Средняя трансформация

В математике преобразование Меллина — это интегральное преобразование , которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа . Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и является часто используется в теории чисел , математической статистике и теории асимптотических разложений ; оно тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье , а также теорией гамма-функции и родственных ей специальных функций .

Преобразование Меллина комплекснозначной функции f, определенной на $\mathbf {R} _{+}^{\times }=(0,\infty )$это функция ${\mathcal {M}}f$ комплексной переменной $s$ задано (там, где оно существует, см. Фундаментальную полосу ниже) $$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\int _{\mathbf {R} _{+}^{\times }}f(x)x^{s}{\frac {dx}{x}}.$$ Обратите внимание, что $dx/x$ является мерой Хаара на мультипликативной группе $\mathbf {R} _{+}^{\times }$ и $x\mapsto x^{s}$ является (вообще говоря, неунитарным) мультипликативным характером . Обратное преобразование $$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.$$ Обозначение подразумевает, что это линейный интеграл, взятый по вертикальной линии на комплексной плоскости, чья действительная часть c должна удовлетворять только мягкой нижней границе. Условия, при которых справедливо это обращение, приведены в теореме об обращении Меллина .

Преобразование названо в честь финского математика Ялмара Меллина , который представил его в статье, опубликованной в 1897 году в Acta Societatis Scientiarum Fennicæ.

Связь с другими преобразованиями

можно Двустороннее преобразование Лапласа определить через преобразование Меллина следующим образом: $$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$$ и наоборот, мы можем получить преобразование Меллина из двустороннего преобразования Лапласа с помощью $$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).$$

Преобразование Меллина можно рассматривать как интегрирование с использованием ядра x ^с относительно мультипликативной меры Хаара ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$, который инвариантен относительно расширения $x\mapsto ax$, так что ${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$ двустороннее преобразование Лапласа интегрируется по аддитивной мере Хаара $dx$, который является инвариантом трансляции, так что $d(x+a)=dx$.

Мы также можем определить преобразование Фурье через преобразование Меллина и наоборот; в терминах преобразования Меллина и двустороннего преобразования Лапласа, определенного выше $$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .$$ Мы также можем обратить процесс вспять и получить $$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .$$

Преобразование Меллина также соединяет ряд Ньютона или биномиальное преобразование вместе с производящей функцией Пуассона посредством цикла Пуассона-Меллина-Ньютона .

Преобразование Меллина можно также рассматривать как преобразование Гельфанда для алгебры свертки положительных локально компактной абелевой группы действительных чисел с умножением.

Примеры

Интеграл Каэна – Меллина

Преобразование Меллина функции $f(x)=e^{-x}$ является $$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx$$ где $\Gamma (s)$ это гамма-функция . $\Gamma (s)$ — мероморфная функция с простыми полюсами в точках $z=0,-1,-2,\dots$. Поэтому, $\Gamma (s)$ является аналитическим для $\Re (s)>0$. Таким образом, позволив $c>0$ и $z^{-s}$ на главной ветви обратное преобразование дает $$e^{-z}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)z^{-s}\;ds.$$

Этот интеграл известен как интеграл Каэна – Меллина.

Полиномиальные функции

С ${\textstyle \int _{0}^{\infty }x^{a}dx}$ не сходится ни при каких значениях $a\in \mathbb {R}$, преобразование Меллина не определено для полиномиальных функций, определенных на всей положительной вещественной оси. Однако, определив его равным нулю на разных участках действительной оси, можно использовать преобразование Меллина. Например, если $$f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\0&x>1,\end{cases}}$$ затем $${\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{1}x^{s-1}x^{a}dx=\int _{0}^{1}x^{s+a-1}dx={\frac {1}{s+a}}.$$

Таким образом ${\mathcal {M}}f(s)$ имеет простой полюс в $s=-a$ и, таким образом, определяется для $\Re (s)>-a$. Аналогично, если $$f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}$$ затем $${\mathcal {M}}f(s)=\int _{1}^{\infty }x^{s-1}x^{b}dx=\int _{1}^{\infty }x^{s+b-1}dx=-{\frac {1}{s+b}}.$$ Таким образом ${\mathcal {M}}f(s)$ имеет простой полюс в $s=-b$ и, таким образом, определяется для $\Re (s)<-b$.

Экспоненциальные функции

Для $p>0$, позволять $f(x)=e^{-px}$. Затем $${\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-px}{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{p}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\Gamma (s).$$

Дзета-функция

Можно использовать преобразование Меллина для получения одной из фундаментальных формул для дзета-функции Римана : $\zeta (s)$. Позволять ${\textstyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}}$. Затем $${\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\Gamma (s)=\Gamma (s)\zeta (s).$$ Таким образом, $$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx.$$

Обобщенный гауссиан

Для $p>0$, позволять $f(x)=e^{-x^{p}}$ (т.е. $f$ является обобщенным распределением Гаусса без масштабного коэффициента.) Тогда $${\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{p})^{s/p-1}e^{-x^{p}}dx={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }u^{s/p-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s/p)}{p}}.$$ В частности, установка $s=1$ восстанавливает следующую форму гамма-функции $$\Gamma \left(1+{\frac {1}{p}}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{p}}dx.$$

Степенной ряд и ряд Дирихле.

В общем случае, предполагая необходимую сходимость, мы можем соединить ряд Дирихле и связанные с ним степенные ряды. $$F(s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\quad f(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$$ по формальному тождеству, включающему преобразование Меллина: $$\Gamma (s)F(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(e^{-x})dx$$

Фундаментальная полоса

Для $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$, пусть открытая полоса $\langle \alpha ,\beta \rangle$ определяться как все $s\in \mathbb {C}$ такой, что $s=\sigma +it$ с $\alpha <\sigma <\beta .$ Основная полоса ​ ${\mathcal {M}}f(s)$ определяется как самая большая открытая полоса, на которой он определен. Например, для $a>b$ основная полоса $$f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}$$ является $\langle -a,-b\rangle .$ Как видно из этого примера, асимптотика функции как $x\to 0^{+}$ определим левый конец ее фундаментальной полосы и асимптотику функции как $x\to +\infty$ определите его правую конечную точку. Подводя итог, используя обозначение Big O , если $f$ является $O(x^{a})$ как $x\to 0^{+}$ и $O(x^{b})$ как $x\to +\infty ,$ затем ${\mathcal {M}}f(s)$ определяется в полосе $\langle -a,-b\rangle .$

Применение этого можно увидеть в гамма-функции, $\Gamma (s).$ С $f(x)=e^{-x}$ является $O(x^{0})$ как $x\to 0^{+}$ и $O(x^{k})$ для всех $k,$ затем $\Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)$ должно быть определено в полосе $\langle 0,+\infty \rangle ,$ что подтверждает это $\Gamma (s)$ является аналитическим для $\Re (s)>0.$

Характеристики

Свойства в этой таблице можно найти у Брейсвелла (2000) и Эрдели (1954) .

Свойства преобразования Меллина

Функция	Средняя трансформация	Фундаментальная полоса	Комментарии
$f(x)$	${\tilde {f}}(s)=\{{\mathcal {M}}f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}{\frac {dx}{x}}$	$\alpha <\Re s<\beta$	Определение
$x^{\nu }\,f(x)$	${\tilde {f}}(s+\nu )$	$\alpha -\Re \nu <\Re s<\beta -\Re \nu$
$f(x^{\nu })$	${\frac {1}{|\nu |}}\,{\tilde {f}}\left({\frac {s}{\nu }}\right)$	$\alpha <\nu ^{-1}\,\Re s<\beta$	$\nu \in \mathbb {R} ,\;\nu \neq 0$
$f(x^{-1})$	${\tilde {f}}(-s)$	$-\beta <\Re s<-\alpha$
$x^{-1}\,f(x^{-1})$	${\tilde {f}}(1-s)$	$1-\beta <\Re s<1-\alpha$	Инволюция
${\overline {f(x)}}$	${\overline {{\tilde {f}}({\overline {s}})}}$	$\alpha <\Re s<\beta$	Здесь ${\overline {z}}$ обозначает комплексно-сопряженное число $z$.
$f(\nu x)$	$\nu ^{-s}{\tilde {f}}(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$\nu >0$, Масштабирование
$f(x)\,\ln x$	${\tilde {f}}'(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
$f'(x)$	$-(s-1)\,{\tilde {f}}(s-1)$	$\alpha +1<\Re s<\beta +1$	Сдвиг области является условным и требует оценки конкретного поведения сходимости.
$\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,f(x)$	$(-1)^{n}\,{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-n)}}{\tilde {f}}(s-n)$	$\alpha +n<\Re s<\beta +n$
$x\,f'(x)$	$-s\,{\tilde {f}}(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
$\left(x\,{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,f(x)$	$(-s)^{n}{\tilde {f}}(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
$\left({\frac {d}{dx}}\,x\right)^{n}\,f(x)$	$(1-s)^{n}{\tilde {f}}(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
$\int _{0}^{x}f(y)\,dy$	$-s^{-1}\,{\tilde {f}}(s+1)$	$\alpha -1<\Re s<\min(\beta -1,0)$	Действительно только в том случае, если интеграл существует.
$\int _{x}^{\infty }f(y)\,dy$	$s^{-1}\,{\tilde {f}}(s+1)$	$\max(\alpha -1,0)<\Re s<\beta -1$	Действительно только в том случае, если интеграл существует.
$\int _{0}^{\infty }f_{1}\left({\frac {x}{y}}\right)\,f_{2}(y)\,{\frac {dy}{y}}$	${\tilde {f}}_{1}(s)\,{\tilde {f}}_{2}(s)$	$\max(\alpha _{1},\alpha _{2})<\Re s<\min(\beta _{1},\beta _{2})$	Мультипликативная свертка
$x^{\mu }\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\,f_{1}\left({\frac {x}{y}}\right)\,f_{2}(y)\,dy$	${\tilde {f}}_{1}(s+\mu )\,{\tilde {f}}_{2}(s+\mu +\nu +1)$		Мультипликативная свертка (обобщенная)
$x^{\mu }\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\,f_{1}(x\,y)\,f_{2}(y)\,dy$	${\tilde {f}}_{1}(s+\mu )\,{\tilde {f}}_{2}(1-s-\mu +\nu )$		Мультипликативная свертка (обобщенная)
$f_{1}(x)\,f_{2}(x)$	${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f}}_{1}(r)\,{\tilde {f}}_{2}(s-r)\,dr$	${\begin{aligned}\alpha _{2}+c&<\Re s<\beta _{2}+c\\\alpha _{1}&<c<\beta _{1}\end{aligned}}$	Умножение. Действительно только в том случае, если существует интеграл. Условия, обеспечивающие существование интеграла, см. в теореме Парсеваля ниже.

Теорема Парсеваля и теорема Планшереля.

Позволять $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ быть функциями с четко определенными Меллин трансформируется ${\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)$ в основных полосах $\alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}$. Позволять $c\in \mathbb {R}$ с $\max(\alpha _{1},1-\beta _{2})<c<\min(\beta _{1},1-\alpha _{2})$. Если функции $x^{c-1/2}\,f_{1}(x)$ и $x^{1/2-c}\,f_{2}(x)$ также интегрируемы с квадратом на интервале $(0,\infty )$, то справедлива формула Парсеваля : $$\int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(1-s)\,ds$$ Интегрирование в правой части выполняется по вертикальной линии. $\Re r=c$ что полностью лежит в пределах перекрытия (подходящих трансформированных) фундаментальных полос.

Мы можем заменить $f_{2}(x)$ к $f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}$. Это дает следующую альтернативную форму теоремы: Позволять $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ быть функциями с четко определенными Меллин трансформируется ${\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)$ в основных полосах $\alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}$. Позволять $c\in \mathbb {R}$ с $\alpha _{1}<c<\beta _{1}$ и выбирать $s_{0}\in \mathbb {C}$ с $\alpha _{2}<\Re s_{0}-c<\beta _{2}$. Если функции $x^{c-1/2}\,f_{1}(x)$ и $x^{s_{0}-c-1/2}\,f_{2}(x)$ также интегрируемы с квадратом на интервале $(0,\infty )$, тогда мы имеем $$\int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(s_{0}-s)\,ds$$ Мы можем заменить $f_{2}(x)$ к ${\overline {f_{1}(x)}}$. Это дает следующую теорему: Позволять $f(x)$ быть функцией с четко определенным преобразованием Меллина ${\tilde {f}}(s)={\mathcal {M}}\{f\}(s)$ в основной полосе $\alpha <\Re s<\beta$. Позволять $c\in \mathbb {R}$ с $\alpha <c<\beta$. Если функция $x^{c-1/2}\,f(x)$ также интегрируемо с квадратом на интервале $(0,\infty )$, то теорема Планшереля : справедлива $$\int _{0}^{\infty }|f(x)|^{2}\,x^{2c-1}dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {f}}(c+it)|^{2}\,dt$$

Как изометрия на L ² пространства

При изучении гильбертовых пространств преобразование Меллина часто ставится несколько иначе. Для функций в $L^{2}(0,\infty )$ (см. пространство Lp ) фундаментальная полоса всегда включает в себя ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$, поэтому мы можем определить линейный оператор ${\tilde {\mathcal {M}}}$ как $${\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),$$ $$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.$$ Другими словами, мы установили $$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).$$ Этот оператор обычно обозначается просто ${\mathcal {M}}$ и назван «преобразованием Меллина», но ${\tilde {\mathcal {M}}}$ используется здесь для отличия от определения, используемого в других частях этой статьи. Теорема об обращении Меллина показывает, что ${\tilde {\mathcal {M}}}$ обратим с обратным $${\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),$$ $$\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.$$ Более того, этот оператор является изометрией , т. е. $\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}$ для всех $f\in L^{2}(0,\infty )$ (это объясняет, почему фактор $1/{\sqrt {2\pi }}$ был использован).

В теории вероятностей

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом при изучении распределения произведений случайных величин. Если X — случайная величина, и X ⁺ = max{ X ,0 } обозначает его положительную часть, а X ⁻ = max{− X ,0 } — его отрицательная часть, то преобразование Меллина X определяется как $${\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),$$ где γ — формальная неопределенность с γ ² = 1 . Это преобразование существует для всех s в некоторой комплексной полосе D = { s : a ⩽ Re( s ) ⩽ b } , где a ⩽ 0 ⩽ b .

Преобразование Меллина ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ случайной величины X однозначно определяет ее функцию распределения F _X . Важность преобразования Меллина в теории вероятностей заключается в том, что если X и Y — две независимые случайные величины, то преобразование Меллина их произведения равно произведению преобразований Меллина X и Y : $${\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)$$

Проблемы с лапласианом в цилиндрической системе координат

В лапласиане в цилиндрических координатах в общем измерении (ортогональные координаты с одним углом и одним радиусом и остальными длинами) всегда присутствует член: $${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}$$

Например, в двумерных полярных координатах лапласиан равен: $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}$$ а в трехмерных цилиндрических координатах лапласиан равен: $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$$

Этот член можно рассматривать с помощью преобразования Меллина: с: $${\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F$$

Например, двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах представляет собой УЧП с двумя переменными: $$r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0$$ и путем умножения: $${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0$$ с преобразованием Меллина по радиусу становится простым гармоническим осциллятором : $$F_{\theta \theta }+s^{2}F=0$$ с общим решением: $$F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )$$

Теперь давайте, например, наложим некоторые простые граничные условия на исходное уравнение Лапласа: $$f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)$$ они особенно просты для преобразования Меллина и становятся: $$F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)$$

Эти условия, налагаемые на решение, конкретизируют его: $$F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}$$

Теперь по теореме о свертке для преобразования Меллина решение в области Меллина можно инвертировать: $$f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right)x^{m-1}\,dx$$ где использовалось следующее обратное соотношение преобразования: $${\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}$$ где $m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}$.

Приложения

Преобразование Меллина широко используется в информатике для анализа алгоритмов. из-за его свойства масштабной инвариантности . Величина преобразования Меллина масштабированной функции идентична величине исходной функции для чисто мнимых входных данных. Это свойство масштабной инвариантности аналогично свойству сдвиговой инвариантности преобразования Фурье. Величина преобразования Фурье сдвинутой по времени функции идентична величине преобразования Фурье исходной функции.

Это свойство полезно при распознавании изображений . Изображение объекта легко масштабируется, когда объект перемещается к камере или от нее.

В квантовой механике и особенно в теории поля квантовой пространство Фурье чрезвычайно полезно и широко используется, поскольку импульс и положение являются преобразованиями Фурье друг друга (например, диаграммы Фейнмана гораздо легче вычисляются в импульсном пространстве). В 2011 году А. Лиам Фицпатрик , Джаред Каплан , Жоао Пенедонес , Суврат Раджу и Балт К. ван Рис показали, что пространство Меллина выполняет аналогичную роль в контексте переписки AdS/CFT .

Примеры

• Формула Перрона описывает обратное преобразование Меллина, примененное к ряду Дирихле .
• Преобразование Меллина используется при анализе функции подсчета простых чисел и встречается при обсуждении дзета-функции Римана .
• Обратные преобразования Меллина обычно происходят в средних значениях Рисса .
• Преобразование Меллина можно использовать для модификации высоты звука по временной шкале. .

Таблица избранных преобразований Меллина

Следующий список интересных примеров преобразования Меллина можно найти у Брейсвелла (2000) и Эрдели (1954) :

Избранные преобразования Меллина

Функция $f(x)$	Средняя трансформация ${\tilde {f}}(s)={\mathcal {M}}\{f\}(s)$	Область конвергенции	Комментарий
$e^{-x}$	$\Gamma (s)$	$0<\Re s<\infty$
$e^{-x}-1$	$\Gamma (s)$	$-1<\Re s<0$
$e^{-x}-1+x$	$\Gamma (s)$	$-2<\Re s<-1$	И вообще $\Gamma (s)$ представляет собой преобразование Меллина $e^{-x}-\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}x^{n},$ для $-N<\Re s<-N+1$
$e^{-x^{2}}$	${\tfrac {1}{2}}\Gamma ({\tfrac {1}{2}}s)$	$0<\Re s<\infty$
$\mathrm {erfc} (x)$	${\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(1+s))}{{\sqrt {\pi }}\;s}}$	$0<\Re s<\infty$
$e^{-(\ln x)^{2}}$	${\sqrt {\pi }}\,e^{{\tfrac {1}{4}}s^{2}}$	$-\infty <\Re s<\infty$
$\delta (x-a)$	$a^{s-1}$	$-\infty <\Re s<\infty$	$a>0,\;\delta (x)$ – дельта-функция Дирака .
$u(1-x)=\left\{{\begin{aligned}&1&&\;{\text{if}}\;0<x<1&\\&0&&\;{\text{if}}\;1<x<\infty &\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s}}$	$0<\Re s<\infty$	$u(x)$ это ступенчатая функция Хевисайда
$-u(x-1)=\left\{{\begin{aligned}&0&&\;{\text{if}}\;0<x<1&\\&-1&&\;{\text{if}}\;1<x<\infty &\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s}}$	$-\infty <\Re s<0$
$u(1-x)\,x^{a}=\left\{{\begin{aligned}&x^{a}&&\;{\text{if}}\;0<x<1&\\&0&&\;{\text{if}}\;1<x<\infty &\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s+a}}$	$-\Re a<\Re s<\infty$
$-u(x-1)\,x^{a}=\left\{{\begin{aligned}&0&&\;{\text{if}}\;0<x<1&\\&-x^{a}&&\;{\text{if}}\;1<x<\infty &\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s+a}}$	$-\infty <\Re s<-\Re a$
$u(1-x)\,x^{a}\ln x=\left\{{\begin{aligned}&x^{a}\ln x&&\;{\text{if}}\;0<x<1&\\&0&&\;{\text{if}}\;1<x<\infty &\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{(s+a)^{2}}}$	$-\Re a<\Re s<\infty$
$-u(x-1)\,x^{a}\ln x=\left\{{\begin{aligned}&0&&\;{\text{if}}\;0<x<1&\\&-x^{a}\ln x&&\;{\text{if}}\;1<x<\infty &\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{(s+a)^{2}}}$	$-\infty <\Re s<-\Re a$
${\frac {1}{1+x}}$	${\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}$	$0<\Re s<1$
${\frac {1}{1-x}}$	${\frac {\pi }{\tan(\pi s)}}$	$0<\Re s<1$
${\frac {1}{1+x^{2}}}$	${\frac {\pi }{2\sin({\tfrac {1}{2}}\pi s)}}$	$0<\Re s<2$
$\ln(1+x)$	${\frac {\pi }{s\,\sin(\pi s)}}$	$-1<\Re s<0$
$\sin(x)$	$\sin({\tfrac {1}{2}}\pi s)\,\Gamma (s)$	$-1<\Re s<1$
$\cos(x)$	$\cos({\tfrac {1}{2}}\pi s)\,\Gamma (s)$	$0<\Re s<1$
$e^{ix}$	$e^{i\pi s/2}\,\Gamma (s)$	$0<\Re s<1$
$J_{0}(x)$	${\frac {2^{s-1}}{\pi }}\,\sin(\pi s/2)\,\left[\Gamma (s/2)\right]^{2}$	$0<\Re s<{\tfrac {3}{2}}$	$J_{0}(x)$ – функция Бесселя первого рода.
$Y_{0}(x)$	$-{\frac {2^{s-1}}{\pi }}\,\cos(\pi s/2)\,\left[\Gamma (s/2)\right]^{2}$	$0<\Re s<{\tfrac {3}{2}}$	$Y_{0}(x)$ — функция Бесселя второго рода
$K_{0}(x)$	$2^{s-2}\,\left[\Gamma (s/2)\right]^{2}$	$0<\Re s<\infty$	$K_{0}(x)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода

См. также

• Средняя теорема обращения
• Формула Перрона
• Основная теорема Рамануджана

Ссылки

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4200-1091-6 .
• Галамбос, Янош; Симонелли, Итало (2004). Произведения случайных величин: приложения к задачам физики и арифметическим функциям . Марсель Деккер, Inc. ISBN  0-8247-5402-6 .
• Париж, РБ; Камински, Д. (2001). Асимптотика и интегралы Меллина-Барнса . Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521790017 .
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998). Справочник интегральных уравнений . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  0-8493-2876-4 .
• Брейсвелл, Рональд Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.).
• Эрдели, Артур (1954). Таблицы интегральных преобразований . Том. 1. МакГроу-Хилл.
• Титчмарш, ЕС (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.).
• Флажоле, П.; Гурдон, X.; Дюма, П. (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: гармонические суммы» (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 3–58. дои : 10.1016/0304-3975(95)00002-е .
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• «Преобразование Меллина» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Меллина» . Математический мир .
• Некоторые применения преобразования Меллина в статистике ( статья )

Внешние ссылки

• Филипп Флажоле, Ксавье Гурдон, Филипп Дюма, Преобразования Меллина и асимптотика: гармонические суммы.
• Антонио Гонсалес, Марко Ридель Празднование классики , группа новостей es.ciencia.mathematicas
• Хуан Сакердоти, Эйлеровы функции (на испанском языке).
• Методы преобразования Меллина , Цифровая библиотека математических функций , 29 августа 2011 г., Национальный институт стандартов и технологий
• Антонио Де Сена и Давиде Рокессо, БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В DAFX