Минимальная модель (физика)

В теоретической физике минимальная модель или минимальная модель Вирасоро — это двумерная конформная теория поля , спектр которой построен из конечного числа неприводимых представлений алгебры Вирасоро .Минимальные модели были классифицированы и решены, и было установлено, что они подчиняются классификации ADE . Термин «минимальная модель» также может относиться к рациональной CFT, основанной на алгебре, большей, чем алгебра Вирасоро, например W-алгебре .

Соответствующие представления алгебры Вирасоро.

Представительства

В минимальных моделях центральный заряд алгебры Вирасоро принимает значения типа

$c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .$

где $p,q$ являются взаимно простыми целыми числами, такими что $p,q\geq 2$.Тогда конформные размерности вырожденных представлений равны

$h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,$

и они подчиняются идентичности

$h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .$

Спектры минимальных моделей состоят из неприводимых вырожденных представлений алгебры Вирасоро с наименьшим весом, конформные размерности которых имеют тип $h_{r,s}$ с

$1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .$

Такое представление ${\mathcal {R}}_{r,s}$ является смежным классом модуля Верма по его бесконечному числу нетривиальных подмодулей. Оно унитарно тогда и только тогда, когда $|p-q|=1$. При данном центральном заряде существует ${\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ отдельные представления этого типа. Набор этих представлений или их конформных размерностей называется таблицей Каца с параметрами $(p,q)$. Таблица Каца обычно изображается в виде прямоугольника размером $(q-1)\times (p-1)$, где каждое представление появляется дваждыиз-за отношения

${\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .$

Правила слияния

Правила слияния многократно вырожденных представлений ${\mathcal {R}}_{r,s}$ кодировать ограничения из всех их нулевых векторов. Поэтому их можно вывести из правил слияния просто вырожденных представлений, которые кодируют ограничения из отдельных нулевых векторов. В явном виде правила слияния таковы:

${\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,$

где суммы идут с шагом два.

Классификация

Минимальные модели серии А: диагональный корпус

Для любых взаимно простых целых чисел $p,q$ такой, что $p,q\geq 2$существует диагональная минимальная модель, спектр которой содержит по одной копии каждого отдельного представления в таблице Каца:

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .$

The $(p,q)$ и $(q,p)$ модели одинаковые.

ОПЭ двух полей включает в себя все поля, разрешенные правилами слияния соответствующих представлений.

Минимальные модели серии D

Минимальная модель D-серии с центральной зарядкой. $c_{p,q}$ существует, если $p$ или $q$ четно и по крайней мере $6$. Использование симметрии $p\leftrightarrow q$мы предполагаем, что $q$ четно, тогда $p$ странно. Спектр

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,$

где суммы превышают $r$ выполняется с шагом в два.В любом заданном спектре каждое представление имеет кратность единица, кроме представлений типа ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$ если $q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4$, которые имеют кратность два. Эти представления действительно присутствуют в обоих терминах нашей формулы для спектра.

ОПЭ двух полей включает в себя все поля, которые разрешены правилами слияния соответствующих представлений и которые соблюдают сохранение диагонали : ОПЭ одного диагонального и одного недиагонального поля дает только недиагональные поля, а ОПЭ двух полей дает только недиагональные поля, а ОПЭ двух полей включает в себя все поля, которые разрешены правилами слияния соответствующих представлений и соблюдают сохранение диагонали. из двух полей одного типа дает только диагональные поля. Для этого правила одна копия представления ${\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}$считается диагональной, а другая копия — недиагональной.

Минимальные модели серии E

Существует три серии минимальных моделей E-серии. Каждая серия существует для данного значения $q\in \{12,18,30\},$ для любого $p\geq 2$ это взаимно просто с $q$. (Это на самом деле подразумевает $p\geq 5$.) Используя обозначения $|{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}$, спектры гласят:

${\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,$

${\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .$

Примеры

Следующие минимальные модели серии A относятся к известным физическим системам:

• $(p,q)=(3,2)$ : тривиальная ЦФТ,
• $(p,q)=(5,2)$ : краевая особенность Янга-Ли,
• $(p,q)=(4,3)$ : критическая модель Изинга ,
• $(p,q)=(5,4)$ : трикритическая модель Изинга,
• $(p,q)=(6,5)$ : тетракритическая модель Изинга.

Следующие минимальные модели серии D относятся к известным физическим системам:

• $(p,q)=(6,5)$ с 3 состояниями : модель Поттса в критическом состоянии,
• $(p,q)=(7,6)$ : трикритическая модель Поттса с тремя состояниями.

Таблицы Каца этих моделей вместе с некоторыми другими таблицами Каца с $2\leq q\leq 6$, являются:

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}$

${\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}$

Связанные конформные теории поля

Реализации Coset

Минимальная модель А-серии с индексами $(p,q)$ совпадает со следующим смежным классом моделей WZW :

${\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .$

Предполагая $p>q$, уровень $k$ является целым числом тогда и только тогда, когда $p=q+1$ т.е. тогда и только тогда, когда минимальная модель унитарна.

Существуют и другие реализации некоторых минимальных моделей, диагональных или нет, как смежных классов моделей WZW, не обязательно основанных на группе $SU(2)$.

Обобщенные минимальные модели

За любую центральную плату $c\in \mathbb {C}$, существует диагональная КТП, спектр которой состоит из всех вырожденных представлений,

${\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .$

Когда центральный заряд стремится к $c_{p,q}$, обобщенные минимальные модели стремятся к соответствующей минимальной модели серии A. Это означает, в частности, что вырожденные представления, которых нет в таблице Каца, отделяются.

Теория Лиувилля

Поскольку теория Лиувилля сводится к обобщенной минимальной модели, когда поля считаются вырожденными, далее он сводится к минимальной модели серии А, когда центральный заряд затем отправляется на $c_{p,q}$.

Более того, минимальные модели серии A имеют четко определенный предел: $c\to 1$: диагональная КТМ с непрерывным спектром, называемая теорией Ранкеля – Уоттса, что совпадает с пределом теории Лиувилля, когда $c\to 1^{+}$.

Изделия минимальных моделей

Есть три случая минимальных моделей, которые являются произведениями двух минимальных моделей. На уровне их спектров отношения таковы:

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,$

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,$

${\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .$

Фермионные расширения минимальных моделей

Если $q\equiv 0{\bmod {4}}$, серия A и серия D $(p,q)$ Каждая минимальная модель имеет фермионное расширение. Эти два фермионных расширения включают поля с полуцелыми спинами, и они связаны друг с другом операцией сдвига четности.