Фиксированная точка Бэнкса – Закса

В квантовой хромодинамике (а также N = 1 суперквантовой хромодинамике ) с безмассовыми ароматами , если число ароматов N _f достаточно мало (т. е. достаточно мало, чтобы гарантировать асимптотическую свободу , в зависимости от количества цветов ), теория может течь к взаимодействующей конформной точке ренормгруппы неподвижной . Если значение связи в этой точке меньше единицы ( т. е. можно реализовать теорию возмущений в слабой связи), то фиксированная точка называется неподвижной точкой Бэнкса – Закса . О существовании неподвижной точки впервые сообщили в 1974 году Белавин и Мигдал. и Касвелл , и позже использовался Бэнксом и Заксом при анализе фазовой структуры векторных калибровочных теорий с безмассовыми фермионами. название фиксированной точки Касвелла – Бэнкса – Закса Также используется .

Более конкретно, предположим, что мы обнаружили, что бета-функция теории с точностью до двух петель имеет вид

$\beta (g)=-b_{0}g^{3}+b_{1}g^{5}+{\mathcal {O}}(g^{7})\,$

где $b_{0}$ и $b_{1}$ являются положительными константами. Тогда существует значение $g=g_{\ast }$ такой, что $\beta (g_{\ast })=0$:

$g_{\ast }^{2}={\frac {b_{0}}{b_{1}}}.$

Если мы сможем организовать $b_{0}$ быть меньше, чем $b_{1}$, тогда мы имеем $g_{\ast }^{2}<1$. Отсюда следует, что когда теория переходит в МО, это конформная слабосвязанная теория со связью $g_{\ast }$.

Для случая неабелевой калибровочной теории с калибровочной группой $SU(N_{c})$ и фермионы Дирака в фундаментальном представлении калибровочной группы ароматизированных частиц имеем

$b_{0}={\frac {1}{16\pi ^{2}}}{\frac {1}{3}}(11N_{c}-2N_{f})\;\;\;\;{\text{ and }}\;\;\;\;b_{1}=-{\frac {1}{(16\pi ^{2})^{2}}}\left({\frac {34}{3}}N_{c}^{2}-{\frac {1}{2}}N_{f}\left(2{\frac {N_{c}^{2}-1}{N_{c}}}+{\frac {20}{3}}N_{c}\right)\right)$

где $N_{c}$ количество цветов и $N_{f}$ количество вкусов. Затем $N_{f}$ должно лежать чуть ниже ${\tfrac {11}{2}}N_{c}$ для того, чтобы появилась неподвижная точка Бэнкса–Закса. Обратите внимание, что эта фиксированная точка возникает только в том случае, если в дополнение к предыдущему требованию по $N_{f}$ (что гарантирует асимптотическую свободу),

${\frac {11}{2}}N_{c}>N_{f}>{\frac {34N_{c}^{3}}{(13N_{c}^{2}-3)}}$

где нижняя граница возникает из требования $b_{1}>0$. Сюда $b_{1}$ остается положительным, пока $-b_{0}$ по-прежнему отрицательно (см. первое уравнение в статье), и можно решить $\beta (g)=0$ с реальными решениями для $g$. Коэффициент $b_{1}$ впервые был правильно вычислен Касвеллом, в то время как более ранняя статья Белавина и Мигдала имеет неправильный ответ.

См. также

• Бета-функция

Ссылки

• Т. Дж. Холловуд, « Ренормгруппа и неподвижные точки в квантовой теории поля », Springer, 2013 г., ISBN   978-3-642-36311-5 .