Тонкая топология (теория потенциала)

В математике , в области теории потенциала , тонкая топология является естественной топологией для постановки исследования субгармонических функций . В самых ранних исследованиях субгармонических функций , а именно тех, для которых $\Delta u\geq 0,$ где $\Delta$ является лапласианом , только гладкие функции рассматривались . В этом случае было естественно рассматривать только евклидову топологию, но с появлением полунепрерывных сверху субгармонических функций, введенных Ф. Риссом , тонкая топология стала более естественным инструментом во многих ситуациях.

Определение

Тонкая топология евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ определяется как самая грубая топология, делающая все субгармонические функции (эквивалентно все супергармонические функции) непрерывными . Понятия в тонкой топологии обычно имеют префикс слова «тонкая», чтобы отличить их от соответствующих понятий в обычной топологии, таких как, например, «тонкая окрестность» или «тонкая непрерывная».

Наблюдения

Тонкая топология была введена в 1940 году Анри Картаном для помощи в изучении тонких множеств и первоначально считалась несколько патологической из-за отсутствия ряда свойств, таких как локальная компактность, которые так часто полезны в анализе. Последующие работы показали, что отсутствие таких свойств в определенной степени компенсируется наличием других, несколько менее сильных свойств, таких как свойство квазиЛинделёфа .

В одном измерении, т. е. на вещественной прямой , тонкая топология совпадает с обычной топологией, так как в этом случае субгармоническими функциями являются именно те выпуклые функции , которые уже непрерывны в обычной (евклидовой) топологии. Таким образом, тонкая топология представляет наибольший интерес для $\mathbb {R} ^{n}$ где $n\geq 2$. Тонкая топология в этом случае строго тоньше обычной, поскольку имеются разрывные субгармонические функции.

Картан заметил в переписке с Марселем Брело , что в равной степени возможно разработать теорию тонкой топологии, используя понятие «тонкости». В этой разработке набор $U$ тонкий в какой-то момент $\zeta$ если существует субгармоническая функция $v$ определенный в окрестности $\zeta$ такой, что

$v(\zeta )>\limsup _{z\to \zeta ,z\in U}v(z).$

Затем набор $U$ это прекрасный район $\zeta$ тогда и только тогда, когда дополнение $U$ тонкий в $\zeta$.

Свойства тонкой топологии

Тонкая топология в некотором смысле гораздо менее податлива, чем обычная топология в евклидовом пространстве, о чем свидетельствует следующее (принимая во внимание $n\geq 2$):

• Набор $F$ в $\mathbb {R} ^{n}$ является компактным тогда и только тогда, когда $F$ конечно.
• Тонкая топология на $\mathbb {R} ^{n}$ не является локально компактным (хотя и хаусдорфовым ).
• Тонкая топология на $\mathbb {R} ^{n}$ не является ни первым , ни вторым счетным , ни метризуемым .

У тонкой топологии есть, по крайней мере, несколько «приятных» свойств:

• Тонкая топология обладает свойством Бэра .
• Тонкая топология в $\mathbb {R} ^{n}$ подключен локально .

Тонкая топология не обладает свойством Линделёфа , но обладает несколько более слабым свойством квазиЛинделёфа:

• Произвольное объединение тонких открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ отличается набором полярностей от некоторого счетного подсоюза.

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (13 июня 1996 г.), Функции одной комплексной переменной II , Тексты для аспирантов по математике , том. 159, Springer-Verlag , стр. 367–376, ISBN.  0-387-94460-5
• Дуб, Дж. Л. (12 января 2001 г.), Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог , Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-41206-9
• Хелмс, LL (1975), Введение в теорию потенциала , Р. Э. Кригер, ISBN  0-88275-224-3