Угловая скорость

Угловая скорость
Угловая скорость
Общие символы	ой
И объединились	колесо ⋅ с −1
В базовых единицах СИ	с −1
Обширный ?	да
Интенсивный ?	да (только для твердого тела )
Сохранено ?	нет
Поведение под ; преобразование координат	псевдовектор
Выводы из ; другие количества	ω = d θ / d т
Измерение

В физике ( угловая скорость символ $ω$ или ${\vec {\omega }}$ , строчная греческая буква омега ), также известный как вектор угловой частоты , ^[1] — это псевдовекторное представление того, как угловое положение или ориентация объекта меняется со временем, т.е. как быстро объект вращается (вращается или вращается) вокруг оси вращения и как быстро сама ось меняет направление .

Величина псевдовектора, $\omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|$ , представляет угловую скорость (или угловую частоту ), угловую скорость, с которой объект вращается (вращается или вращается). Псевдовекторное направление ${\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega$ перпендикулярен плоскости мгновенной вращения или углового смещения .

Существует два типа угловой скорости:

Орбитальная угловая скорость означает, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат , т.е. скорость изменения его углового положения относительно начала координат . ^{[ нужна ссылка ]}
Угловая скорость вращения показывает, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения , и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.

Угловая скорость имеет размерность угла в единицу времени; это аналогично линейной скорости , где угол заменяет расстояние , и общее время. Единица в системе СИ угловой скорости — радианы в секунду . ^[2] хотя градусы в секунду (°/с) также распространены. Радан , поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ по размерности является безразмерной величиной эквивалентны обратным секундам , с. ⁻¹, хотя предпочтительнее рад/с, чтобы избежать путаницы со скоростью вращения в единицах герц (также эквивалентных с ⁻¹). ^[3]

Направление угловой скорости традиционно определяется правилом правой руки , подразумевающим вращение по часовой стрелке (если смотреть на плоскость вращения); отрицание (умножение на -1) оставляет величину неизменной, но меняет ось в противоположном направлении . ^[4]

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором (360 градусов за 24 часа) и имеет величину угловой скорости (угловую скорость) ω = 360°/24 ч = 15°/ч (или 2π рад/24 ч ≈ 0,26). рад/ч) и направление угловой скорости ( единичный вектор ), параллельное оси вращения Земли ( ${\hat {\omega }}={\hat {Z}}$ , в геоцентрической системе координат ). Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, ${\boldsymbol {v}}=r{\boldsymbol {\omega }}$ . Таким образом , при радиусе орбиты 42 000 км от центра Земли тангенциальная скорость спутника в космосе составляет v = 42 000 км × 0,26 / ч ≈ 11 000 км/ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется вперед вместе с вращением Земли (в том же направлении, что и вращение Земли).

Орбитальная угловая скорость точечной частицы

Частица в двух измерениях

В простейшем случае кругового движения по радиусу $r$ , положение которого определяется угловым смещением $\phi (t)$ от оси x орбитальная угловая скорость представляет собой скорость изменения угла во времени: ${\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ . Если $\phi$ измеряется в радианах , длина дуги от положительной оси X вокруг круга до частицы равна $\ell =r\phi$ , а линейная скорость равна ${\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ , так что ${\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$ .

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость - это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения $\mathbf {r}$ от происхождения $O$ к частице $P$ , с его полярными координатами $(r,\phi )$ . (Все переменные являются функциями времени $t$ .) Частица имеет линейное расщепление скорости как $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }$ , с радиальной составляющей $\mathbf {v} _{\|}$ параллельно радиусу, а поперечно-радиальная (или тангенциальная) составляющая $\mathbf {v} _{\perp }$ перпендикулярно радиусу. Когда радиальная составляющая отсутствует, частица движется вокруг начала координат по кругу; но когда поперечно-радиальной составляющей нет, она движется по прямой линии от начала координат. Поскольку радиальное движение оставляет угол неизменным, в угловую скорость вносит вклад только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости.

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения во времени, которую можно вычислить по поперечно-радиальной скорости как:

$\omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.$

Здесь поперечная радиальная скорость $v_{\perp }$ - это знаковая величина $\mathbf {v} _{\perp }$ , положительный для движения против часовой стрелки, отрицательный для движения по часовой стрелке. Приняв полярные координаты за линейную скорость $\mathbf {v}$ дает величину $v$ (линейная скорость) и угол $\theta$ относительно радиус-вектора; в этих терминах, $v_{\perp }=v\sin(\theta )$ , так что

$\omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.$

Эти формулы можно получить, выполнив $\mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))$ , существование $r$ функция расстояния до начала координат по времени, и $\varphi$ функция угла между вектором и осью x. Затем: ${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),$ что равно: ${\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}$ (см. Единичный вектор в цилиндрических координатах).

Зная ${\textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$ , заключаем, что радиальная составляющая скорости определяется выражением ${\dot {r}}$ , потому что ${\hat {r}}$ – радиальный единичный вектор; а перпендикулярная составляющая определяется выражением $r{\dot {\varphi }}$ потому что ${\hat {\varphi }}$ является перпендикулярным единичным вектором.

В двух измерениях угловая скорость представляет собой число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее направление. Знак условно считается положительным, если радиус-вектор поворачивается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Угловую скорость тогда можно назвать псевдоскаляром , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , например, при инвертировании одной оси или переключении двух осей.

Частица в трех измерениях

В трехмерном пространстве мы снова имеем вектор положения r движущейся частицы . Здесь орбитальная угловая скорость представляет собой псевдовектор , величина которого равна скорости, с которой r смещает угол (в радианах за единицу времени), и направление которого перпендикулярно мгновенной плоскости, в которой r сметает угол (т. е. плоскости, охватываемой r и v ). Однако, поскольку существует два направления, перпендикулярных любой плоскости, необходимо дополнительное условие, чтобы однозначно указать направление угловой скорости; традиционно правило правой руки используется .

Пусть псевдовектор $\mathbf {u}$ быть единичным вектором, перпендикулярным плоскости, охватываемой r и v , так что выполняется правило правой руки (т. е. мгновенное направление углового смещения - против часовой стрелки, если смотреть сверху $\mathbf {u}$ ). Берем полярные координаты $(r,\phi )$ в этой плоскости, как и в двумерном случае, описанном выше, можно определить вектор орбитальной угловой скорости как:

{\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,

где θ — угол между r и v . С точки зрения перекрестного произведения это:

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.

^[5]

Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:

\mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета

Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.

Вращающаяся система отсчета появляется в контексте твердых тел , и для нее были разработаны специальные инструменты: угловая скорость вращения может быть описана как вектор или, что то же самое, как тензор .

В соответствии с общим определением, угловая скорость вращения системы отсчета определяется как орбитальная угловая скорость любого из трех векторов (одинаковая для всех) относительно собственного центра вращения. Сложение векторов угловой скорости для кадров также определяется обычным сложением векторов (композицией линейных движений) и может быть полезно для разложения вращения, как в карданном подвесе . Все компоненты вектора можно рассчитать как производные от параметров, определяющих движущиеся системы отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения). Как и в общем случае, сложение коммутативно: $\omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}$ .

По теореме Эйлера о вращении любая вращающаяся система отсчета имеет мгновенную ось вращения , которая является направлением вектора угловой скорости, а величина угловой скорости соответствует двумерному случаю.

Если мы выберем точку отсчета ${{\boldsymbol {r}}_{0}}$ закрепленное в твердом теле, скорость ${\dot {\boldsymbol {r}}}$ любой точки тела определяется выражением

{\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})

Компоненты базисных векторов неподвижной системы координат

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О. Построим в теле систему отсчета, состоящую из ортонормированного набора векторов. $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ фиксированы к телу и имеют общее начало в точке O. Тогда вектор угловой скорости вращения как системы отсчета, так и тела вокруг O равен

{\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},

где ${\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}$ - скорость изменения вектора кадра $\mathbf {e} _{i},i=1,2,3,$ из-за вращения.

Эта формула несовместима с выражением для орбитальной угловой скорости

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},

поскольку эта формула определяет угловую скорость для одной точки вокруг О, а формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае твердого тела один ${\boldsymbol {\omega }}$ должен учитывать движение всех частиц в теле.

Компоненты из углов Эйлера

Диаграмма, показывающая рамку Эйлера зеленым цветом

Компоненты псевдовектора угловой скорости вращения были впервые рассчитаны Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:

Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
Линия узлов движущейся системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
Одна ось подвижной системы отсчета (собственная ось вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной связанного с ней угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Поэтому: ^[6]

{\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}

Этот базис не является ортонормированным, и его сложно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на движущуюся систему, просто сменив базис. Например, переход на мобильный фрейм:

{\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}

где ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$ – единичные векторы системы отсчета, закрепленной в движущемся теле. Этот пример был создан с использованием соглашения ZXZ для углов Эйлера. ^{[ нужна ссылка ]}

Тензор

Тензор угловой скорости представляет собой кососимметричную матрицу, определяемую формулой:

\Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}

Приведенные выше скалярные элементы соответствуют вектора угловой скорости. компонентам ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})$ .

Это бесконечно малая матрица вращения .Линейное отображение Ω действует как векторное произведение $({\boldsymbol {\omega }}\times )$ :

{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}

где ${\boldsymbol {r}}$ является вектором положения .

При умножении на разницу во времени получается тензор углового смещения .

См. также

Ссылки

^ Каммингс, Карен; Холлидей, Дэвид (2007). Понимание физики . Нью-Дели: John Wiley & Sons Inc., авторизованная перепечатка для Wiley – Индия. стр. 449, 484, 485, 487. ISBN. 978-81-265-0882-2 . (УП1)
^ Тейлор, Барри Н. (2009). Международная система единиц (СИ) (пересмотренная редакция 2008 г.). Издательство ДИАНА. п. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7 . Выдержка со страницы 27
^ «Подразделения со специальными названиями и символами; подразделения, имеющие специальные названия и символы» .
^ Хиббелер, Рассел К. (2009). Инженерная механика . Река Аппер-Сэддл , Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 314, 153. ISBN. 978-0-13-607791-6 . (ЕМ1)
^ Сингх, Сунил К. Угловая скорость . Университет Райса . Проверено 21 мая 2021 г. - через OpenStax.
^ КСЕДРИХ: Леонард Эйлер (1707–1783) и динамика твердого тела.

Саймон, Кейт (1971). Механика . Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс. ISBN 978-0-201-07392-8 .
Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2896-9 .

Внешние ссылки

Учебник физики для колледжа Артура Лаланна Кимбалла ( Угловая скорость частицы )
Пикеринг, Стив (2009). «ω Скорость вращения [Угловая скорость]» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .

[UP1-1] Каммингс, Карен; Холлидей, Дэвид (2007). Понимание физики . Нью-Дели: John Wiley & Sons Inc., авторизованная перепечатка для Wiley – Индия. стр. 449, 484, 485, 487. ISBN. 978-81-265-0882-2 . (УП1)

[2] Тейлор, Барри Н. (2009). Международная система единиц (СИ) (пересмотренная редакция 2008 г.). Издательство ДИАНА. п. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7 . Выдержка со страницы 27

[3] «Подразделения со специальными названиями и символами; подразделения, имеющие специальные названия и символы» .

[EM1-4] Хиббелер, Рассел К. (2009). Инженерная механика . Река Аппер-Сэддл , Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. стр. 314, 153. ISBN. 978-0-13-607791-6 . (ЕМ1)

[5] Сингх, Сунил К. Угловая скорость . Университет Райса . Проверено 21 мая 2021 г. - через OpenStax.

[6] КСЕДРИХ: Леонард Эйлер (1707–1783) и динамика твердого тела.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]