего отношения шести утверждений. Он был открыт независимо Огюстеном Сесма (7 апреля 1885 г. - 12 декабря 1957 г.) и Робером Бланше (1898–1975). Доказано, что и квадрат, и шестиугольник, за которым следует « логический куб », принадлежат к регулярному ряду n-мерных объектов, называемому «логическими бисимплексами размерности n ». Модель выходит даже за рамки этого.

Квадрат оппозиции (или логический квадрат) и модальная логика

Логический квадрат, также называемый квадратом оппозиции или квадратом Апулея , берет свое начало от четырех отмеченных предложений, используемых в силлогистическом рассуждении: «Каждый человек плох», универсальное утвердительное утверждение — Отрицание универсального утвердительного предложения «Не каждый человек» плох» (или «Некоторые люди неплохи») — «Некоторые люди плохи», частное утвердительное утверждение — и, наконец, отрицание частного утвердительного «Ни один человек не плох». Робер Бланше опубликовал вместе с Врином свои «Интеллектуальные структуры» в 1966 году, и с тех пор многие ученые считают, что логический квадрат или квадрат оппозиции, представляющий четыре ценности, должен быть заменен логическим шестиугольником , который, представляя шесть ценностей, является более мощной фигурой, поскольку обладает способностью объясните больше о логике и естественном языке.

Теоретико-множественная интерпретация категоричных высказываний

В современной математической логике утверждения, содержащие слова «все», «некоторые» и «нет», могут быть сформулированы в терминах теории множеств, если мы предполагаем область дискурса, подобную множеству. Если набор всех A помечен как $s(A)$ и набор всех B как $s(B)$, затем:

• «Все А есть Б » (АаВ) эквивалентно « $s(A)$ является подмножеством ​ $s(B)$", или $s(A)\subseteq s(B)$.
• «Нет , А есть Б » (АеВ) эквивалентно Пересечение « $s(A)$ и $s(B)$ пусто " , или $s(A)\cap s(B)=\emptyset$.
• «Некоторое А есть Б » (AiB) эквивалентно «Пересечению $s(A)$ и $s(B)$ не пусто", или $s(A)\cap s(B)\neq \emptyset$.
• «Некоторое А не есть Б » (AoB) эквивалентно « $s(A)$ не является подмножеством $s(B)$", или $s(A)\nsubseteq s(B)$.

По определению пустое множество $\emptyset$ является подмножеством всех множеств. Из этого факта следует, что, согласно этому математическому соглашению, если не существует А , то утверждения «Все А есть В » и «Нет А есть В » всегда истинны, тогда как утверждения «Некоторые А есть В » и «Некоторые А не есть Б » всегда ложны. Это также означает, что AaB не влечет за собой AiB, и некоторые из упомянутых выше силлогизмов недействительны, когда нет букв A ( $s(A)=\emptyset$).

См. также

• Силлогистика Буля
• Свободная логика
• Логический куб
• Логический шестиугольник
• Восьмиугольник пророчеств
• Треугольник оппозиции

Внешние ссылки

• Парсонс, Теренс. «Традиционная площадь оппозиции» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Международный конгресс на площади Оппозиции
• Специальный выпуск Logica Universalis Vol. 2 № 1 (2008) на площади Оппозиции
• Catlogic: компьютерный сценарий с открытым исходным кодом, написанный на Ruby, для построения, исследования и вычисления категоричных суждений и силлогизмов.
• Periermenias Aristotelis со ссылками на видео и оцифрованную рукопись LJS 101 латинского перевода Боэция « » Аристотеля De интерпретации , который содержит копии 9/11 веков (некоторые цветные) квадрата оппозиции Аристотеля на листах 36r и 36v.