Формула Перрона

В математике , и, в частности, в аналитической теории чисел , формула Перрона — это формула, предложенная Оскаром Перроном для вычисления суммы арифметической функции посредством обратного преобразования Меллина .

Заявление

Позволять $\{a(n)\}$ — арифметическая функция , и пусть

$g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}$

— соответствующий ряд Дирихле . Предположим, что ряд Дирихле сходится равномерно при $\Re (s)>\sigma$. Тогда формула Перрона будет

$A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}\,dz.$

Здесь штрих в сумме указывает на то, что последний член суммы необходимо умножить на 1/2, если x — целое число . Интеграл не является сходящимся интегралом Лебега ; оно понимается как главное значение Коши . Формула требует, чтобы c > 0, c > σ и x > 0.

Доказательство

Простая схема доказательства основана на формуле суммы Абеля.

$g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.$

Это не что иное, как преобразование Лапласа при изменении переменной $x=e^{t}.$ Инвертируя ее, получаем формулу Перрона.

Примеры

Из-за своей общей связи с рядом Дирихле эта формула обычно применяется ко многим теоретико-числовым суммам. Так, например, имеется знаменитое интегральное представление дзета -функции Римана :

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx$

и аналогичная формула для Дирихле L -функций :

$L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx$

где

$A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)$

и $\chi (n)$ — персонаж Дирихле . Другие примеры появляются в статьях о функции Мертенса и функции фон Мангольдта .

Обобщения

Формула Перрона — это всего лишь частный случай дискретной свертки Меллина.

$\sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds$

где

$G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}$

и

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx$

преобразование Меллина. Формула Перрона — это всего лишь частный случай пробной функции. $f(1/x)=\theta (x-1),$ для $\theta (x)$ ступенчатая функция Хевисайда .

Ссылки

• Страница 243 из Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Перрона» . Математический мир .
• Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 46. ​​Перевод CB Thomas. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-41261-7 . Збл   0831.11001 .