q - Гауссовский процесс

q-гауссовы процессы представляют собой деформации обычного гауссовского распределения . Есть несколько разных версий этого; здесь мы рассматриваем многомерную деформацию, также называемую q-гауссовским процессом, возникающую из теории свободных вероятностей и соответствующую деформации канонических коммутационных соотношений . Чтобы узнать о других деформациях гауссовских распределений, см. q-гауссово распределение и гауссовское q-распределение .

История

q-гауссовский процесс был формально представлен в статье Фриша и Бурре. под названием парастохастики , а также позднее Гринберга как пример бесконечной статистики . Это было математически установлено и исследовано в статьи Божейко и Спайхера и Божейко, Кюммерер и Шпайхер. в контексте некоммутативной вероятности.

Оно задается как распределение сумм операторов рождения и уничтожения в q-деформированном пространстве Фока . Расчет моментов этих операторов осуществляется с помощью q-деформированной версии формулы Вика или формулы Иссерлиса . Спецификация специальной ковариации в основном гильбертовом пространстве приводит к q-броуновскому движению , специальная некоммутативная версия классического броуновского движения .

q-пространство Фока

В следующем $q\in [-1,1]$ фиксировано. Рассмотрим гильбертово пространство ${\mathcal {H}}$. Об алгебраическом полном фоковском пространстве

${\mathcal {F}}_{\text{alg}}({\mathcal {H}})=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n},$

где ${\mathcal {H}}^{0}=\mathbb {C} \Omega$ с нормой один вектор $\Omega$, называемый вакуумом , мы определяем q-деформированное скалярное произведение следующим образом:

$\langle h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n},g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{m}\rangle _{q}=\delta _{nm}\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{r=1}^{n}\langle h_{r},g_{\sigma (r)}\rangle q^{i(\sigma )},$

где $i(\sigma )=\#\{(k,\ell )\mid 1\leq k<\ell \leq n;\sigma (k)>\sigma (\ell )\}$ это количество инверсий $\sigma \in S_{n}$.

Пространство q-Фока затем определяется как пополнение алгебраического полного пространства Фока относительно этого скалярного произведения

${\mathcal {F}}_{q}({\mathcal {H}})={\overline {\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}}}^{\langle \cdot ,\cdot \rangle _{q}}.$

Для $-1<q<1$ q-внутренний продукт строго положителен. Для $q=1$ и $q=-1$ оно положительно, но имеет ядро, что приводит в этих случаях к симметричному и антисимметричному пространствам Фока соответственно.

Для $h\in {\mathcal {H}}$ мы определяем оператор q-рождения $a^{*}(h)$, заданный

$a^{*}(h)\Omega =h,\qquad a^{*}(h)h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n}=h\otimes h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n}.$

Сопряженный к нему (по q-скалярному произведению) оператор q-уничтожения $a(h)$, определяется

$a(h)\Omega =0,\qquad a(h)h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n}=\sum _{r=1}^{n}q^{r-1}\langle h,h_{r}\rangle h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{r-1}\otimes h_{r+1}\otimes \cdots \otimes h_{n}.$

q-коммутационные соотношения

Эти операторы удовлетворяют q-коммутационным соотношениям

$a(f)a^{*}(g)-qa^{*}(g)a(f)=\langle f,g\rangle \cdot 1\qquad (f,g\in {\mathcal {H}}).$

Для $q=1$, $q=0$, и $q=-1$ это сводится к CCR-отношениям, отношениям Кунца и CAR-отношениям соответственно. За исключением случая $q=1,$ операторы $a^{*}(f)$ ограничены.

q-гауссовы элементы и определение многомерного q-гауссовского распределения (q-гауссов процесс)

Операторы формы $s_{q}(h)={a(h)+a^{*}(h)}$ для $h\in {\mathcal {H}}$ называются q-гауссовыми (или q-полукруглый ) элементы.

На ${\mathcal {F}}_{q}({\mathcal {H}})$ мы рассматриваем состояние вакуумного ожидания $\tau (T)=\langle \Omega ,T\Omega \rangle$, для $T\in {\mathcal {B}}({\mathcal {F}}({\mathcal {H}}))$.

( Многомерное ) q-гауссово распределение или q-гауссов процесс определяется как некоммутативное распределение набора q-гауссианов относительно вакуумного состояния ожидания. Для $h_{1},\dots ,h_{p}\in {\mathcal {H}}$ совместное распределение $s_{q}(h_{1}),\dots ,s_{q}(h_{p})$ относительно $\tau$ можно описать следующим образом: для любого $i\{1,\dots ,k\}\rightarrow \{1,\dots ,p\}$ у нас есть

$\tau \left(s_{q}(h_{i(1)})\cdots s_{q}(h_{i(k)})\right)=\sum _{\pi \in {\mathcal {P}}_{2}(k)}q^{cr(\pi )}\prod _{(r,s)\in \pi }\langle h_{i(r)},h_{i(s)}\rangle ,$

где $cr(\pi )$ обозначает количество пересечений пары-разбиения $\pi$. Это q-деформированная версия формулы Вика/Иссерлиса.

q-гауссово распределение в одномерном случае

При p = 1 q-гауссово распределение является вероятностной мерой на интервале $[-2/{\sqrt {1-q}},2/{\sqrt {1-q}}]$, с аналитическими формулами для его плотности. Для особых случаев $q=1$, $q=0$, и $q=-1$, это сводится к классическому распределению Гаусса, полукруговому распределению Вигнера и симметричному распределению Бернулли на $\pm 1$. Определение плотности следует из старых результатов. на соответствующих ортогональных полиномах.

Операторно-алгебраические вопросы

Алгебра фон Неймана, порожденная $s_{q}(h_{i})$, для $h_{i}$ проходит через ортонормированную систему $(h_{i})_{i\in I}$ векторов в ${\mathcal {H}}$, уменьшает для $q=0$ к знаменитым факторам свободной группы $L(F_{\vert I\vert })$. Понимание структуры этих алгебр фон Неймана для общего q стало источником многих исследований. Теперь известно по работам Гионне и Шляхтенко, что, по крайней мере, для конечного I и малых значений q алгебра фон Неймана изоморфна соответствующему свободному групповому фактору.