Функция осциллятора

В квантовой теории поля могут распределения Вайтмана быть аналитически продолжены до аналитических функций в евклидовом пространстве с областью , ограниченной упорядоченным набором точек в евклидовом пространстве без совпадающих точек. ^[1] Эти функции называются функциями Швингера (названными в честь Джулиана Швингера ), и они вещественно-аналитические, симметричные относительно перестановки аргументов (антисимметричные для фермионных полей ), евклидовы ковариантные и удовлетворяют свойству, известному как позитивность отражения . Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера – Шредера (названные в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шредера ). ^[2] Функции Швингера также называют евклидовыми корреляционными функциями .

Аксиомы Остервальдера – Шредера

Здесь мы описываем аксиомы Остервальдера – Шредера (ОС) для евклидовой квантовой теории поля эрмитова скалярного поля. $\phi (x)$ , $x\in \mathbb {R} ^{d}$ . Заметим, что типичная квантовая теория поля будет содержать бесконечное множество локальных операторов, включая и составные операторы , а их корреляторы также должны удовлетворять аксиомам ОС, аналогичным описанным ниже.

Функции Швингера $\phi$ обозначаются как

S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv \langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\rangle ,\quad x_{k}\in \mathbb {R} ^{d}.

Аксиомы ОС из ^[2] пронумерованы (Е0)-(Е4) и имеют следующее значение:

(E0) Умеренность
(E1) Евклидова ковариация
(E2) Позитивность
(E3) Симметрия
(E4) Свойство кластера

Умеренность

Аксиома умеренности (E0) гласит, что функции Швингера представляют собой умеренные распределения вдали от совпадающих точек. Это означает, что их можно интегрировать по пробным функциям Шварца , которые исчезают со всеми своими производными в конфигурациях, где совпадают две или более точки. На основании этой аксиомы и других аксиом ОС (но не условия линейного роста) можно показать, что функции Швингера на самом деле являются вещественно-аналитическими вдали от совпадающих точек.

Евклидова ковариация

Аксиома евклидовой ковариации (E1) гласит, что функции Швингера ковариантно преобразуются при вращении и перемещении, а именно:

S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots ,Rx_{n}+b)

для произвольной матрицы вращения $R\in SO(d)$ и произвольный вектор перевода $b\in \mathbb {R} ^{d}$ . Аксиомы ОС могут быть сформулированы для функций Швингера полей, преобразующихся в произвольных представлениях группы вращений. ^[2]^[3]

Симметрия

Аксиома симметрии (E3) гласит, что функции Швингера инвариантны относительно перестановок точек:

S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})

,

где $\pi$ представляет собой произвольную перестановку $\{1,\ldots ,n\}$ . Вместо этого функции Швингера фермионных полей антисимметричны; для них это уравнение имело бы знак ±, равный сигнатуре перестановки.

Свойство кластера

Свойство кластера (E4) говорит о том, что функция Швингера $S_{p+q}$ сводится к произведению $S_{p}S_{q}$ если две группы точек отделены друг от друга большим постоянным сдвигом:

\lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})S_{q}(x_{p+1},\ldots ,x_{p+q})

.

Предел понимается в смысле распределений. Существует также техническое предположение, что две группы точек лежат по две стороны от $x^{0}=0$ гиперплоскость, а вектор $b$ параллельно ему:

x_{1}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}>0,\quad x_{p+1}^{0},\ldots ,x_{p+q}^{0}<0,\quad b^{0}=0.

Отражение позитива

Аксиомы позитивности (E2) утверждают следующее свойство, называемое позитивностью отражения (Остервальдера – Шредера). Выберите любую произвольную координату τ и выберите тестовую функцию f _N с N точками в качестве аргументов. Предположим, что f _N имеет носитель в «упорядоченном по времени» подмножестве N точек с 0 < τ ₁ < ... < τ _N . Выберите один такой f _N для каждого положительного N , причем f будет нулевым для всех N, больших некоторого целого числа M . Учитывая точку $x$ , позволять $x^{\theta }$ τ = 0 быть отраженной точкой относительно гиперплоскости . Затем,

\sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0

где * представляет собой комплексное сопряжение .

Иногда в литературе по теоретической физике положительность отражения формулируется как требование того, чтобы функция Швингера произвольного четного порядка была неотрицательной, если точки вставлены симметрично относительно $\tau =0$ гиперплоскость:

S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n}^{\theta },\dots ,x_{1}^{\theta })\geq 0

.

Это свойство действительно следует из положительности отражения, но оно слабее, чем положительность полного отражения.

Интуитивное понимание

Один из способов (формального) построения функций Швингера, удовлетворяющих вышеуказанным свойствам, — это использование евклидова интеграла по путям . В частности, евклидовы интегралы по траекториям (формально) удовлетворяют положительности отражения. Пусть F — любой полиномиальный функционал поля φ , который зависит только от значения φ ( x ) для тех точек x, которых координаты τ неотрицательны. Затем

\int {\mathcal {D}}\phi F[\phi (x)]F[\phi (x^{\theta })]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[(\phi _{-})^{\theta }]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.

Поскольку действие S вещественно и его можно разбить на $S_{+}$ , который зависит только от φ в положительном полупространстве ( $\phi _{+}$ ), и $S_{-}$ которая зависит только от φ в отрицательном полупространстве ( $\phi _{-}$ ), и если S также оказывается инвариантным относительно совместного действия отражения и комплексного сопряжения всех полей, то предыдущая величина должна быть неотрицательной.

Теорема Остервальдера – Шредера

Теорема Остервальдера–Шредера. ^[4] утверждает, что евклидовы функции Швингера, которые удовлетворяют вышеуказанным аксиомам (E0)-(E4) и дополнительному свойству (E0'), называемому условием линейного роста , могут быть аналитически продолжены до лоренцевых распределений Вайтмана, которые удовлетворяют аксиомам Вайтмана и, таким образом, определяют квантовую теорию поля .

Условия линейного роста

Это условие, называемое (Е0') в, ^[4] утверждает, что когда функция порядка Швингера $n$ сопряжено с произвольной Шварца пробной функцией $f$ которая обращается в нуль в совпадающих точках, мы имеем следующую оценку:

|S_{n}(f)|\leq \sigma _{n}|f|_{C\cdot n},

где $C\in \mathbb {N}$ целочисленная константа, $|f|_{C\cdot n}$ – полунорма пространства Шварца порядка $N=C\cdot n$ , то есть

|f|_{N}=\sup _{|\alpha |\leq N,x\in \mathbb {R} ^{d}}|(1+|x|)^{N}D^{\alpha }f(x)|,

и $\sigma _{n}$ последовательность констант факториала роста , т.е. $\sigma _{n}\leq A(n!)^{B}$ с некоторыми константами $A,B$ .

Условие линейного роста является тонким, поскольку оно должно удовлетворяться для всех функций Швингера одновременно. Оно также не было выведено из аксиом Вайтмана , так что система аксиом ОС (E0)-(E4) плюс условие линейного роста (E0') оказывается более сильной, чем аксиомы Вайтмана .

История

Сначала Остервальдер и Шредер выдвинули более сильную теорему о том, что аксиомы (Е0)-(Е4) сами по себе влекут за собой аксиомы Вайтмана , ^[2] однако их доказательство содержало ошибку, которую нельзя было исправить без добавления дополнительных предположений. Два года спустя они опубликовали новую теорему с добавленным в качестве предположения условием линейного роста и правильным доказательством. ^[4] Новое доказательство основано на сложном индуктивном аргументе (предложенном также Владимиром Глейзером ): ^[5] при этом область аналитичности функций Швингера постепенно расширяется в сторону пространства Минковского, а распределения Вайтмана восстанавливаются как предельные. Условие линейного роста (E0') крайне важно использовать, чтобы показать, что предел существует и является умеренным распределением.

В статье Остервальдера и Шредера содержится также еще одна теорема, заменяющая (Е0') еще одним предположением, называемым ${\check {\text{(E0)}}}$ . ^[4] Эта другая теорема используется редко, поскольку ${\check {\text{(E0)}}}$ проверить на практике сложно. ^[3]

Другие аксиомы функций Швингера

Аксиомы Глимма и Яффе

Альтернативный подход к аксиоматизации евклидовых корреляторов описан в их книге Глиммом и Яффе. ^[6] В этом подходе предполагается, что задана мера $d\mu$ на пространстве распределений $\phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})$ . Затем рассматривается производящий функционал

S(f)=\int e^{\phi (f)}d\mu ,\quad f\in D(\mathbb {R} ^{d})

который, как предполагается, удовлетворяет свойствам OS0-OS4:

(OS0) Аналитика. Это утверждает, что

z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}f_{i}\right)

является цельноаналитической функцией $z\in \mathbb {R} ^{n}$ для любой коллекции $n$ компактно поддерживаемые функции тестирования $f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})$ . Интуитивно это означает, что мера $d\mu$ затухает быстрее любой экспоненты.

(OS1) Регулярность . Это требует роста, ограниченного $S(f)$ с точки зрения $f$ , такой как $|S(f)|\leq \exp \left(C\int d^{d}x|f(x)|\right)$ . Видеть ^[6] для точного состояния.
(OS2) Евклидова инвариантность. Это говорит о том, что функционал $S(f)$ инвариантен относительно евклидовых преобразований $f(x)\mapsto f(Rx+b)$ .
(OS3) Отражение позитивности. Возьмите конечную последовательность тестовых функций $f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})$ которые все поддерживаются в верхнем полупространстве, т.е. $x^{0}>0$ . Обозначим через $\theta f_{i}(x)=f_{i}(\theta x)$ где $\theta$ — это операция отражения, определенная выше. Эта аксиома гласит, что матрица $M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j})$ должно быть положительно полуопределенным.
(OS4) Эргодичность. Полугруппа перевода времени действует эргодически в пространстве с мерой $(D'(\mathbb {R} ^{d}),d\mu )$ . Видеть ^[6] для точного состояния.

Связь с аксиомами Остервальдера – Шредера.

Хотя приведенные выше аксиомы были названы Глиммом и Яффе (OS0)-(OS4) в честь Остервальдера и Шредера, они не эквивалентны аксиомам Остервальдера–Шредера.

Учитывая (OS0)-(OS4), можно определить функции Швингера $\phi$ как моменты меры $d\mu$ и покажем, что эти моменты удовлетворяют аксиомам Остервальдера–Шредера (E0)–(E4), а также условиям линейного роста (E0'). Тогда можно обратиться к теореме Остервальдера–Шредера, чтобы показать, что функции Вайтмана являются умеренными распределениями. Альтернативно, и это гораздо проще, можно вывести аксиомы Вайтмана непосредственно из (OS0)-(OS4). ^[6]

Однако заметим, что полная квантовая теория поля будет содержать бесконечно много других локальных операторов, помимо $\phi$ , такой как $\phi ^{2}$ , $\phi ^{4}$ и другие составные операторы, построенные на основе $\phi$ и его производные. Нелегко извлечь эти функции Швингера из меры. $d\mu$ и покажем, что они удовлетворяют аксиомам ОС, как и должно быть.

Подводя итог, можно сказать, что аксиомы, названные Глиммом и Яффе (OS0)-(OS4), сильнее, чем аксиомы OS, поскольку корреляторы поля $\phi$ обеспокоены, но слабее, чем полный набор аксиом ОС, поскольку они мало что говорят о корреляторах составных операторов.

Аксиомы Нельсона

Эти аксиомы были предложены Эдвардом Нельсоном . ^[7] См. также их описание в книге Барри Саймона. ^[8] Как и в приведенных выше аксиомах Глимма и Яффе, предполагается, что поле $\phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})$ представляет собой случайное распределение с мерой $d\mu$ . Эта мера достаточно регулярна, так что поле $\phi$ имеет регулярность пространства Соболева отрицательного порядка производной. Важнейшей особенностью этих аксиом является рассмотрение поля, ограниченного поверхностью. Одной из аксиом является марковское свойство , которое формализует интуитивное представление о том, что состояние поля внутри замкнутой поверхности зависит только от состояния поля на поверхности.

См. также

Ссылки

^ Стритер, РФ; Вайтман, А.С. (2000). РСТ, спин и статистика и все такое . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07062-9 . OCLC 953694720 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Остервальдер К. и Шрейдер Р.: «Аксиомы евклидовых функций Грина», Comm. Математика. Физ. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281–305.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кравчук Петр; Цяо, Цзясинь; Рычков, Слава (05.04.2021). «Распределения в CFT II. Пространство Минковского». arXiv : 2104.02090v1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Остервальдер, Конрад; Шредер, Роберт (1975). «Аксиомы евклидовых функций Грина II» . Связь в математической физике . 42 (3). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 281–305. дои : 10.1007/bf01608978 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119389461 .
^ Глейзер, В. (1974). «Об эквивалентности евклидовой и вайтмановской формулировок теории поля» . Связь в математической физике . 37 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 257–272. дои : 10.1007/bf01645941 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121257568 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Глимм, Джеймс; Яффе, Артур (1987). Квантовая физика: функционально-интегральная точка зрения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9 . OCLC 852790676 .
^ Нельсон, Эдвард (1 января 1973 г.). «Построение квантовых полей из полей Маркова» . Журнал функционального анализа . 12 (1): 97–112. дои : 10.1016/0022-1236(73)90091-8 . ISSN 0022-1236 .
^ Саймон, Барри (1974). P(phi)_2 Евклидова (квантовая) теория поля . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08144-1 . OCLC 905864308 .

[Streater-1] Стритер, РФ; Вайтман, А.С. (2000). РСТ, спин и статистика и все такое . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07062-9 . OCLC 953694720 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Остервальдер К. и Шрейдер Р.: «Аксиомы евклидовых функций Грина», Comm. Математика. Физ. 31 (1973), 83–112; 42 (1975), 281–305.

[Kravchuk_Qiao_Rychkov_2021-3] Перейти обратно: ^а ^б Кравчук Петр; Цяо, Цзясинь; Рычков, Слава (05.04.2021). «Распределения в CFT II. Пространство Минковского». arXiv : 2104.02090v1 .

[Osterwalder_Schrader_1975-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Остервальдер, Конрад; Шредер, Роберт (1975). «Аксиомы евклидовых функций Грина II» . Связь в математической физике . 42 (3). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 281–305. дои : 10.1007/bf01608978 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119389461 .

[Glaser_1974-5] Глейзер, В. (1974). «Об эквивалентности евклидовой и вайтмановской формулировок теории поля» . Связь в математической физике . 37 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 257–272. дои : 10.1007/bf01645941 . ISSN 0010-3616 . S2CID 121257568 .

[Glimm_1987-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Глимм, Джеймс; Яффе, Артур (1987). Квантовая физика: функционально-интегральная точка зрения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4612-4728-9 . OCLC 852790676 .

[Nelson-7] Нельсон, Эдвард (1 января 1973 г.). «Построение квантовых полей из полей Маркова» . Журнал функционального анализа . 12 (1): 97–112. дои : 10.1016/0022-1236(73)90091-8 . ISSN 0022-1236 .

[Simon-8] Саймон, Барри (1974). P(phi)_2 Евклидова (квантовая) теория поля . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08144-1 . OCLC 905864308 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]