Классическая механика — это раздел физики, используемый для описания движения макроскопических объектов. [1] масса , ускорение и сила , широко используются и известны. [2] трехмерное евклидово пространство с фиксированными осями, называемое системой отсчета. Точка совпадения трех осей известна как начало конкретного пространства. [3]
Классическая механика использует множество уравнений , а также других математических концепций, которые связывают различные физические величины друг с другом. К ним относятся дифференциальные уравнения , многообразия , группы Ли и эргодическая теория . [4]
В этой статье перечислены уравнения механики Ньютона ; см . в аналитической механике более общую формулировку классической механики (которая включает лагранжеву и гамильтонову механику ) .
Количество (общее название/я) (Общий) символ/ы Определение уравнения единицы СИ Измерение Линейная, поверхностная, объемная массовая плотность λ или μ (особенно в акустике , см. ниже) для линейного, σ для поверхности, ρ для объема. m = ∫ λ d ℓ {\displaystyle m=\int \lambda \,\mathrm {d} \ell } m = ∬ σ d S {\displaystyle m=\iint \sigma \,\mathrm {d} S}
m = ∭ ρ d V {\displaystyle m=\iiint \rho \,\mathrm {d} V}
кг м − п , п = 1, 2, 3 МЛ − п Момент массы [5] м (нет общего символа) Масса точки: m = r m {\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {r} m}
Дискретные массы вокруг оси x i {\displaystyle x_{i}} m = ∑ i = 1 N r i m i {\displaystyle \mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}m_{i}}
Континуум массы вокруг оси x i {\displaystyle x_{i}} m = ∫ ρ ( r ) x i d r {\displaystyle \mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r} }
кг м МЛ Центр масс р ком (Символы различаются)
i-й момент массы m i = r i m i {\displaystyle \mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}} Дискретные массы: r c o m = 1 M ∑ i r i m i = 1 M ∑ i m i {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}}
Массовый континуум: r c o m = 1 M ∫ d m = 1 M ∫ r d m = 1 M ∫ r ρ d V {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\int \mathrm {d} \mathbf {m} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho \,\mathrm {d} V}
м л 2-корпус уменьшенной массы м 12 , мкм Пара масс = м 1 и м 2 μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} кг М Момент инерции (MOI) я Дискретные массы: I = ∑ i m i ⋅ r i = ∑ i | r i | 2 m {\displaystyle I=\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\left|\mathbf {r} _{i}\right|^{2}m}
Массовый континуум: I = ∫ | r | 2 d m = ∫ r ⋅ d m = ∫ | r | 2 ρ d V {\displaystyle I=\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\rho \,\mathrm {d} V}
кг м 2 МЛ 2
Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a . Количество (общее название/я) (Общий) символ/ы Определение уравнения единицы СИ Измерение Скорость v v = d r d t {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}} РС −1 LT −1 Ускорение а a = d v d t = d 2 r d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}} РС −2 LT −2 Придурок дж j = d a d t = d 3 r d t 3 {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}} РС −3 LT −3 Трясти с s = d j d t = d 4 r d t 4 {\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}} РС −4 LT −4 Угловая скорость ой ω = n ^ d θ d t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}} колесо с −1 Т −1 Угловое ускорение а α = d ω d t = n ^ d 2 θ d t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}} колесо с −2 Т −2 Угловой рывок г ζ = d α d t = n ^ d 3 θ d t 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}} колесо с −3 Т −3
Угловые моменты классического объекта. Слева: собственный «спиновый» угловой момент S на самом деле представляет собой орбитальный угловой момент объекта в каждой точке, справа: внешний орбитальный угловой момент L вокруг оси, вверху: тензор момента инерции I и угловая скорость ω ( L не всегда параллельна ω ) [6] внизу: импульс p и его радиальное положение r от оси. J . Количество (общее название/я) (Общий) символ/ы Определение уравнения единицы СИ Измерение Импульс п p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} } кг мс −1 МЛТ −1 Сила Ф F = d p / d t {\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t} Н = кг мс −2 МЛТ −2 Импульс Дж , Δ п , я J = Δ p = ∫ t 1 t 2 F d t {\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t} кг мс −1 МЛТ −1 Угловой момент относительно точки положения r 0 , Л , Дж , С L = ( r − r 0 ) × p {\displaystyle \mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p} } В большинстве случаев мы можем установить r 0 = 0, если частицы вращаются вокруг осей, пересекающихся в одной общей точке.
кг м 2 с −1 МЛ 2 Т −1 Момент силы относительно точки положения r 0 , Крутящий момент
т , М τ = ( r − r 0 ) × F = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}} Н·м = кг·м 2 с −2 МЛ 2 Т −2 Угловой импульс Δ L (без общего символа) Δ L = ∫ t 1 t 2 τ d t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\,\mathrm {d} t} кг м 2 с −1 МЛ 2 Т −1
Количество (общее название/я) (Общий) символ/ы Определение уравнения единицы СИ Измерение Механическая работа, выполняемая результирующей силой. В W = ∫ C F ⋅ d r {\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} } J = Н·м = кг·м 2 с −2 МЛ 2 Т −2 Работа, выполненная НА механической системе, Работа, выполненная КЕМ ВЫИГРАЛИ НА , ПОБИЛИ Δ W O N = − Δ W B Y {\displaystyle \Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }} J = Н·м = кг·м 2 с −2 МЛ 2 Т −2 Потенциальная энергия φ , Φ, U , V , E p Δ W = − Δ V {\displaystyle \Delta W=-\Delta V} J = Н·м = кг·м 2 с −2 МЛ 2 Т −2 Механическая мощность П P = d E d t {\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}} W = Дж с −1 МЛ 2 Т −3
Каждая консервативная сила обладает потенциальной энергией . неотносительное значение Следуя двум принципам, можно последовательно присвоить U :
Везде, где сила равна нулю, ее потенциальная энергия также определяется как ноль. Всякий раз, когда сила действует, потенциальная энергия теряется. Количество (общее название/я) (Общий) символ/ы Определение уравнения единицы СИ Измерение Обобщенные координаты д, д варьируется в зависимости от выбора варьируется в зависимости от выбора Обобщенные скорости q ˙ , Q ˙ {\displaystyle {\dot {q}},{\dot {Q}}} q ˙ ≡ d q / d t {\displaystyle {\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t} варьируется в зависимости от выбора варьируется в зависимости от выбора Обобщенные импульсы п, п p = ∂ L / ∂ q ˙ {\displaystyle p=\partial L/\partial {\dot {q}}} варьируется в зависимости от выбора варьируется в зависимости от выбора лагранжиан л L ( q , q ˙ , t ) = T ( q ˙ ) − V ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)} где q = q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (t)} p = p ( t ) — векторы обобщенных координат и импульсов как функции времени
Дж МЛ 2 Т −2 гамильтониан ЧАС H ( p , q , t ) = p ⋅ q ˙ − L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)} Дж МЛ 2 Т −2 Действие , основная функция Гамильтона С , S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} S = ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t} Дж с МЛ 2 Т −1
В следующих определениях вращения угол может быть любым углом относительно указанной оси вращения. Обычно используется θ , но это не обязательно должен быть полярный угол, используемый в полярных системах координат. Единичный осевой вектор
n ^ = e ^ r × e ^ θ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}
определяет ось вращения, e ^ r {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}} r e ^ θ {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}
Перевод Вращение Скорость Средний: v a v e r a g e = Δ r Δ t {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}}
v = d r d t {\displaystyle \mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}}
Угловая скорость ω = n ^ d θ d t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}} твердое тело : v = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} } Ускорение Средний: a a v e r a g e = Δ v Δ t {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}
Мгновенный:
a = d v d t = d 2 r d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}
Угловое ускорение α = d ω d t = n ^ d 2 θ d t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}
Вращающееся твердое тело:
a = α × r + ω × v {\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }
Придурок Средний: j a v e r a g e = Δ a Δ t {\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}}
Мгновенный:
j = d a d t = d 2 v d t 2 = d 3 r d t 3 {\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}
Угловой рывок ζ = d α d t = n ^ d 2 ω d t 2 = n ^ d 3 θ d t 3 {\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}}
Вращающееся твердое тело:
j = ζ × r + α × a {\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a} }
Перевод Вращение Импульс Импульс — это «объем перевода». p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
Для вращающегося твердого тела:
p = ω × m {\displaystyle \mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m} }
Угловой момент Угловой момент — это «количество вращения»:
L = r × p = I ⋅ ω {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}
и перекрестное произведение является псевдовектором , т. е. если r и p поменяны местами (отрицательно), L нет.
В общем, I второго порядка представляет собой тензор , его компоненты см. выше. Точка · указывает на сокращение тензора .
Сила и второй закон Ньютона. На систему в центре масс действует равнодействующая сила, равная скорости изменения импульса: F = d p d t = d ( m v ) d t = m a + v d m d t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}}
Для нескольких частиц уравнение движения одной частицы i имеет вид: [7]
d p i d t = F E + ∑ i ≠ j F i j {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}
где p i i , F ij действующая на i со стороны j , и F E i не оказывает на себя силы.
Крутящий момент Крутящий момент τ также называют моментом силы, поскольку он является вращательным аналогом силы: [8]
τ = d L d t = r × F = d ( I ⋅ ω ) d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}}
Для твердых тел второй закон вращения Ньютона принимает ту же форму, что и для перемещения:
τ = d L d t = d ( I ⋅ ω ) d t = d I d t ⋅ ω + I ⋅ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}}
Аналогично, для нескольких частиц уравнение движения одной частицы i имеет вид: [9]
d L i d t = τ E + ∑ i ≠ j τ i j {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}}
Янк Янк – это скорость изменения силы: Y = d F d t = d 2 p d t 2 = d 2 ( m v ) d t 2 = m j + 2 a d m d t + v d 2 m d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}}
Для постоянной массы это становится; Y = m j {\displaystyle \mathbf {Y} =m\mathbf {j} }
Повернутый Вращение Р также называют моментом рывка, поскольку это вращательный аналог рывка:
P = d τ d t = r × Y = d ( I ⋅ α ) d t {\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\tau }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}}
Импульс Импульс – это изменение импульса: Δ p = ∫ F d t {\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} \,dt}
Для постоянной силы F :
Δ p = F Δ t {\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t}
Вихревой/угловой импульс – это изменение углового момента: Δ L = ∫ τ d t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}\,dt}
Для постоянного крутящего момента τ :
Δ L = τ Δ t {\displaystyle \Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t}
Угловая скорость прецессии волчка определяется выражением:
Ω = w r I ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}
где w — вес вращающегося маховика.
Механическая работа, совершаемая внешним агентом над системой, равна изменению кинетической энергии системы:
Работа W, совершаемая внешним агентом, который оказывает силу F (в точке r ) и крутящий момент τ на объект вдоль криволинейной траектории C, равна:
W = Δ T = ∫ C ( F ⋅ d r + τ ⋅ n d θ ) {\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}
где θ — угол поворота вокруг оси, определяемой единичным вектором n .
Изменение кинетической энергии объекта, первоначально движущегося со скоростью. v 0 {\displaystyle v_{0}} v {\displaystyle v} Δ E k = W = 1 2 m ( v 2 − v 0 2 ) {\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}
Для растянутой пружины, закрепленной на одном конце по закону Гука , потенциальная энергия упругости равна
Δ E p = 1 2 k ( r 2 − r 1 ) 2 {\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}
где r 2 и r 1 - коллинеарные координаты свободного конца пружины в направлении растяжения/сжатия, а k - жесткость пружины.
Эйлер также разработал законы движения, аналогичные законам Ньютона, см. Законы движения Эйлера . Они расширяют сферу действия законов Ньютона на твердые тела, но по сути такие же, как указано выше. Новое уравнение, сформулированное Эйлером: [10]
I ⋅ α + ω × ( I ⋅ ω ) = τ {\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}
где I - момента инерции тензор .
Здесь можно использовать предыдущие уравнения плоского движения: следствия из импульса, углового момента и т. д. можно сразу же получить, применив приведенные выше определения. Для любого объекта, движущегося по любому пути в плоскости,
r = r ( t ) = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}}
К частице применимы следующие общие результаты.
Кинематика Динамика Позиция r = r ( r , θ , t ) = r r ^ {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}}
Скорость v = r ^ d r d t + r ω θ ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}}
Импульс p = m ( r ^ d r d t + r ω θ ^ ) {\displaystyle \mathbf {p} =m\left({\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}\right)}
Угловой момент L = m r × ( r ^ d r d t + r ω θ ^ ) {\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left({\hat {\mathbf {r} }}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}\right)}
Ускорение a = ( d 2 r d t 2 − r ω 2 ) r ^ + ( r α + 2 ω d r d t ) θ ^ {\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right){\hat {\mathbf {\theta } }}}
– Центростремительная сила это F ⊥ = − m ω 2 R r ^ = − ω 2 m {\displaystyle \mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R{\hat {\mathbf {r} }}=-\omega ^{2}\mathbf {m} }
где снова m — момент массы, а сила Кориолиса равна
F c = 2 ω m d r d t θ ^ = 2 ω m v θ ^ {\displaystyle \mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}{\hat {\mathbf {\theta } }}=2\omega mv{\hat {\mathbf {\theta } }}}
также Ускорение и силу Кориолиса можно записать:
F c = m a c = − 2 m ω × v {\displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}}
Для массивного тела, движущегося в центральном потенциале , обусловленном другим объектом, который зависит только от радиального расстояния между центрами масс двух объектов, уравнение движения имеет вид:
d 2 d θ 2 ( 1 r ) + 1 r = − μ r 2 l 2 F ( r ) {\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}
Эти уравнения можно использовать только тогда, когда ускорение постоянно. Если ускорение не является постоянным, необходимо использовать приведенные выше общие уравнения исчисления , полученные путем интегрирования определений положения, скорости и ускорения (см. Выше).
Линейное движение Угловое движение v − v 0 = a t {\displaystyle \mathbf {v-v_{0}} =\mathbf {a} t} ω − ω 0 = α t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega -\omega _{0}}}={\boldsymbol {\alpha }}t} x − x 0 = 1 2 ( v 0 + v ) t {\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v_{0}+v} )t} θ − θ 0 = 1 2 ( ω 0 + ω ) t {\displaystyle {\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {\omega _{0}+\omega }})t} x − x 0 = v 0 t + 1 2 a t 2 {\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}} θ − θ 0 = ω 0 t + 1 2 α t 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\theta -\theta _{0}}}={\boldsymbol {\omega }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\alpha }}t^{2}} x n t h = v 0 + a ( n − 1 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{n^{th}}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} (n-{\tfrac {1}{2}})} θ n t h = ω 0 + α ( n − 1 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{n^{th}}={\boldsymbol {\omega }}_{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(n-{\tfrac {1}{2}})} v 2 − v 0 2 = 2 a ( x − x 0 ) {\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2\mathbf {a(x-x_{0})} } ω 2 − ω 0 2 = 2 α ( θ − θ 0 ) {\displaystyle \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2{\boldsymbol {\alpha (\theta -\theta _{0})}}}
Для классической (галилео-ньютоновской) механики законом преобразования из одной инерциальной или ускоряющейся (включая вращение) системы отсчета (системы отсчета, движущейся с постоянной скоростью, включая нулевую) в другую является преобразование Галилея.
Величины без штриха относятся к положению, скорости и ускорению в одном кадре F; Величины со штрихом относятся к положению, скорости и ускорению в другой системе отсчета F', движущейся с поступательной скоростью V или угловой скоростью Ω относительно F. И наоборот, F движется со скоростью (- V или - Ω ) относительно F'. Аналогичная ситуация и для относительных ускорений.
Движение сущностей Инерционные рамки Ускорение кадров Перевод V = постоянная относительная скорость между двумя инерциальными системами F и F'. A = (переменное) относительное ускорение между двумя ускоряющимися рамками F и F'.
Относительное положение r ′ = r + V t {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t}
Относительная скорость v ′ = v + V {\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V} }
Эквивалентные ускорения a ′ = a {\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} }
Относительные ускорения a ′ = a + A {\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A} }
Видимые/фиктивные силы F ′ = F − F a p p {\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }}
Вращение Ω = постоянная относительная угловая скорость между двумя кадрами F и F'. Λ = (Переменная) относительное угловое ускорение между двумя ускоряющимися рамками F и F'.
Относительное угловое положение θ ′ = θ + Ω t {\displaystyle \theta '=\theta +\Omega t} ω ′ = ω + Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}}
Эквивалентные ускорения α ′ = α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}}
Относительные ускорения α ′ = α + Λ {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}}
Видимые/фиктивные крутящие моменты τ ′ = τ − τ a p p {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }}
Преобразование любого вектора T во вращающуюся систему отсчета. d T ′ d t = d T d t − Ω × T {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T} }
SHM, DHM, SHO и DHO относятся к простому гармоническому движению, затухающему гармоническому движению, простому гармоническому осциллятору и затухающему гармоническому осциллятору соответственно.
Уравнения движения Физическая ситуация Номенклатура Трансляционные уравнения Угловые уравнения ШМ x = поперечное смещение θ = угловое смещение A = поперечная амплитуда Θ = угловая амплитуда d 2 x d t 2 = − ω 2 x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x} Решение: x = A sin ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)}
d 2 θ d t 2 = − ω 2 θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta } Решение: θ = Θ sin ( ω t + ϕ ) {\displaystyle \theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)}
Непринудительный ДХМ b = константа затухания κ = постоянная кручения d 2 x d t 2 + b d x d t + ω 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0} Решение (см. ниже ω' ): x = A e − b t / 2 m cos ( ω ′ ) {\displaystyle x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)}
Резонансная частота: ω r e s = ω 2 − ( b 4 m ) 2 {\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}}
Скорость демпфирования: γ = b / m {\displaystyle \gamma =b/m}
Ожидаемый срок службы возбуждения: τ = 1 / γ {\displaystyle \tau =1/\gamma }
d 2 θ d t 2 + b d θ d t + ω 2 θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0} Решение: θ = Θ e − κ t / 2 m cos ( ω ) {\displaystyle \theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)}
Резонансная частота: ω r e s = ω 2 − ( κ 4 m ) 2 {\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}}
Скорость демпфирования: γ = κ / m {\displaystyle \gamma =\kappa /m}
Ожидаемый срок службы возбуждения: τ = 1 / γ {\displaystyle \tau =1/\gamma }
^ Майер, Суссман и Мудрость 2001 , стр. xiii ^ Беркшир и Киббл 2004 , стр. 1 ^ Беркшир и Киббл 2004 , стр. 2 ^ Arnold 1989 , p. v ^ « Раздел: Моменты и центр масс » . ^ Р.П. Фейнман; РБ Лейтон; М. Сэндс (1964). Лекции Фейнмана по физике (том 2) . Аддисон-Уэсли. стр. 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2 ^ "Относительность, Дж. Р. Форшоу, 2009" ^ "Механика, Д. Клеппнер 2010" ^ "Относительность, Дж. Р. Форшоу, 2009" ^ "Относительность, Дж. Р. Форшоу, 2009" Арнольд, Владимир И. (1989), Математические методы классической механики ISBN 978-0-387-96890-2 Беркшир, Фрэнк Х .; Киббл, TWB (2004), Классическая механика ISBN 978-1-86094-435-2 Майер, Мейнхард Э.; Сассман, Джерард Дж.; Уиздом, Джек (2001), Структура и интерпретация классической механики , MIT Press, ISBN 978-0-262-19455-6
скрывать Линейные/поступательные величины Угловые/вращательные величины Размеры 1 л л 2 Размеры 1 я я 2 Т время : т с абсентемент : А РС Т время : т с 1 расстояние : d положение : r s x смещение м площадь : А м 2 1 угол : θ угловое смещение : θ рад телесный угол : Ом рад 2 , сэр Т −1 частота : f с −1 , Гц скорость : v скорость : v РС −1 кинематическая вязкость : ν удельный угловой момент : h 2 с −1 Т −1 частота : f скорость вращения : n скорость вращения : n с −1 , Гц угловая скорость : ω угловая скорость : ω рад с −1 Т −2 ускорение : а РС −2 Т −2 ускорение вращения с −2 угловое ускорение : α рад с −2 Т −3 придурок : дж −3 Т −3 угловой рывок : ζ с −3 М масса : м кг взвешенная позиция: M ⟨ x ⟩ = ∑ m x МЛ 2 момент инерции : я кг м 2 МТ −1 Массовый расход : m ˙ {\displaystyle {\dot {m}}} кг с −1 импульс : p импульс : J кг м с −1 , Н с действие : 𝒮 , действие : ℵ кг м 2 с −1 , Дж с МЛ 2 Т −1 угловой момент : L угловой импульс : Δ L кг м 2 с −1 действие : 𝒮 , действие : ℵ кг м 2 с −1 , Дж с МТ −2 сила : F вес : F г кг мс −2 , Н энергия : E работа : W лагранжиан : L кг м 2 с −2 , Дж МЛ 2 Т −2 крутящий момент : τ момент : M кг м 2 с −2 , Н·м энергия : E работа : W лагранжиан : L кг м 2 с −2 , Дж МТ −3 Янки : И кг мс −3 , Н с −1 мощность : П кг м 2 с −3 , В МЛ 2 Т −3 повернут : П кг м 2 с −3 , Н мс −1 мощность : П кг м 2 с −3 , В
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^ {2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a } {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{ \rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a298a3dbfef1b35f56011f1b5d941a948e09024)
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1} ^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d051a3e661a258eec322d4e38c4560c8013746a)
