Конверт (теория категорий)

В теории категорий и смежных областях математики оболочка представляет собой конструкцию, которая обобщает операции «внешнего завершения», такие как завершение локально выпуклого пространства или компактификация Стоуна – Чеха топологического пространства. Двойная конструкция называется уточнением .

Определение

Предполагать $K$ это категория, $X$ объект в $K$, и $\Omega$ и $\Phi$ два класса морфизмов в $K$. Определение конверта $X$ в классе $\Omega$ относительно класса $\Phi$ состоит из двух шагов.

Расширение.

• Морфизм $\sigma :X\to X'$ в $K$ называется расширением объекта $X$ в классе морфизмов $\Omega$ относительно класса морфизмов $\Phi$, если $\sigma \in \Omega$, и для любого морфизма $\varphi :X\to B$ из класса $\Phi$ существует единственный морфизм $\varphi ':X'\to B$ в $K$ такой, что $\varphi =\varphi '\circ \sigma$.

Конверт.

• Расширение $\rho :X\to E$ объекта $X$ в классе морфизмов $\Omega$ относительно класса морфизмов $\Phi$ называется оболочкой $X$ в $\Omega$ относительно $\Phi$, если для любого другого расширения $\sigma :X\to X'$ (из $X$ в $\Omega$ относительно $\Phi$) существует единственный морфизм $\upsilon :X'\to E$ в $K$ такой, что $\rho =\upsilon \circ \sigma$. Объект $E$ еще называют конвертом $X$ в $\Omega$ относительно $\Phi$.

Обозначения:

$\rho ={\text{env}}_{\Phi }^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{\Omega }X.$

В частном случае, когда $\Omega$ - это класс всех морфизмов, диапазоны которых принадлежат данному классу объектов $L$ в $K$ это удобно заменить $\Omega$ с $L$ в обозначениях (и в терминах):

$\rho ={\text{env}}_{\Phi }^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{\Phi }^{L}X.$

Аналогично, если $\Phi$ - это класс всех морфизмов, диапазоны которых принадлежат данному классу объектов $M$ в $K$ это удобно заменить $\Phi$ с $M$ в обозначениях (и в терминах):

$\rho ={\text{env}}_{M}^{\Omega }X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{\Omega }X.$

Например, можно говорить о конверте из $X$ в классе объектов $L$ относительно класса объектов $M$:

$\rho ={\text{env}}_{M}^{L}X,\qquad E={\text{Env}}_{M}^{L}X.$

Сети

Предположим, что каждому объекту $X\in \operatorname {Ob} ({K})$ в категории ${K}$ ему присвоено подмножество ${\mathcal {N}}^{X}$ в классе $\operatorname {Epi} ^{X}$ всех эпиморфизмов категории ${K}$, идя от $X$, и выполняются следующие три требования:

• для каждого объекта $X$ набор ${\mathcal {N}}^{X}$ непусто и направлено влево относительно предзаказа, унаследованного от $\operatorname {Epi} ^{X}$

$\forall \sigma ,\sigma '\in {\mathcal {N}}^{X}\quad \exists \rho \in {\mathcal {N}}^{X}\quad \rho \to \sigma \ \&\ \rho \to \sigma ',$

• для каждого объекта $X$ ковариантная система морфизмов, порожденная ${\mathcal {N}}^{X}$

$\{\iota _{\rho }^{\sigma };\ \rho ,\sigma \in {\mathcal {N}}^{X},\ \rho \to \sigma \}$

имеет копредел $\varprojlim {\mathcal {N}}^{X}$ в $K$, называемый локальным пределом в $X$;

• для каждого морфизма $\alpha :X\to Y$ и для каждого элемента $\tau \in {\mathcal {N}}^{Y}$ есть элемент $\sigma \in {\mathcal {N}}^{X}$ и морфизм $\alpha _{\sigma }^{\tau }:\operatorname {Cod} \sigma \to \operatorname {Cod} \tau$ такой, что

$\tau \circ \alpha =\alpha _{\sigma }^{\tau }\circ \sigma .$

Тогда семейство множеств ${\mathcal {N}}=\{{\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} ({K})\}$ называется сетью эпиморфизмов в категории ${K}$.

Примеры.

1. Для каждого локально выпуклого топологического векторного пространства $X$ и для каждой замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности нуля $U\subseteq X$ рассмотрим его ядро $\operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U$ и факторпространство $X/\operatorname {Ker} U$ наделенный нормированной топологией с единичным шаром $U+\operatorname {Ker} U$, и пусть $X/U=(X/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }$ быть завершением $X/\operatorname {Ker} U$ (очевидно, $X/U$ является банаховым пространством и называется факторбанаховым пространством $X$ к $U$). Система естественных отображений $X\to X/U$ представляет собой сеть эпиморфизмов в категории ${\text{LCS}}$ локально выпуклых топологических векторных пространств.
2. Для каждой локально выпуклой топологической алгебры $A$ и для каждой субмультипликативной замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности нуля $U\subseteq X$,

$U\cdot U\subseteq U$,

давайте еще раз рассмотрим его ядро $\operatorname {Ker} U=\bigcap _{\varepsilon >0}\varepsilon \cdot U$ и факторалгебра $A/\operatorname {Ker} U$ наделенный нормированной топологией с единичным шаром $U+\operatorname {Ker} U$, и пусть $A/U=(A/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }$ быть завершением $A/\operatorname {Ker} U$ (очевидно, $A/U$ является банаховой алгеброй и называется факторбанаховой алгеброй $X$ к $U$). Система естественных отображений $A\to A/U$ представляет собой сеть эпиморфизмов в категории ${\text{LCS}}$ локально выпуклых топологических алгебр.

Теорема. Позволять ${\mathcal {N}}$ быть сетью эпиморфизмов в категории ${K}$ порождающий класс морфизмов $\varPhi$ внутри:

${\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.$

Тогда для любого класса эпиморфизмов $\varOmega$ в $K$, который содержит все локальные ограничения $\varprojlim {\mathcal {N}}^{X}$,

$\{\varprojlim {\mathcal {N}}^{X};\ X\in \operatorname {Ob} (K)\}\subseteq \varOmega \subseteq \operatorname {Epi} (K),$

имеет место следующее:

(i) для каждого объекта $X$ в ${K}$ местный предел $\varprojlim {\mathcal {N}}^{X}$ это конверт $\operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X$ в $\varOmega$ относительно $\varPhi$:

$\varprojlim {\mathcal {N}}^{X}=\operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X,$

(ii) конверт $\operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }$ можно определить как функтор.

Теорема. Позволять ${\mathcal {N}}$ быть сетью эпиморфизмов в категории ${K}$ порождающий класс морфизмов $\varPhi$ внутри:

${\mathcal {N}}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor} ({K})\circ {\mathcal {N}}.$

Тогда для любого мономорфно дополняемого класса эпиморфизмов $\varOmega$ в $K$ такой, что $K$ хорошо работает в $\varOmega$ конверт $\operatorname {Env} _{\varPhi }^{\varOmega }$ можно определить как функтор.

Теорема. Предположим, что категория $K$ и класс объектов $L$ иметь следующие свойства:

(я) $K$ является кополным ,

(ii) $K$ имеет узловое разложение ,

(iii) $K$ хорошо учится в классе $\operatorname {Epi}$,

(iv) $\operatorname {Mor} (K,L)$ идет от $K$:

$\forall X\in \operatorname {Ob} (K)\quad \exists \varphi \in \operatorname {Mor} (K)\quad \operatorname {Dom} \varphi =X\quad \&\quad \operatorname {Cod} \varphi \in L$,

(v) $L$ различается морфизмами снаружи: для любых двух различных параллельных морфизмов $\alpha \neq \beta :X\to Y$ есть морфизм $\varphi :Y\to Z\in L$ такой, что $\varphi \circ \alpha \neq \varphi \circ \beta$,

(мы) $L$ замкнуто относительно перехода к копределам,

(vii) $L$ замкнуто относительно перехода от кообласти морфизма к его узловому образу : если $\operatorname {Cod} \alpha \in L$, затем $\operatorname {Im} _{\infty }\alpha \in L$.

Затем конверт $\operatorname {Env} _{L}^{L}$ можно определить как функтор.

Примеры

В следующем списке все конверты можно определить как функторы.

1. Завершение $X^{\blacktriangledown }$ локально выпуклого топологического векторного пространства $X$ представляет собой конверт из $X$ в категории ${\text{LCS}}$ всех локально выпуклых пространств относительно класса ${\text{Ban}}$ банаховых пространств : $X^{\blacktriangledown }={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{LCS}}X$. Очевидно, $X^{\blacktriangledown }$ является обратным пределом факторбанаховых пространств $X/U$ (определено выше):

$X^{\blacktriangledown }=\lim _{0\gets U}X/U.$

2. Компактификация Стоуна–Чеха. $\beta :X\to \beta X$ тихоновского топологического пространства $X$ представляет собой конверт из $X$ в категории ${\text{Tikh}}$ всех тихоновских пространств класса ${\text{Com}}$ компактов класса относительно одного и того же ${\text{Com}}$: $\beta X={\text{Env}}_{\text{Com}}^{\text{Com}}X.$

3. Конверт Аренса-Майкла $A^{\text{AM}}$ локально выпуклой топологической алгебры $A$ при отдельно непрерывном умножении представляет собой оболочку $A$ в категории ${\text{TopAlg}}$ всех (локально выпуклых) топологических алгебр (с раздельно непрерывными умножениями) в классе ${\text{TopAlg}}$ относительно класса ${\text{Ban}}$ банаховых алгебр: $A^{\text{AM}}={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{TopAlg}}A$. Алгебра $A^{\text{AM}}$ является обратным пределом факторбанаховых алгебр $A/U$ (определено выше):

$A^{\text{AM}}=\lim _{0\gets U}A/U.$

4. Голоморфная оболочка . ${\text{Env}}_{\cal {O}}A$ стереотипной алгебры $A$ представляет собой конверт из $A$ в категории ${\text{SteAlg}}$ всех стереотипных алгебр класса ${\text{DEpi}}$ всех плотных эпиморфизмов в ${\text{SteAlg}}$ относительно класса ${\text{Ban}}$ всех банаховых алгебр: ${\text{Env}}_{\cal {O}}A={\text{Env}}_{\text{Ban}}^{\text{DEpi}}A.$

5. Гладкий конверт ${\text{Env}}_{\cal {E}}A$ стереотипной алгебры $A$ представляет собой конверт из $A$ в категории ${\text{InvSteAlg}}$ всех инволютивных стереотипных алгебр класса ${\text{DEpi}}$ всех плотных эпиморфизмов в ${\text{InvSteAlg}}$ относительно класса ${\text{DiffMor}}$ всех дифференциальных гомоморфизмов в различные С*-алгебры с присоединенными самосопряженными нильпотентными элементами: ${\text{Env}}_{\cal {E}}A={\text{Env}}_{\text{DiffMor}}^{\text{DEpi}}A.$

6. Сплошной конверт ${\text{Env}}_{\cal {C}}A$ стереотипной алгебры $A$ представляет собой конверт из $A$ в категории ${\text{InvSteAlg}}$ всех инволютивных стереотипных алгебр класса ${\text{DEpi}}$ всех плотных эпиморфизмов в ${\text{InvSteAlg}}$ относительно класса ${\text{C}}^{*}$ всех C*-алгебр: ${\text{Env}}_{\cal {C}}A={\text{Env}}_{{\text{C}}^{*}}^{\text{DEpi}}A.$

Приложения

Конверты появляются как стандартные функторы в различных областях математики. Помимо приведенных выше примеров,

• Гельфанда преобразование $G_{A}:A\to C({\text{Spec}}A)$ коммутативной инволютивной стереотипной алгебры $A$ представляет собой непрерывную оболочку $A$;

• для каждой локально компактной абелевой группы $G$ Фурье преобразование $F_{A}:C^{\star }(G)\to C({\widehat {G}})$ представляет собой непрерывную оболочку групповой алгебры стереотипов $C^{\star }(G)$ мер с компактной поддержкой на $G$.

В абстрактном гармоническом анализе понятие огибающей играет ключевую роль в обобщениях двойственности Понтрягина. теории к классам некоммутативных групп: голоморфная, гладкая и непрерывная оболочки стереотипных алгебр (в приведенных выше примерах) приводят соответственно к конструкциям голоморфной, гладкой и непрерывной двойственности в большой геометрической дисциплине – сложной геометрии. , дифференциальная геометрия и топология - для определенных классов (не обязательно коммутативных) топологических групп, рассматриваемых в этих дисциплинах ( аффинных алгебраических групп и некоторых классов групп Ли и групп Мура).

См. также

• Уточнение

Ссылки

• Хелемский, А.Я. (1993). Банах и локально выпуклые алгебры . Оксфордские научные публикации. Кларендон Пресс .
• Пирковский, А.Ю. (2008). «Оболочки Аренса-Майкла, гомологические эпиморфизмы и относительно квазисвободные алгебры» (PDF) . Пер. Московская математика. Соц . 69 : 27–104. дои : 10.1090/S0077-1554-08-00169-6 .
• Акбаров, СС (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной составляющей единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . дои : 10.1007/s10958-009-9646-1 . S2CID   115153766 .
• Акбаров, С.С. (2010). Стереотипные алгебры и двойственность групп Штейна (Диссертация). Московский государственный университет.
• Акбаров, СС (2016). «Конверты и уточнения категорий с приложениями к функциональному анализу» . Математические диссертации . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . дои : 10.4064/dm702-12-2015 . S2CID   118895911 .
• Акбаров, СС (2017а). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303.2424 . дои : 10.1007/s10958-017-3599-6 . S2CID   126018582 .
• Акбаров, СС (2017б). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303.2424 . дои : 10.1007/s10958-017-3600-4 . S2CID   128246373 .
• Акбаров, СС (2013). «Преобразование Гельфанда как C*-конверт». Математические заметки . 94 (5–6): 814–815. дои : 10.1134/S000143461311014X . S2CID   121354607 .
• Кузнецова, Ю. (2013). «Двойственность групп Мура». Журнал теории операторов . 69 (2): 101–130. arXiv : 0907.1409 . Бибкод : 2009arXiv0907.1409K . дои : 10.7900/jot.2011mar17.1920 . S2CID   115177410 .