q - распределение Гаусса

Эта статья о q-гауссиане Цаллиса. Чтобы узнать о другом q-аналоге, см. Гауссово q-распределение .

q - Гауссова

Функция плотности вероятности
Параметры	$q<3$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ ( настоящий )
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$ для $1\leq q<3$ $x\in \left[\pm {1 \over {\sqrt {\beta (1-q)}}}\right]$ для $q<1$
PDF	${{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta x^{2}})$
CDF	см. текст
Иметь в виду	$0{\text{ for }}q<2$, в противном случае неопределенное
медиана	$0$
Режим	$0$
Дисперсия	${1 \over {\beta (5-3q)}}{\text{ for }}q<{5 \over 3}$ $\infty {\text{ for }}{5 \over 3}\leq q<2$ ${\text{Undefined for }}2\leq q<3$
асимметрия	$0{\text{ for }}q<{3 \over 2}$
Избыточный эксцесс	$6{q-1 \over 7-5q}{\text{ for }}q<{7 \over 5}$

— q -Гауссиан это распределение вероятностей, возникающее в результате максимизации энтропии Тсаллиса при соответствующих ограничениях. Это один из примеров распределения Цаллиса . - гауссиан q является обобщением гауссиана точно так же, как энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана-Гиббса или энтропии Шеннона . Нормальное распределение восстанавливается при q → 1.

- Гауссиан Q применялся к задачам в области статистической механики , геологии , анатомии , астрономии , экономики , финансов и машинного обучения . Распределению часто отдают предпочтение из-за его тяжелых хвостов по сравнению с гауссовым для 1 < q < 3. Для $q<1$ q -гауссово распределение представляет собой PDF ограниченной случайной величины . Это делает в биологии и других областях - распределение q Гаусса более подходит, чем распределение Гаусса, для моделирования эффекта внешней стохастичности. Обобщенный q -аналог классической центральной предельной теоремы была предложена в 2008 году, в которой ограничение независимости для переменных iid ослаблено до степени, определяемой параметром q , с восстановлением независимости при q → 1. Однако доказательство такой теоремы до сих пор отсутствует.

В областях с тяжелым хвостом распределение эквивалентно Стьюдента t -распределению с прямым сопоставлением между q и степенями свободы . Таким образом, практикующий специалист, использующий одно из этих распределений, может параметризовать одно и то же распределение двумя разными способами. Выбор q -гауссовой формы может возникнуть, если система неэкстенсивна или отсутствует связь с небольшими размерами выборок.

Характеристика

Функция плотности вероятности

Стандартный q -гауссиан имеет функцию плотности вероятности

$f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})$

где

$e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}$

- q -экспонента и нормировочный коэффициент $C_{q}$ дается

$C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1$

$C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,$

$C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.$

Обратите внимание, что для $q<1$ q -гауссово распределение представляет собой PDF ограниченной случайной величины .

Функция совокупной плотности

Для $1<q<3$ кумулятивная функция плотности

$F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},$

где ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ — гипергеометрическая функция . Поскольку гипергеометрическая функция определена для | г | < 1 , но x неограничен, преобразование Пфаффа можно использовать .

Для $q<1$, $$F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}$$

Энтропия

Так же, как нормальное распределение – это максимальное распределение информационной энтропии при фиксированных значениях первого момента $\operatorname {E} (X)$ и второй момент $\operatorname {E} (X^{2})$ (с фиксированным нулевым моментом $\operatorname {E} (X^{0})=1$ соответствующее условию нормировки), q -гауссово распределение является максимальным распределением энтропии Тсаллиса для фиксированных значений этих трех моментов.

Связанные дистрибутивы

Стьюдента t -распределение

Хотя это может быть оправдано интересной альтернативной формой энтропии, статистически это масштабированная репараметризация Стьюдента t -распределения , введенного У. Госсетом в 1908 году для описания статистики малой выборки. В исходной презентации Госсета параметр степеней свободы ν был ограничен положительным целым числом, связанным с размером выборки, но легко заметить, что функция плотности Госсета действительна для всех реальных значений ν . Масштабированная репараметризация вводит альтернативные параметры q и β , которые связаны с ν .

-распределение Стьюдента Учитывая t с ν степенями свободы, эквивалентный q -гауссиан имеет

$q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}$

с обратным

$\nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.$

В любое время $\beta \neq {1 \over {3-q}}$ -распределения Стьюдента , функция представляет собой просто масштабированную версию t .

Иногда утверждают, что это распределение является обобщением t -распределения Стьюдента на отрицательные и/или нецелые степени свободы. -распределения Стьюдента Однако теория t тривиально распространяется на все действительные степени свободы, где носитель распределения теперь компактен , а не бесконечен в случае ν < 0.

Трехпараметрическая версия

Как и во многих распределениях с центром в нуле, q -гауссиан можно тривиально расширить, включив в него параметр местоположения µ . Тогда плотность будет определяться выражением

${{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).$

Генерация случайных отклонений

Преобразование Бокса -Мюллера было обобщено, чтобы обеспечить возможность случайной выборки из q -гауссиан. Стандартный метод Бокса – Мюллера генерирует пары независимых нормально распределенных переменных из уравнений следующей формы.

$Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})$

$Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})$

Обобщенный метод Бокса-Мюллера может генерировать пары q -гауссовых отклонений, которые не являются независимыми. На практике из пары равномерно распределенных переменных будет получено только одно отклонение. Следующая формула будет генерировать отклонения от q -гауссиана с указанным параметром q и $\beta ={1 \over {3-q}}$

$Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})$

где ${\text{ ln}}_{q}$ представляет собой q -логарифм и $q'={{1+q} \over {3-q}}$

Эти отклонения можно преобразовать для генерации отклонений от произвольного q -гауссиана с помощью

$Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}$

Приложения

Физика

Показано, что импульсное распределение холодных атомов в диссипативных оптических решетках является q -гауссовым.

Распределение q -Гаусса также получается как асимптотическая функция плотности вероятности положения одномерного движения массы, подверженной действию двух сил: детерминированной силы типа ${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ (определение бесконечной потенциальной ямы) и стохастическая сила белого шума ${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$, где $\xi (t)$ это белый шум . Заметим, что в приближении перезатухания/малой массы упомянутая выше сходимость не удается для $q<0$, как недавно было показано.

Финансы

Распределение финансовой прибыли на Нью-Йоркской фондовой бирже, NASDAQ и других площадках интерпретируется как q -гауссиан.

См. также

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распространение Цаллиса
• q -экспоненциальное распределение
• Q-Гауссов процесс

Дальнейшее чтение

• Можжевельник, Дж. (2007) «Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований процесса принятия решений в условиях неопределенности» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г. Проверено 24 июня 2011 г. , Центр полной занятости и равенства, Университет Ньюкасла, Австралия

Внешние ссылки

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальних взаимодействий