Обращение ряда Дирихле

В аналитической теории чисел ряд Дирихле или производящая функция Дирихле (DGF) последовательности является распространенным способом понимания и суммирования арифметических функций осмысленного . Малоизвестный или, по крайней мере, часто забываемый способ выражения формул для арифметических функций и их суммирующих функций заключается в выполнении интегрального преобразования , обращающего операцию формирования ДФР последовательности. Это обращение аналогично выполнению обратного Z-преобразования производящей функции последовательности для выражения формул для коэффициентов ряда данной обычной производящей функции.

На данный момент мы будем использовать эту страницу как сборник «странностей» и часто забытых фактов о преобразовании и обращении рядов Дирихле, DGF, и связи инверсии DGF последовательности с суммирующей функцией последовательности. Мы также используем обозначения для извлечения коэффициентов, обычно применяемые к формальным производящим функциям от некоторой комплексной переменной, обозначая $[n^{-s}]D_{f}(s)=:f(n)$ для любого положительного целого числа $n\geq 1$, в любое время

$D_{f}(s):=\sum _{n\geq 0}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\quad \Re (s)>\sigma _{0,f},$

обозначает DGF (или ряд Дирихле ) функции f который считается абсолютно сходящимся всякий раз, когда действительная часть s , больше абсциссы абсолютной сходимости , $\sigma _{0,f}\in \mathbb {R}$.

Связь преобразования Меллина суммирующей функции последовательности с DGF последовательности дает нам способ выражения арифметических функций. $f(n)$ такой, что $f(1)\neq 0$и соответствующие Дирихле : обратные функции $f^{-1}(n)$, по формулам обращения, включающим суммирующую функцию, определяемую формулой

$S_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n),\quad \forall x\geq 1.$

В частности, при условии, что ДФГ некоторой арифметической функции f имеет аналитическое продолжение до $s\mapsto -s$, мы можем выразить преобразование Меллина суммирующей функции f с помощью продолженной формулы DGF как

${\mathcal {M}}[S_{f}](s)=-{\frac {D_{f}(-s)}{s}}.$

Часто также удобно выражать формулы для суммирующих функций над функцией Дирихле, обратной функции f, используя эту конструкцию задачи типа обращения Меллина.

Предварительные сведения: обозначения, соглашения и известные результаты по DGF.

DGF для обратных функций Дирихле

Напомним, что арифметическая функция обратима по Дирихле или имеет обратную функцию. $f^{-1}(n)$ относительно свертки Дирихле такой, что $(f\ast f^{-1})(n)=\delta _{n,1}$или эквивалентно $f\ast f^{-1}=\mu \ast 1\equiv \varepsilon$, тогда и только тогда, когда $f(1)\neq 0$. Нетрудно доказать, что это $D_{f}(s)$ является DGF функции f и абсолютно сходится для всех комплексов s, удовлетворяющих условию $\Re (s)>\sigma _{0,f}$, то ДГФ обратного Дирихле определяется выражением $D_{f^{-1}}(s)=1/D_{f}(s)$ а также абсолютно сходится для всех $\Re (s)>\sigma _{0,f}$. Позитивное реальное $\sigma _{0,f}$ связанная с каждой обратимой арифметической функцией f, называется абсциссой сходимости .

Мы также видим следующие тождества, связанные с обратной Дирихле некоторой функции g , не обращающейся в нуль в единице:

${\begin{aligned}(g^{-1}\ast \mu )(n)&=[n^{-s}]\left({\frac {1}{\zeta (s)D_{g}(s)}}\right)\\(g^{-1}\ast 1)(n)&=[n^{-s}]\left({\frac {\zeta (s)}{D_{g}(s)}}\right).\end{aligned}}$

Сумматорные функции

Используя то же соглашение при выражении результата формулы Перрона , мы предполагаем, что суммирующая функция (обратимой Дирихле) арифметической функции $f$, определяется для всех действительных $x\geq 0$ по формуле

$S_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n)={\begin{cases}0,&0\leq x<1\\\sum \limits _{n<[x]}f(n),&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ^{+}\wedge x\geq 1\\\sum \limits _{n\leq [x]}f(n)-{\frac {f(x)}{2}},&x\in \mathbb {Z} ^{+}.\end{cases}}$

Мы знаем следующую связь между преобразованием Меллина суммирующей функции f и DGF f всякий раз, когда $\Re (s)>\sigma _{0,f}$:

$D_{f}(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx.$

Некоторые примеры этого отношения включают следующие тождества, включающие функцию Мертенса или суммирующую функцию функции Мебиуса , простую дзета-функцию и функцию подсчета простых чисел Римана , а также функцию подсчета простых чисел :

${\begin{aligned}{\frac {1}{\zeta (s)}}&=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx\\P(s)&=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x^{s+1}}}dx\\\log \zeta (s)&=s\cdot \int _{0}^{\infty }{\frac {\Pi _{0}(x)}{x^{s+1}}}dx.\end{aligned}}$

Формулировки интегральной формулы обращения Дирихле

Классическая интегральная формула

Для любого s такого, что $\sigma :=\Re (s)>\sigma _{0,f}$, у нас это есть

$f(x)\equiv [x^{-s}]D_{f}(s)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}D_{f}(\sigma +\imath t)\,dt.$

Если мы запишем ДГФ f согласно формуле преобразования Меллина суммирующей функции f , то заявленная интегральная формула просто соответствует частному случаю формулы Перрона . Другой вариант предыдущей формулы, изложенный в книге Апостола, дает интегральную формулу для альтернативной суммы в следующем виде: $c,x>0$ и любой настоящий $\sigma >\sigma _{0,f}-c$ где мы обозначаем $\Re (s):=\sigma$:

${\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{c-\imath \infty }^{c+\imath \infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.$

Прямое доказательство: из книги Апостола.

1. Дайте определение ряда Дирихле. ${\textstyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ и связанные с ним частичные суммы ${\textstyle F(x)=\sum _{n=1}^{x}a_{n}}$.
2. Определите функцию ${\textstyle g(x)=\sum _{n=1}^{x}a_{n}\lfloor x/n\rfloor }$.
3. Используйте частичное суммирование, чтобы записать ${\textstyle F(x)=\int _{1}^{x}g(t)dt+a_{1}}$.
4. Примените формулу суммирования Эйлера – Маклорена, чтобы получить приближение для ${\textstyle F(x)}$ с точки зрения ${\textstyle g(x)}$ и его производные.
5. Выразите член ошибки в приближении как интеграл от некоторой функции ${\textstyle R(u)}$ за интервал ${\textstyle [1,x]}$.
6. Используйте формулу суммирования Абеля, чтобы выразить ${\textstyle g(x)}$ как сумму интегралов, включающих ${\textstyle f(s)}$ и его производные.
7. Выразите интегралы, включающие ${\textstyle f(s)}$ и его производные с точки зрения ${\textstyle R(u)}$ и его производные.
8. Подставьте результаты шагов 4, 5 и 7 в формулу шага 3 и упростите, чтобы получить классическую интегральную формулу для обращения Дирихле.

Это доказательство показывает, что функция ${\textstyle f(s)}$ может быть восстановлена ​​из связанного с ним ряда Дирихле с помощью интеграла, который известен как классическая интегральная формула обращения Дирихле.

Частные случаи формулы

нас интересует выражение формул для обратной функции Дирихле f Если , обозначаемой $f^{-1}(n)$ в любое время $f(1)\neq 0$, мы пишем $D_{f}(s)=1+s\cdot A_{f}(s)$. Тогда в силу абсолютной сходимости ФДФ для любого $\Re (s)>\sigma _{0,f}$ что

${\begin{aligned}\int {\frac {x^{\imath t}}{D_{f}(\sigma +\imath t)}}\,dt&=\int \left(\sum _{j\geq 0}(\sigma +\imath t)^{j}\times \sum _{k=0}^{j}(-1)^{k}D_{f}(\sigma +\imath t)^{k}{\frac {\log ^{j-k}(x)}{(j-k)!}}\right)\,dt.\end{aligned}}$

Теперь мы можем воспользоваться интегрированием по частям и убедиться, что если обозначить через $F^{(-m)}(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {F^{(n)}(0)}{n!}}x^{n+m}\times {\frac {n!}{(n+m)!}}$ обозначает $m^{th}$ первообразная F для любых фиксированных неотрицательных целых чисел $k\geq 0$, у нас есть

$\int (ax+b)^{k}\cdot F(ax+b)\,dx=\sum _{j=0}^{k}{\frac {k!}{a\cdot j!}}(-1)^{k-j}t^{j}F^{(j+1-k)}(ax+b).$

Таким образом, мы получаем, что

${\begin{aligned}\int _{-T}^{T}{\frac {x^{\imath t}}{D_{f}(\sigma +\imath t)}}\,dt&={\frac {1}{\imath }}\left(\sum _{j\geq 0}\sum _{k=0}^{j}\sum _{m=0}^{k}{\frac {k!}{m!}}(-1)^{m}(\sigma +\imath t)^{m}\left[D_{f}^{k}\right]^{(j+1-k)}(\sigma +\imath t){\frac {\log ^{j-k}(x)}{(j-k)!}}\right){\Biggr |}_{t=-T}^{t=+T}.\end{aligned}}$

Мы также можем связать повторные интегралы для $k^{th}$ первообразные F конечной суммой k одиночных интегралов степенных версий F :

$F^{(-k)}(x)=\sum _{i=0}^{k-1}{\binom {k-1}{i}}{\frac {(-1)^{i}}{(k-1)!}}\int {\frac {F(x)}{x^{i}}}\,dx.$

В свете этого расширения мы можем затем записать частично предельные интегралы обращения T -усеченного ряда Дирихле в виде

${\begin{aligned}{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}{\frac {x^{\imath t}}{D_{f}(\sigma +\imath t)}}\,dt&={\frac {1}{2T\cdot \imath }}\left(\sum _{j\geq 0}\sum _{k=0}^{j}\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{j-k}{\binom {j-k}{n}}{\frac {(-1)^{k+n+m}\cdot k!}{(j-k)!\cdot m!}}(\sigma +\imath t)^{m}{\frac {\log ^{j-k}(x)}{(j-k)!}}\int _{0}^{\sigma +\imath t}\left[A_{f}^{k}\right](v){\frac {dv}{v^{n}}}\right){\Biggr |}_{t=-T}^{t=+T}\\&={\frac {1}{2T\cdot \imath }}\left(\sum _{j\geq 0}\sum _{k=0}^{j}\sum _{m=0}^{k}{\frac {(-1)^{j-k}\cdot (-s)^{m}}{m!}}{\frac {\log ^{k}(x)}{k!}}\int _{0}^{1}s\cdot D_{f}^{j-k}(rs)\left(1-{\frac {1}{rs}}\right)^{k}\,dv\right){\Biggr |}_{s=\sigma -\imath T}^{s=\sigma +\imath T}\\&={\frac {s\left(e^{-s}+O_{s}(1)\right)}{2T\cdot \imath }}\int _{0}^{1}{\frac {x^{1-{\frac {1}{rs}}}}{1+D_{f}(rs)}}dr{\Biggr |}_{s=\sigma -\imath T}^{s=\sigma +\imath T}\\&={\frac {\left(e^{-s}+O_{s}(1)\right)}{2T\cdot \imath }}\int _{0}^{s}{\frac {x^{1-{\frac {1}{v}}}}{1+D_{f}(v)}}\,dv{\Biggr |}_{s=\sigma -\imath T}^{s=\sigma +\imath T}.\end{aligned}}$

Высказывания на языке преобразований Меллина

• Производящая функция Дирихле последовательности $a(n)$ представляет собой преобразование Меллина последовательности, оцениваемое при $s=1$: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nx}\right)dx={\mathcal {M}}{a_{n}}(s)}$.
• Обратная последовательность Дирихле $a(n)$ связано с обратным преобразованием Меллина его производящей функции: ${\textstyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {\mu (m)}{m^{s}}}{\mathcal {M}}{a_{n}}(s)}{n^{s}}}ds}$, где $c$ - действительное число, большее абсциссы сходимости ряда Дирихле. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}/n^{s}}$.
• Преобразование Меллина свертки двух последовательностей $a(n)$ и $b(n)$ является продуктом их преобразований Меллина: ${\textstyle {\mathcal {M}}{(a*b)_{n}}(s)={\mathcal {M}}{a_{n}}(s){\mathcal {M}}{b_{n}}(s)}$.
• Если $a(n)$ представляет собой последовательность и $f(x)$ — такая функция, что интеграл ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x^{s+1}}}dx}$ сходится абсолютно и равномерно для $s$ в некоторой правой полуплоскости, то мы можем определить ряд Дирихле формулой ${\textstyle a_{n}={\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }f(x)e^{-nx}dx}$, а ряд Дирихле представляет собой преобразование Меллина $f(x)$.

Формальная лемма о свертке, подобная производящей функции

Предположим, что мы хотим рассмотреть интегральную формулу для обращения коэффициентов Дирихле в степенях $(\imath t)^{k}$ где $[(\imath t)^{k}]F(\sigma +\imath t)=F^{(k)})(\sigma )/k!$, а затем действуйте так, как если бы мы вычисляли традиционный интеграл на действительной прямой. Тогда у нас есть это

${\begin{aligned}{\hat {D}}_{f}(x;\sigma ,T)&:=\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}D_{f}(\sigma +\imath t)\,dt\\&=\sum _{m\geq 0}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +\imath t}(\imath t)^{m}{\frac {D_{f}^{(m)}(\sigma )}{m!}}\\&=\sum _{m\geq 0}\int _{-T}^{T}t^{2m}x^{\sigma +\imath t}{\frac {(-1)^{m}D_{f}^{(2m)}(\sigma )}{(2m)!}}\,dt+\imath \times \sum _{m\geq 0}\int _{-T}^{T}t^{2m+1}x^{\sigma +\imath t}{\frac {(-1)^{m}A^{(2m+1)}(\sigma )}{(2m+1)!}}\,dt.\end{aligned}}$

Нам нужен результат, даваемый следующей формулой, которая строго доказывается применением интегрирования по частям для любого неотрицательного целого числа $m\geq 0$:

${\begin{aligned}{\hat {I}}_{m}(T)&:=\int _{-T}^{T}{\frac {(\imath t)^{m}}{m!}}x^{\imath t}\,dt\\&=\sum _{r=0}^{m}{\frac {\left(x^{\imath T}+(-1)^{r+1}x^{-\imath T}\right)(-\imath )^{r+1}}{\log ^{k+1-r}(x)}}\cdot {\frac {T^{r}}{r!}}\\&={\frac {\cos(T\log x)}{T\log x}}\times \sum _{r=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {(-1)^{r+1}T^{2r}}{\log ^{k-2r}(x)(2r)!}}+{\frac {\sin(T\log x)}{T\log x}}\times \sum _{r=0}^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {(-1)^{r+1}T^{2r+1}}{\log ^{k-2r-1}(x)(2r+1)!}}.\end{aligned}}$

Таким образом, соответствующие действительные и мнимые части наших арифметической функции коэффициентов f при положительных целых числах x удовлетворяют:

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (f(x))&=x^{\sigma }\times \lim _{T\rightarrow \infty }\sum _{m\geq 0}D_{f}^{(2m)}(\sigma )\cdot {\frac {{\hat {I}}_{2m}(T)}{2T}}\\\operatorname {Im} (f(x))&=x^{\sigma }\times \lim _{T\rightarrow \infty }\sum _{m\geq 0}D_{f}^{(2m+1)}(\sigma )\cdot {\frac {{\hat {I}}_{2m+1}(T)}{2T}}.\end{aligned}}$

Последние тождества предполагают применение формулы произведения Адамара для производящих функций . В частности, мы можем вывести следующие тождества, которые выражают действительную и мнимую части нашей функции f в точке x в следующих формах:

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (f(x))&=\lim _{T\rightarrow \infty }\left[{\frac {x^{\sigma }}{2T}}\times {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(D_{f}(\sigma +\imath T\cdot e^{\imath s})+D_{f}(\sigma -\imath Te^{\imath s})\right)\left(FUNC(e^{-\imath s})\right)\,ds\right]\\\operatorname {Im} (f(x))&=\lim _{T\rightarrow \infty }\left[{\frac {x^{\sigma }}{2T}}\times {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(D_{f}(\sigma +\imath T\cdot e^{\imath s})-D_{f}(\sigma -\imath Te^{\imath s}\right)()\,ds\right].\end{aligned}}$

Обратите внимание, что в частном случае, когда арифметическая функция f имеет строго вещественное значение, мы ожидаем, что внутренние члены в предыдущей предельной формуле всегда равны нулю (т. е. для любого T ).

См. также

• Серия Дирихле
• Свертка Дирихле
• Обратный Дирихле
• Арифметическая функция
• Мультипликативная функция
• Производящая функция Дирихле (ДГФ)

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001