Двумерная критическая модель Изинга

Двумерная критическая модель Изинга является критическим пределом модели Изинга в двух измерениях. Это двумерная конформная теория поля , алгеброй симметрии которой является алгебра Вирасоро с центральным зарядом. $c={\tfrac {1}{2}}$. Корреляционные функции операторов спина и энергии описываются формулами $(4,3)$ минимальная модель . Хотя минимальная модель была точно решена (см., например, статью о критических показателях Изинга) , решение не охватывает другие наблюдаемые величины, такие как связность кластеров.

Минимальная модель

Пространство состояний и конформные измерения

Таблица Каца ​ $(4,3)$ минимальная модель:

${\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}$

Это означает, что пространство состояний порождается тремя первичными состояниями , которые соответствуют трем первичным полям или операторам:

${\begin{array}{cccc}\hline {\text{Kac table indices}}&{\text{Dimension}}&{\text{Primary field}}&{\text{Name}}\\\hline (1,1){\text{ or }}(3,2)&0&\mathbf {1} &{\text{Identity}}\\(2,1){\text{ or }}(2,2)&{\frac {1}{16}}&\sigma &{\text{Spin}}\\(1,2){\text{ or }}(3,1)&{\frac {1}{2}}&\epsilon &{\text{Energy}}\\\hline \end{array}}$

Разложение пространства состояний на неприводимые представления произведения лево- и праводвижущих алгебр Вирасоро есть

${\mathcal {S}}={\mathcal {R}}_{0}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{0}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{16}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{16}}\oplus {\mathcal {R}}_{\frac {1}{2}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{\frac {1}{2}}$

где ${\mathcal {R}}_{\Delta }$ — неприводимое представление алгебры Вирасоро со старшим весом конформной размерности $\Delta$.В частности, модель Изинга является диагональной и унитарной.

Символы и функция раздела

Характерами являются трех представлений алгебры Вирасоро, появляющихся в пространстве состояний,

${\begin{aligned}\chi _{0}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+1)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+7)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}+{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{16}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+2)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+10)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {\eta (q)}}}}\left({\sqrt {\theta _{3}(0|q)}}-{\sqrt {\theta _{4}(0|q)}}\right)\\\chi _{\frac {1}{2}}(q)&={\frac {1}{\eta (q)}}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(q^{\frac {(24k+5)^{2}}{48}}-q^{\frac {(24k+11)^{2}}{48}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\eta (q)}}}{\sqrt {\theta _{2}(0|q)}}\end{aligned}}$

где $\eta (q)$ , – эта-функция Дедекинда а $\theta _{i}(0|q)$ являются тета-функциями нома $q=e^{2\pi i\tau }$, например $\theta _{3}(0|q)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{\frac {n^{2}}{2}}$.Модульная S-матрица , т.е. матрица ${\mathcal {S}}$ такой, что $\chi _{i}(-{\tfrac {1}{\tau }})=\sum _{j}{\mathcal {S}}_{ij}\chi _{j}(\tau )$, является

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{ccc}1&1&{\sqrt {2}}\\1&1&-{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0\end{array}}\right)$

где поля упорядочены как $1,\epsilon ,\sigma$.Модульная инвариантная статистическая сумма равна

$Z(q)=\left|\chi _{0}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{16}}(q)\right|^{2}+\left|\chi _{\frac {1}{2}}(q)\right|^{2}={\frac {|\theta _{2}(0|q)|+|\theta _{3}(0|q)|+|\theta _{4}(0|q)|}{2|\eta (q)|}}$

Правила объединения и расширение продуктов оператора

Правила слияния модели:

${\begin{aligned}\mathbf {1} \times \mathbf {1} &=\mathbf {1} \\\mathbf {1} \times \sigma &=\sigma \\\mathbf {1} \times \epsilon &=\epsilon \\\sigma \times \sigma &=\mathbf {1} +\epsilon \\\sigma \times \epsilon &=\sigma \\\epsilon \times \epsilon &=\mathbf {1} \end{aligned}}$

Правила слияния инвариантны относительно $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия $\sigma \to -\sigma$.Трехточечные структурные константы:

$C_{\mathbf {1} \mathbf {1} \mathbf {1} }=C_{\mathbf {1} \epsilon \epsilon }=C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }=1\quad ,\quad C_{\sigma \sigma \epsilon }={\frac {1}{2}}$

Зная правила слияния и константы трехточечной структуры, можно, например, написать разложение операторного произведения

${\begin{aligned}\sigma (z)\sigma (0)&=|z|^{2\Delta _{\mathbf {1} }-4\Delta _{\sigma }}C_{\mathbf {1} \sigma \sigma }{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+|z|^{2\Delta _{\epsilon }-4\Delta _{\sigma }}C_{\sigma \sigma \epsilon }{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\\&=|z|^{-{\frac {1}{4}}}{\Big (}\mathbf {1} (0)+O(z){\Big )}+{\frac {1}{2}}|z|^{\frac {3}{4}}{\Big (}\epsilon (0)+O(z){\Big )}\end{aligned}}$

где $\Delta _{\mathbf {1} },\Delta _{\sigma },\Delta _{\epsilon }$ — конформные размерности первичных полей, а опущенные члены $O(z)$ являются вкладами полей-потомков .

Корреляционные функции на сфере

Любая одно-, двух- и трехточечная функция первичных полей определяется конформной симметрией с точностью до мультипликативной константы. Эта константа устанавливается равной единице для одно- и двухточечных функций путем выбора нормализации поля. Единственными нетривиальными динамическими величинами являются константы трехточечной структуры, которые были даны выше в контексте операторных разложений произведений.

$\left\langle \mathbf {1} (z_{1})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\right\rangle =0\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\right\rangle =0$

$\left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}$

с $z_{ij}=z_{i}-z_{j}$.

$\langle \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \rangle =0$

$\left\langle \mathbf {1} (z_{1})\mathbf {1} (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =1\ ,\ \left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-{\frac {1}{4}}}\ ,\ \left\langle \epsilon (z_{1})\epsilon (z_{2})\mathbf {1} (z_{3})\right\rangle =|z_{12}|^{-2}$

$\left\langle \sigma (z_{1})\sigma (z_{2})\epsilon (z_{3})\right\rangle ={\frac {1}{2}}|z_{12}|^{\frac {3}{4}}|z_{13}|^{-1}|z_{23}|^{-1}$

$\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \sigma \rangle =\langle \mathbf {1} \mathbf {1} \epsilon \rangle =\langle \mathbf {1} \sigma \epsilon \rangle =\langle \sigma \epsilon \epsilon \rangle =\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =\langle \epsilon \epsilon \epsilon \rangle =0$

Три нетривиальные четырехточечные функции имеют тип $\langle \sigma ^{4}\rangle ,\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle ,\langle \epsilon ^{4}\rangle$. Для четырехточечной функции $\left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle$, позволять ${\mathcal {F}}_{j}^{(s)}$ и ${\mathcal {F}}_{j}^{(t)}$ s- и t-каналов — конформные блоки Вирасоро , которые соответственно соответствуют вкладам $V_{j}(z_{2})$ (и его потомки) в расширении продукта оператора $V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})$и из $V_{j}(z_{4})$ (и его потомки) в расширении продукта оператора $V_{1}(z_{1})V_{4}(z_{4})$. Позволять $x={\frac {z_{12}z_{34}}{z_{13}z_{24}}}$ быть перекрестным отношением.

В случае $\langle \epsilon ^{4}\rangle$, правила слияния допускают только одно основное поле во всех каналах, а именно поле идентификатора.

${\begin{aligned}&\langle \epsilon ^{4}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}=\left[\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{3}}}\right]{\frac {1-x+x^{2}}{x^{\frac {2}{3}}(1-x)^{\frac {2}{3}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1}{x(1-x)}}-1\end{aligned}}$

В случае $\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle$, правила слияния допускают только идентификационное поле в s-канале и спиновое поле в t-канале.

${\begin{aligned}&\langle \sigma ^{2}\epsilon ^{2}\rangle =\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}=C_{\sigma \sigma \epsilon }^{2}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}={\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}\right|^{2}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {1}{2}}{\mathcal {F}}_{\sigma }^{(t)}=\left[z_{12}^{\frac {1}{4}}z_{34}^{-{\frac {5}{8}}}\left(z_{13}z_{24}z_{14}z_{23}\right)^{-{\frac {3}{16}}}\right]{\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {3}{8}}(1-x)^{\frac {5}{16}}}}\ {\underset {(z_{i})=(x,0,\infty ,1)}{=}}\ {\frac {1-{\frac {x}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{2}}}}\end{aligned}}$

В случае $\langle \sigma ^{4}\rangle$Правила слияния допускают наличие двух основных полей во всех каналах: поле идентичности и поле энергии. В этом случае запишем конформные блоки в случае $(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=(x,0,\infty ,1)$ только: общий случай получается вставкой префактора $x^{\frac {1}{24}}(1-x)^{\frac {1}{24}}\prod _{1\leq i<j\leq 4}z_{ij}^{-{\frac {1}{24}}}$и выявление $x$ с перекрестным соотношением.

${\begin{aligned}\langle \sigma ^{4}\rangle &=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}\right|^{2}=\left|{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}\right|^{2}+{\frac {1}{4}}\left|{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}\right|^{2}\\&={\frac {|1+{\sqrt {x}}|+|1-{\sqrt {x}}|}{2|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\ {\underset {x\in (0,1)}{=}}\ {\frac {1}{|x|^{\frac {1}{4}}|1-x|^{\frac {1}{4}}}}\end{aligned}}$

В случае $\langle \sigma ^{4}\rangle$, конформные блоки:

${\begin{aligned}&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {1-x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {1-x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\\&{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(t)}={\frac {{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}}{\sqrt {2}}}+{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {x}}}{2}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\ ,\;\;{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(t)}={\sqrt {2}}{\mathcal {F}}_{\textbf {1}}^{(s)}-{\frac {{\mathcal {F}}_{\epsilon }^{(s)}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2-2{\sqrt {x}}}}{x^{\frac {1}{8}}(1-x)^{\frac {1}{8}}}}\end{aligned}}$

Из представления модели в терминах фермионов Дирака можно вычислить корреляционные функции любого количества операторов спина или энергии:

$\left\langle \prod _{i=1}^{2n}\epsilon (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left|\det \left({\frac {1}{z_{ij}}}\right)_{1\leq i\neq j\leq 2n}\right|^{2}$

$\left\langle \prod _{i=1}^{2n}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{\begin{array}{c}\epsilon _{i}=\pm 1\\\sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}=0\end{array}}\prod _{1\leq i<j\leq 2n}|z_{ij}|^{\frac {\epsilon _{i}\epsilon _{j}}{2}}$

Эти формулы имеют обобщения для корреляционных функций на торе, которые включают тэта-функции .

Другие наблюдаемые

Оператор беспорядка

Двумерная модель Изинга отображается в самой себе посредством двойственности высоких и низких температур. Образ спин-оператора $\sigma$ в этой двойственности является оператором беспорядка $\mu$, который имеет одинаковые левые и правые конформные размерности $(\Delta _{\mu },{\bar {\Delta }}_{\mu })=(\Delta _{\sigma },{\bar {\Delta }}_{\sigma })=({\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{16}})$. Хотя оператор беспорядка не принадлежит минимальной модели, корреляционные функции, включающие оператор беспорядка, могут быть вычислены точно, например

$\left\langle \sigma (z_{1})\mu (z_{2})\sigma (z_{3})\mu (z_{4})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|-1{\Big )}$

тогда как

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}\mu (z_{i})\right\rangle ^{2}=\left\langle \prod _{i=1}^{4}\sigma (z_{i})\right\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {|z_{13}z_{24}|}{|z_{12}z_{34}z_{23}z_{14}|}}}{\Big (}|x|+|1-x|+1{\Big )}$

Связность кластеров

Модель Изинга имеет описание как модель случайного кластера, предложенное Фортуином и Кастелейном. В этом описании естественными наблюдаемыми являются связности кластеров, т.е. вероятности того, что несколько точек принадлежат одному и тому же кластеру. Тогда модель Изинга можно рассматривать как случай $q=2$ принадлежащий $q$ , -модель Поттса параметр которой $q$ может непрерывно меняться и связан с центральным зарядом алгебры Вирасоро .

В критическом пределе связности кластеров при конформных преобразованиях ведут себя так же, как корреляционные функции оператора спина. Тем не менее связности не совпадают со спиновыми корреляционными функциями: например, трехточечная связность не исчезает, а $\langle \sigma \sigma \sigma \rangle =0$. Имеется четыре независимых четырехточечных связности, и их сумма совпадает с $\langle \sigma \sigma \sigma \sigma \rangle$. Другие комбинации четырехточечных связностей аналитически неизвестны. В частности, они не связаны с корреляционными функциями минимальной модели, хотя они связаны с $q\to 2$ предел спиновых корреляторов в $q$-модель Поттса.