Универсальность дзета-функции

Любая ненулевая голоморфная функция f, определенная на полосе, может быть аппроксимирована ζ-функцией.

В математике универсальность — это дзета -функций замечательная способность дзета -функции Римана и других подобных функций (таких как L-функции Дирихле ) сколь угодно хорошо аппроксимировать произвольные ненулевые голоморфные функции .

Универсальность дзета-функции Римана впервые была доказана Михайловичем Ворониным 1975 году и иногда известен как теорема универсальности Воронина .

Дзета-функция Римана на полосе 1/2 < Re( s ) < 1; 103 < Im( s ) < 109.

Официальное заявление

Далее следует математически точное утверждение универсальности дзета-функции Римана ζ( s ).

Пусть U — компактное подмножество полосы

$\{s\in \mathbb {C} \mid 1/2<{\mbox{Re }}s<1\}$

такое, дополнение к U связно что . Пусть f : U → C — непрерывная функция на U внутри , голоморфная U U и не нулей в имеющая . Тогда для любого ε > 0 существует t ≥ 0 такое, что

$\left|\zeta (s+it)-f(s)\right|<\varepsilon$ ( 1 )

для всех $s\in U$.

Более того: нижняя плотность множества значений t, удовлетворяющих указанному выше неравенству, положительна. Именно так $$0<\liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda \!\left(\left\{t\in [0,T]\;{\bigg |}\;\max _{s\in U}\left|\zeta (s+it)-f(s)\right|<\varepsilon \right\}\right),$$

где $\lambda$ обозначает меру Лебега действительных чисел и $\liminf$ обозначает нижний предел .

Обсуждение

Условие дополнения к U связности по существу означает, что U не содержит дырок.

Интуитивный смысл первого утверждения следующий: можно переместить U путем некоторого вертикального смещения так , чтобы функция f на U аппроксимировалась дзета-функцией на смещенной копии U с точностью до ε.

Функция f иметь нули в U. не может Это важное ограничение; если мы начнем с голоморфной функции с изолированным нулем, то любая «близкая» голоморфная функция также будет иметь ноль. Согласно гипотезе Римана , дзета-функция Римана не имеет нулей в рассматриваемой полосе и поэтому не может аппроксимировать такую ​​функцию. Функция f ( s ) = 0, которая тождественно равна нулю на U, может быть аппроксимирована функцией ζ : мы можем сначала выбрать «близкую» функцию g ( s ) = ε /2 (которая голоморфна и не имеет нулей) и найти вертикальное смещение такое, что ζ приближает g с точностью ε /2 и, следовательно, f с точностью ε .

На сопроводительном рисунке показана дзета-функция на представительной части соответствующей полосы. Цвет точки s кодирует значение ζ ( s ) следующим образом: оттенок представляет аргумент ζ ( s ), причем красный обозначает положительные действительные значения, а затем против часовой стрелки через желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Яркие цвета обозначают значения, близкие к 0 (черный = 0), слабые цвета обозначают значения, далекие от 0 (белый = ∞). На рисунке показаны три нуля дзета-функции, примерно 1/2 + 103,7 i , 1/2 + 105,5 i и 1/2 + 107,2 i . Теорема Воронина, по сути, утверждает, что эта полоса содержит все возможные «аналитические» цветовые схемы, в которых не используется черный или белый цвет.

Грубый смысл утверждения о нижней плотности следующий: если функция f и ε > 0 даны , то существует положительная вероятность того, что случайно выбранное вертикальное смещение приведет к приближению f с точностью ε .

Внутренность U может быть пустой, и в этом случае не требуется, чтобы f была голоморфной. Например, если мы возьмем U в качестве отрезка прямой, то непрерывная функция f : U → C будет кривой на комплексной плоскости, и мы увидим, что дзета-функция кодирует каждую возможную кривую (т. е. любую фигуру, которую можно нарисовать). не поднимая карандаша) с произвольной точностью на рассматриваемой полосе.

Сформулированная теорема применима только к областям U , содержащимся в полосе. Однако, если мы разрешим сдвиги и масштабирование, мы также сможем найти закодированные в дзета-функции приблизительные версии всех ненулевых голоморфных функций, определенных в других областях. В частности, поскольку дзета-функция сама по себе голоморфна, в ней закодированы ее версии в разных масштабах, что является отличительной чертой фрактала .

Удивительный характер теоремы можно резюмировать следующим образом: дзета-функция Римана содержит в себе «все возможные варианты поведения» и, таким образом, в некотором смысле «хаотична», однако это совершенно гладкая аналитическая функция с простым определением.

Эскиз доказательства

Схема доказательства представлена ​​в (Воронин и Карацуба, 1992). следует.Мы рассматриваем только случай, когда U — диск с центром 3/4:

$U=\{s\in \mathbb {C} :|s-3/4|<r\}\quad {\mbox{with}}\quad 0<r<1/4$

и мы будем утверждать, что каждая ненулевая голоморфная функция, определенная на U, может быть аппроксимирована ζ -функцией при вертикальном сдвиге этого множества.

Переходя к логарифму , достаточно показать, что для любой голоморфной функции g : U → C и любого ε > 0 существует вещественное число t такое, что

$\left|\ln \zeta (s+it)-g(s)\right|<\varepsilon \quad {\text{for all}}\quad s\in U.$

Сначала мы аппроксимируем g ( s ) логарифмом некоторых конечных произведений, напоминающим произведение Эйлера для ζ -функции:

$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1},$

где P обозначает множество всех простых чисел.

Если $\theta =(\theta _{p})_{p\in \mathbb {P} }$ — последовательность действительных чисел, по одному на каждое простое число p , а M — конечное множество простых чисел, мы полагаем

$\zeta _{M}(s,\theta )=\prod _{p\in M}\left(1-{\frac {e^{-2\pi i\theta _{p}}}{p^{s}}}\right)^{-1}.$

Рассмотрим конкретную последовательность

${\hat {\theta }}=\left({\frac {1}{4}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{4}},{\frac {5}{4}},\ldots \right)$

и утверждаем, что g ( s ) можно аппроксимировать функцией вида $\ln(\zeta _{M}(s,{\hat {\theta }}))$ для подходящего множества M простых чисел. Для доказательства этого утверждения используется пространство Бергмана , ошибочно названное пространством Харди в (Воронин и Карацуба, 1992): в H голоморфных функций, определенных в U — гильбертовом пространстве . Мы устанавливаем

$u_{k}(s)=\ln \left(1-{\frac {e^{-\pi ik/2}}{p_{k}^{s}}}\right)$

где p _k обозначает k -е простое число. Тогда можно показать, что ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}$

в условно сходится H , т.е. для каждого элемента v из H существует перестановка рядакоторый сходится в H к v . В этом аргументе используется теорема, которая обобщает теорему о рядах Римана на гильбертово пространство. Из-за связи между нормой в H и максимальным абсолютным значением функции мы можем затем аппроксимировать нашу заданную функцию g ( s ) начальным сегментом этого переставленного ряда, как это требуется.

По версии теоремы Кронекера , примененной к действительным числам ${\frac {\ln 2}{2\pi }},{\frac {\ln 3}{2\pi }},{\frac {\ln 5}{2\pi }},\ldots ,{\frac {\ln p_{N}}{2\pi }}$ (которые линейно независимы относительно рациональных чисел)мы можем найти действительные значения t так, чтобы $\ln(\zeta _{M}(s,{\hat {\theta }}))$ аппроксимируется $\ln(\zeta _{M}(s+it,0))$. Далее, для некоторых из этих значений t , $\ln(\zeta _{M}(s+it,0))$ приближает $\ln(\zeta (s+it))$, завершая доказательство.

Теорема сформулирована без доказательства в § 11.11 (Titchmarsh and Heath-Brown, 1986): второе издание монографии Титчмарша 1951 года; а более слабый результат дан в Thm. 11.9. Хотя теорема Воронина там не доказана, из нее вытекают два следствия:

1. Позволять ${\tfrac {1}{2}}<\sigma <1$ быть исправлено. Тогда кривая $$\gamma (t)=(\zeta (\sigma +it),\zeta '(\sigma +it),\dots ,\zeta ^{(n-1)}(\sigma +it))$$ плотный в $\mathbb {C} ^{n}.$
2. Позволять $\Phi$ — любая непрерывная функция, и пусть $h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}$ быть действительными константами.
   Затем $\zeta (s)$ не может удовлетворить дифференциально-разностное уравнение $$\Phi \{\zeta (s+h_{1}),\zeta '(s+h_{1}),\dots ,\zeta ^{(n_{1})}(s+h_{1}),\zeta (s+h_{2}),\zeta '(s+h_{2}),\dots ,\zeta ^{(n_{2})}(s+h_{2}),\dots \}=0$$ пока не $\Phi$ исчезает одинаково.

Эффективная универсальность

Некоторые недавние работы были сосредоточены на эффективной универсальности.В условиях, изложенных в начале статьи, существуют значения t , удовлетворяющие неравенству (1).Теорема эффективной универсальности устанавливает верхнюю границу наименьшего такого t .

Например, в 2003 году Гарункштис доказал, что если $f(s)$ является аналитическим в $|s|\leq .05$ с $\max _{\left|s\right|\leq .05}\left|f(s)\right|\leq 1$, то для любого ε из $0<\epsilon <1/2$, существует число $t$ в $0\leq t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})$ такой, что $$\max _{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log \zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon .$$Например, если $\epsilon =1/10$, то граница для t равна $t\leq \exp({\exp({10/\epsilon ^{13}})})=\exp({\exp({10^{14}})})$.

Оценки также можно получить для меры этих значений t через ε : $$\liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda \!\left(\left\{t\in [0,T]:\max _{\left|s\right|\leq .0001}\left|\log \zeta (s+{\frac {3}{4}}+it)-f(s)\right|<\epsilon \right\}\right)\geq {\frac {1}{\exp({\epsilon ^{-13}})}}.$$Например, если $\epsilon =1/10$, то правая часть равна $1/\exp({10^{13}})$.Видеть.

Универсальность других дзета-функций

Была проделана работа, показывающая, что универсальность распространяется и на дзета-функции Сельберга .

демонстрируют L-функции Дирихле не только универсальность, но и определенный вид совместной универсальности , которая позволяет аппроксимировать любой набор функций одним и тем же значением(ями) t в разных L -функциях, где каждая аппроксимируемая функция сочетается с другая L -функция.

Аналогичное свойство универсальности было показано для дзета-функции Лерха. $L(\lambda ,\alpha ,s)$, по крайней мере, когда параметр α является трансцендентным числом . Также было показано, что сечения дзета-функции Лерха имеют форму совместной универсальности.

Дальнейшее чтение

• Карацуба Анатолий А.; Воронин, С.М. (2011). Дзета-функция Римана . Выставки де Грюйтера по математике. Берлин: де Грюйтер. ISBN  978-3110131703 .
• Лауринчикас, Антанас (1996). Предельные теоремы для дзета-функции Римана . Математика и ее приложения. Том. 352. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-94-017-2091-5 . ISBN  978-90-481-4647-5 .
• Стейдинг, Йорн (2007). Распределение значений L-функций . Конспект лекций по математике. Том. 1877. Берлин: Шпрингер. п. 19 . arXiv : 1711.06671 . дои : 10.1007/978-3-540-44822-8 . ISBN  978-3-540-26526-9 .
• Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд: ISBN Oxford UP  0-19-853369-1 .

Внешние ссылки

• Теорема Воронина об универсальности , Мэтью Р. Уоткинс
• Рентгеновский снимок дзета-функции. Визуально ориентированное исследование того, где дзета реальна, а где чисто воображаема. Дает некоторое представление о том, насколько сложна критическая полоса.