Узловое разложение

В теории категорий , абстрактной математической дисциплине, узловое разложение. ^[1] морфизма $\varphi :X\to Y$ является представлением $\varphi$ как продукт $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$ , где $\pi$ является сильным эпиморфизмом , ^[2]^[3]^[4] $\beta$ биморфизм и $\sigma$ сильный мономорфизм . ^[5]^[3]^[4]

и обозначения Уникальность

Если оно существует, то узловое разложение единственно с точностью до изоморфизма в следующем смысле: для любых двух узловых разложений $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$ и $\varphi =\sigma '\circ \beta '\circ \pi '$ существуют изоморфизмы $\eta$ и $\theta$ такой, что

\pi '=\eta \circ \pi ,

\beta =\theta \circ \beta '\circ \eta ,

\sigma '=\sigma \circ \theta .

Это свойство оправдывает некоторые специальные обозначения для элементов узлового разложения:

{\begin{aligned}&\pi =\operatorname {coim} _{\infty }\varphi ,&&P=\operatorname {Coim} _{\infty }\varphi ,\\&\beta =\operatorname {red} _{\infty }\varphi ,&&\\&\sigma =\operatorname {im} _{\infty }\varphi ,&&Q=\operatorname {Im} _{\infty }\varphi ,\end{aligned}}

- здесь $\operatorname {coim} _{\infty }\varphi$ и $\operatorname {Coim} _{\infty }\varphi$ называются узловым кообразом $\varphi$ , $\operatorname {im} _{\infty }\varphi$ и $\operatorname {Im} _{\infty }\varphi$ узловое изображение $\varphi$ , и $\operatorname {red} _{\infty }\varphi$ узловая редуцированная часть $\varphi$ .

В этих обозначениях узловое разложение принимает вид

\varphi =\operatorname {im} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {coim} _{\infty }\varphi .

в доабелевых категориях с основным разложением Связь

В доабелевой категории ${\mathcal {K}}$ каждый морфизм $\varphi$ имеет стандартное разложение

\varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi

,

называемое базовым разложением (здесь $\operatorname {im} \varphi =\ker(\operatorname {coker} \varphi )$ , $\operatorname {coim} \varphi =\operatorname {coker} (\ker \varphi )$ , и $\operatorname {red} \varphi$ являются соответственно образом, кообразом и приведенной частью морфизма $\varphi$ ).

Если морфизм $\varphi$ в доабелевой категории ${\mathcal {K}}$ имеет узловое разложение, то существуют морфизмы $\eta$ и $\theta$ которые (не обязательно изоморфизмы) связывают узловое разложение с базовым разложением следующими тождествами:

\operatorname {coim} _{\infty }\varphi =\eta \circ \operatorname {coim} \varphi ,

\operatorname {red} \varphi =\theta \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \eta ,

\operatorname {im} _{\infty }\varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \theta .

Категории с узловой декомпозицией [ править ]

Категория ${\mathcal {K}}$ называется категорией с узловым разложением ^[1] если каждый морфизм $\varphi$ имеет узловое разложение в ${\mathcal {K}}$ . Это свойство играет важную роль при построении огибающих и уточнениях в ${\mathcal {K}}$ .

В абелевой категории ${\mathcal {K}}$ базовое разложение

\varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi

всегда является узловым. Как следствие, все абелевы категории имеют узловое разложение .

Если предабелева категория ${\mathcal {K}}$ линейно полно, ^[6] хорошо развит в сильных мономорфизмах ^[7] и хорошо развит в сильных эпиморфизмах, ^[8] затем ${\mathcal {K}}$ имеет узловое разложение. ^[9]

В более общем смысле, предположим, что категория ${\mathcal {K}}$ линейно полно, ^[6] хорошо развит в сильных мономорфизмах, ^[7] совместная работа в сильных эпиморфизмах, ^[8] и, кроме того, сильные эпиморфизмы различают мономорфизмы ^[10] в ${\mathcal {K}}$ , и, двойственно, сильные мономорфизмы различают эпиморфизмы ^[11] в ${\mathcal {K}}$ , затем ${\mathcal {K}}$ имеет узловое разложение. ^[12]

Категория Ste стереотипных пространств (будучи неабелевой) имеет узловое разложение: ^[13] а также (неаддитивную ) категорию SteAlg стереотипных алгебр . ^[14]

Примечания [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Акбаров 2016 , с. 28.
^ Эпиморфизм $\varepsilon :A\to B$ называется сильным , если для любого мономорфизма $\mu :C\to D$ и для любых морфизмов $\alpha :A\to C$ и $\beta :B\to D$ такой, что $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$ существует морфизм $\delta :B\to C$ , такой, что $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ и $\mu \circ \delta =\beta$ .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Борсо, 1994 год .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Цаленко и Шульгейфер 1974 .
^ Мономорфизм $\mu :C\to D$ называется сильным , если для любого эпиморфизма $\varepsilon :A\to B$ и для любых морфизмов $\alpha :A\to C$ и $\beta :B\to D$ такой, что $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$ существует морфизм $\delta :B\to C$ , такой, что $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ и $\mu \circ \delta =\beta$
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Категория ${\mathcal {K}}$ называется линейно полным , если любой функтор из линейно упорядоченного множества в ${\mathcal {K}}$ имеет прямой и обратный пределы .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Категория ${\mathcal {K}}$ называется полностепенным в сильных мономорфизмах , если для каждого объекта $X$ категория $\operatorname {SMono} (X)$ всех сильных мономорфизмов в $X$ является скелетно малым (т.е. имеет скелет, который представляет собой набор).
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Категория ${\mathcal {K}}$ называется костепенным в сильных эпиморфизмах , если для каждого объекта $X$ категория $\operatorname {SEpi} (X)$ всех сильных эпиморфизмов из $X$ является скелетно малым (т.е. имеет скелет, который представляет собой набор).
^ Акбаров 2016 , с. 37.
^ Говорят, что сильные эпиморфизмы различают мономорфизмы в категории ${\mathcal {K}}$ , если каждый морфизм $\mu$ , не являющийся мономорфизмом, можно представить в виде композиции $\mu =\mu '\circ \varepsilon$ , где $\varepsilon$ является сильным эпиморфизмом , который не является изоморфизмом.
^ Говорят, что сильные мономорфизмы различают эпиморфизмы в категории ${\mathcal {K}}$ , если каждый морфизм $\varepsilon$ , который не является эпиморфизмом, можно представить в виде композиции $\varepsilon =\mu \circ \varepsilon '$ , где $\mu$ является сильным мономорфизмом , не являющимся изоморфизмом.
^ Акбаров 2016 , с. 31.
^ Акбаров 2016 , с. 142.
^ Акбаров 2016 , с. 164.