Множественная дзета-функция

Чтобы узнать о другой, но связанной с ней множественной дзета-функции, см. дзета-функцию Барнса .

В математике множественные дзета-функции являются обобщениями дзета-функции Римана , определяемой формулой

$\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!$

и сходятся , когда Re( s ₁ ) + ... + Re( s _i ) > i для всех i . Как и дзета-функция Римана, кратные дзета-функции аналитически могут быть продолжены как мероморфные функции (см., например, Чжао (1999)). Когда s ₁ , ..., sk ₍ все являются положительными целыми числами с s ₁ > 1), эти суммы часто называют кратными значениями дзета (MZV) или суммами Эйлера . Эти значения также можно рассматривать как специальные значения кратных полилогарифмов.

Значение k в приведенном выше определении называется «глубиной» MZV, а число n = s ₁ + ... + s _k известно как «вес».

Стандартным сокращением для написания нескольких дзета-функций является размещение повторяющихся строк аргумента в фигурных скобках и использование верхнего индекса для обозначения количества повторений. Например,

$\zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3).$

Определение

Множественные дзета-функции возникают как частные случаи кратных полилогарифмов.

$\mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}$

которые являются обобщениями функций полилогарифмов . Когда все $\mu _{i}$ являются n ^й корни единства и $s_{i}$ все являются неотрицательными целыми числами, значения кратного полилогарифма называются цветными кратными дзета-значениями уровня $n$. В частности, когда $n=2$, они называются суммами Эйлера или чередующимися множественными значениями дзета , и когда $n=1$ их просто называют множественными значениями дзета. Часто пишутся несколько значений дзета.

$\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {1}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}$

и суммы Эйлера записываются

$\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon ^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}$

где $\varepsilon _{i}=\pm 1$. Иногда авторы пишут полосу над $s_{i}$ соответствующий $\varepsilon _{i}$ равный $-1$, так например

$\zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)$.

Интегральная структура и идентичности

Концевич заметил, что можно выразить цветные кратные дзета-значения (и, следовательно, их частные случаи) в виде некоторых интегралов от многих переменных . Этот результат часто формулируется с использованием соглашения о повторных интегралах, где

$\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}$

Используя это соглашение, результат можно сформулировать следующим образом:

$\mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}$ где $a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}$ для $j=1,2,\ldots ,d$.

Этот результат чрезвычайно полезен благодаря хорошо известному результату о произведениях повторных интегралов, а именно тому, что

$\left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\!\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n,m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)$ где ${\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}$ и $S_{m}$ является симметрической группой на $m$ символы.

Чтобы использовать это в контексте нескольких значений дзета, определите $X=\{a,b\}$, $X^{*}$ быть свободным моноидом, порожденным $X$ и ${\mathfrak {A}}$ быть свободным $\mathbb {Q}$- векторное пространство, созданное $X^{*}$. ${\mathfrak {A}}$ можно снабдить перетасовкой произведения , превратив его в алгебру . Тогда множественную дзета-функцию можно рассматривать как оценочную карту, где мы определяем $a={\frac {dt}{t}}$, $b={\frac {dt}{1-t}}$и определить

$\zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w}$ для любого $\mathbf {w} \in X^{*}$,

что по вышеупомянутому интегральному тождеству делает

$\zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d}).$

Тогда интегральное тождество продуктов дает

$\zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v).$

Случай с двумя параметрами

В частном случае только двух параметров мы имеем (с s > 1 и n , m целыми числами):

$\zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}$

$\zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}$ где $H_{n,t}$ — обобщенные числа гармоник .

Известно, что множественные дзета-функции удовлетворяют так называемой двойственности MZV, простейшим случаем которой является знаменитое тождество Эйлера :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!$

где H _n — номера гармоник .

Специальные значения двойных дзета-функций, с s > 0 и четными , t > 1 и нечетными , но s + t = 2 N +1 (при необходимости принимая ζ (0) = 0):

$\zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)$

с	т	приблизительная стоимость	явная формула	ОЭИС
2	2	0.811742425283353643637002772406	${\tfrac {3}{4}}\zeta (4)$	А197110
3	2	0.228810397603353759768746148942	$3\zeta (2)\zeta (3)-{\tfrac {11}{2}}\zeta (5)$	А258983
4	2	0.088483382454368714294327839086	$\left(\zeta (3)\right)^{2}-{\tfrac {4}{3}}\zeta (6)$	А258984
5	2	0.038575124342753255505925464373	$5\zeta (2)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (4)-11\zeta (7)$	А258985
6	2	0.017819740416835988362659530248		А258947
2	3	0.711566197550572432096973806086	${\tfrac {9}{2}}\zeta (5)-2\zeta (2)\zeta (3)$	А258986
3	3	0.213798868224592547099583574508	${\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (3)\right)^{2}-\zeta (6)\right)$	А258987
4	3	0.085159822534833651406806018872	$17\zeta (7)-10\zeta (2)\zeta (5)$	А258988
5	3	0.037707672984847544011304782294	$5\zeta (3)\zeta (5)-{\tfrac {147}{24}}\zeta (8)-{\tfrac {5}{2}}\zeta (6,2)$	А258982
2	4	0.674523914033968140491560608257	${\tfrac {25}{12}}\zeta (6)-\left(\zeta (3)\right)^{2}$	А258989
3	4	0.207505014615732095907807605495	$10\zeta (2)\zeta (5)+\zeta (3)\zeta (4)-18\zeta (7)$	А258990
4	4	0.083673113016495361614890436542	${\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (4)\right)^{2}-\zeta (8)\right)$	А258991

Обратите внимание, что если $s+t=2p+2$ у нас есть $p/3$ неприводимые, т. е. эти MZV нельзя записать как функцию $\zeta (a)$ только.

Случай с тремя параметрами

В частном случае всего трех параметров мы имеем (с a > 1 и n , j , i целыми числами):

$\zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{j,c}}{(j+1)^{b}}}$

Формула отражения Эйлера

Вышеупомянутые MZV удовлетворяют формуле отражения Эйлера:

$\zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)$ для $a,b>1$

Используя отношения тасования, легко доказать , что:

$\zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)$ для $a,b,c>1$

Эту функцию можно рассматривать как обобщение формул отражения.

Симметричные суммы через дзета-функцию

Позволять $S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}$, и для раздела $\Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}$ из набора $\{1,2,\dots ,k\}$, позволять $c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!$. Кроме того, учитывая такой $\Pi$ и k -кортеж $i=\{i_{1},...,i_{k}\}$ показателей, определите $\prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})$.

Отношения между $\zeta$ и $S$ являются: $S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})$ и $S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3}).$

Теорема 1 (Хоффмана)

Для любого настоящего $i_{1},\cdots ,i_{k}>1,$, $\sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )$.

Доказательство. Предположим, $i_{j}$ все различны. (Нет потери общности, поскольку мы можем брать пределы.) Левую часть можно записать как $\sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$. Теперь думаю о симметричном

группа $\Sigma _{k}$ как действует на k -кортеж $n=(1,\cdots ,k)$ положительных целых чисел. Данный k -кортеж $n=(n_{1},\cdots ,n_{k})$ имеет изотропную группу

$\Sigma _{k}(n)$ и связанный раздел $\Lambda$ из $(1,2,\cdots ,k)$: $\Lambda$ множество классов эквивалентности отношения – предоставлено $i\sim j$ если только $n_{i}=n_{j}$, и $\Sigma _{k}(n)=\{\sigma \in \Sigma _{k}:\sigma (i)\sim \forall i\}$. Теперь термин ${\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$ происходит с левой стороны $\sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )$ точно $\left|\Sigma _{k}(n)\right|$ раз. Оно встречается в правой части в тех терминах, которые соответствуют разбиениям $\Pi$ это усовершенствования $\Lambda$: сдача $\succeq$ обозначают уточнение, ${\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$ происходит $\sum _{\Pi \succeq \Lambda }(\Pi )$ раз. Таким образом, вывод будет следовать, если $\left|\Sigma _{k}(n)\right|=\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )$ для любого k -кортежа $n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}$ и связанный раздел $\Lambda$.Чтобы увидеть это, обратите внимание, что $c(\Pi )$ подсчитывает перестановки, имеющие тип цикла , указанный $\Pi$: поскольку любые элементы $\Sigma _{k}(n)$ имеет уникальный тип цикла, заданный разделом, который уточняет $\Lambda$, результат следующий.

Для $k=3$, гласит теорема $\sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})$для $i_{1},i_{2},i_{3}>1$. Это основной результат.

Имея $\zeta (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}$. Сформулировав аналог теоремы 1 для $\zeta 's$, нам нужен один бит обозначения. Для раздела

$\Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}$ из $\{1,2\cdots ,k\}$, позволять ${\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )$.

Теорема 2 (Хоффмана)

Для любого настоящего $i_{1},\cdots ,i_{k}>1$, $\sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}\zeta (i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}{\tilde {c}}(\Pi )\zeta (i,\Pi )$.

Доказательство. Мы следуем той же линии рассуждений, что и в предыдущем доказательстве. Левая сторона теперь $\sum _{\sigma }\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}$и термин ${\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}$ происходит слева, так как однажды, если все $n_{i}$ различны, и ничуть не иначе. Таким образом, достаточно показать $\sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ if }}\left|\Lambda \right|=k\\0,{\text{ otherwise }}.\end{cases}}$ (1)

Для доказательства этого заметим сначала, что знак ${\tilde {c}}(\Pi )$ положительно, если перестановки типа цикла $\Pi$ четны и отрицательны , если они нечетны : таким образом, левая часть (1) представляет собой знаковую сумму числа четных и нечетных перестановок в группе изотропии $\Sigma _{k}(n)$. Но такая группа изотропии имеет одинаковое количество четных и нечетных перестановок, если только она не тривиальна, т. е. если связанное с ней разбиение $\Lambda$ является $\{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}$.

Гипотезы о сумме и двойственности

Сначала сформулируем гипотезу о сумме, выдвинутую К. Моэном.

Гипотеза суммы (Хоффмана). Для натуральных чисел k и n , $\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)$, где сумма расширена по k -кортежам $i_{1},\cdots ,i_{k}$ положительных целых чисел с $i_{1}>1$.

три замечания По поводу этой гипотезы уместны . Во-первых, это подразумевает $\sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)$. Во-вторых, в случае $k=2$ там написано, что $\zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)$или используя связь между $\zeta 's$ и $S's$ и теорема 1, $2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).$

Это доказал Эйлер и был открыт несколько раз заново, в частности Уильямсом. Наконец, К. Моен доказал ту же самую гипотезу для k = 3 длинными, но элементарными рассуждениями.Для гипотезы двойственности мы сначала определим инволюцию $\tau$ на съемочной площадке $\Im$ конечных последовательностей натуральных чисел, первый элемент которых больше 1. Пусть $\mathrm {T}$ — множество строго возрастающих конечных последовательностей натуральных чисел, и пусть $\Sigma :\Im \rightarrow \mathrm {T}$ быть функцией, которая отправляет последовательность в $\Im$ к его последовательности частичных сумм. Если $\mathrm {T} _{n}$ представляет собой набор последовательностей в $\mathrm {T}$ чей последний элемент не более $n$, мы имеем две коммутирующие инволюции $R_{n}$ и $C_{n}$ на $\mathrm {T} _{n}$ определяется $R_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\dots ,n+1-a_{1})$ и $C_{n}(a_{1},\dots ,a_{l})$ = дополнение $\{a_{1},\dots ,a_{l}\}$ в $\{1,2,\dots ,n\}$ расположены в порядке возрастания. Наше определение $\tau$ является $\tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)$ для $I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\in \Im$ с $i_{1}+\cdots +i_{k}=n$.

Например, $\tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).$Будем говорить, что последовательности $(i_{1},\dots ,i_{k})$ и $\tau (i_{1},\dots ,i_{k})$ двойственны друг другу и относятся к последовательности, фиксированной $\tau$ как самодвойственный.

Гипотеза двойственности (Хоффман). Если $(h_{1},\dots ,h_{n-k})$ двойственен к $(i_{1},\dots ,i_{k})$, затем $\zeta (h_{1},\dots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\dots ,i_{k})$.

также известна как теорема суммы , и ее можно выразить следующим образом: дзета-значение Римана целого числа n ≥ 2 равно сумме всех действительных (т.е. с s ₁ > 1) MZV разбиений Эта гипотеза суммы длина k и вес n , где 1 ≤ k ≤ n - 1. В формуле:

$\sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n).$

Например, с длиной k = 2 и весом n = 7:

$\zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7).$

Сумма Эйлера со всеми возможными изменениями знаков

Сумма Эйлера с переменным знаком появляется в исследованиях неизменяемой суммы Эйлера.

Обозначения

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},b)$ с $H_{n}^{(b)}=+1+{\frac {1}{2^{b}}}+{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots$ — обобщенные числа гармоник .

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta (a,{\bar {b}})$ с ${\bar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{\frac {1}{2^{b}}}-{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ с ${\bar {H}}_{n}^{(c)}=-1+{\frac {1}{2^{c}}}-{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},b,c)$ с $H_{n}^{(c)}=+1+{\frac {1}{2^{c}}}+{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,{\bar {b}},c)$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,b,{\bar {c}})$

В качестве варианта эта-функции Дирихле мы определяем

$\phi (s)={\frac {1-2^{(s-1)}}{2^{(s-1)}}}\zeta (s)$ с $s>1$

$\phi (1)=-\ln 2$

Формула отражения

Формула отражения $\zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)$ можно обобщить следующим образом:

$\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},a)=\zeta (a)\phi (b)-\phi (a+b)$

$\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta (b,{\bar {a}})=\zeta (b)\phi (a)-\phi (a+b)$

$\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},{\bar {a}})=\phi (a)\phi (b)-\zeta (a+b)$

если $a=b$ у нас есть $\zeta ({\bar {a}},{\bar {a}})={\tfrac {1}{2}}{\Big [}\phi ^{2}(a)-\zeta (2a){\Big ]}$

Прочие отношения

Используя определение ряда, легко доказать:

$\zeta (a,b)+\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})={\frac {\zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)}}}$ с $a>1$

$\zeta (a,b,c)+\zeta (a,b,{\bar {c}})+\zeta (a,{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},b,c)+\zeta (a,{\bar {b}},{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},b,{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\frac {\zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)}}}$ с $a>1$

Еще одно полезное соотношение:

$\zeta (a,b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})=\sum _{s>0}(a+b-s-1)!{\Big [}{\frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{(a-s)!(b-1)!}}+{\frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{(b-s)!(a-1)!}}{\Big ]}$

где $Z_{a}(s,t)=\zeta (s,t)+\zeta ({\bar {s}},t)-{\frac {{\Big [}\zeta (s,t)+\zeta (s+t){\Big ]}}{2^{(s-1)}}}$ и $Z_{b}(s,t)={\frac {\zeta (s,t)}{2^{(s-1)}}}$

Обратите внимание, что $s$ должен использоваться для всех значений $>1$ для которого аргумент факториалов равен $\geqslant 0$

Другие результаты

Для всех положительных целых чисел $a,b,\dots ,k$:

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)$ или в более общем смысле:

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)$

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {k}})=-\phi (k+1)$

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},b)=\zeta ({\overline {a+1}},b)$

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,{\bar {b}})=\zeta (a+1,{\bar {b}})$

$\sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},{\bar {b}})=\zeta ({\overline {a+1}},{\bar {b}})$

$\lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1$

$1-\zeta (2)+\zeta (3)-\zeta (4)+\cdots =|{\frac {1}{2}}|$

$\zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}$

$\zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a)$

Дзета-значения Морделла – Торнхейма

Дзета-функция Морделла-Торнхейма, введенная Мацумото (2003) , который был мотивирован статьями Морделла (1958) и Торнхейма (1950) , определяется формулой

$\zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}$

Это частный случай дзета-функции Шинтани .

Ссылки

• Торнхейм, Леонард (1950). «Гармоническая двойная серия». Американский журнал математики . 72 (2): 303–314. дои : 10.2307/2372034 . ISSN   0002-9327 . JSTOR   2372034 . МР   0034860 ​​.
• Морделл, Луи Дж. (1958). «Об оценке некоторых множественных серий». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 33 (3): 368–371. дои : 10.1112/jlms/s1-33.3.368 . ISSN   0024-6107 . МР   0100181 .
• Апостол, Том М .; Ву, Тьенну Х. (1984), «Ряды Дирихле, связанные с дзета-функцией Римана», Journal of Number Theory , 19 (1): 85–102, doi : 10.1016/0022-314X(84)90094-5 , ISSN   0022 -314X , МР   0751166
• Крэндалл, Ричард Э.; Бюлер, Джо П. (1994). «Об оценке сумм Эйлера» . Экспериментальная математика . 3 (4): 275. дои : 10.1080/10586458.1994.10504297 . МР   1341720 .
• Борвейн, Джонатан М.; Гиргенсон, Роланд (1996). «Оценка тройных сумм Эйлера» . Электрон. Дж. Комб . 3 (1): #R23. дои : 10.37236/1247 . hdl : 1959.13/940394 . МР   1401442 .
• Флажоле, Филипп; Сальви, Бруно (1998). «Суммы Эйлера и контурные интегральные представления» . Эксп. Математика . 7 :15–35. CiteSeerX   10.1.1.37.652 . дои : 10.1080/10586458.1998.10504356 .
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение нескольких дзета-функций» . Труды Американского математического общества . 128 (5): 1275–1283. дои : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . МР   1670846 .
• Мацумото, Коджи (2003), «О Морделле-Торнхейме и других множественных дзета-функциях», Труды сессии по аналитической теории чисел и диофантовых уравнениях , Bonner Math. Шрифтен, том. 360, Бонн: Унив. Бонн, MR   2075634
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Гюго (2008). «Оценка двойных сумм Торнхейма». arXiv : math/0505647 .
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Гюго (2010). «Оценка двойных сумм Торнхейма II». Рамануджан Дж . 22 : 55–99. arXiv : 0811.0557 . дои : 10.1007/s11139-009-9181-1 . МР   2610609 . S2CID   17055581 .
• Борвейн, Дж. М. ; Чан, Ой. (2010). «Двойственность в хвостах нескольких дзета-значений». Межд. Дж. Теория чисел . 6 (3): 501–514. CiteSeerX   10.1.1.157.9158 . дои : 10.1142/S1793042110003058 . МР   2652893 .
• Басу, Анкур (2011). «О вычислении сумм Торнгейма и связанных с ними двойных сумм». Рамануджан Дж . 26 (2): 193–207. дои : 10.1007/s11139-011-9302-5 . МР   2853480 . S2CID   120229489 .

Внешние ссылки

• Борвейн, Джонатан; Зудилин, Вадим. «Конспекты лекций по множественной дзета-функции» .
• Хоффман, Майкл (2012). «Множество значений дзета» .
• Чжао, Цзяньцян (2016). Множественные дзета-функции, множественные полилогарифмы и их специальные значения . Серия по теории чисел и ее приложениям. Том. 12. Мировое научное издательство. дои : 10.1142/9634 . ISBN  978-981-4689-39-7 .
• Бургос Хиль, Хосе Игнасио; Фресан, Хавьер. «Множественные значения дзета: от чисел к мотивам» (PDF) .