Лебегов позвоночник

В математике , в области теории потенциала , позвоночник Лебега или шип Лебега — это тип набора , используемый для обсуждения решений проблемы Дирихле и связанных с ней проблем теории потенциала. Спайн Лебега был введен в 1912 году Анри Лебегом, чтобы продемонстрировать, что задача Дирихле не всегда имеет решение, особенно когда граница имеет достаточно острый край, выступающий внутрь области.

Определение

Типичный позвоночник Лебега. $\mathbb {R} ^{n}$, для $n\geq 3,$ определяется следующим образом

$S=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq \exp(-1/x_{n}^{2})\}.$

Важными особенностями этого множества являются то, что оно связно и линейно связно в евклидовой топологии в $\mathbb {R} ^{n}$ и начало координат является предельной точкой множества, и все же множество в начале координат является тонким , как это определено в статье Тонкая топология (теория потенциала) .

Наблюдения

Набор $S$ не замкнут в евклидовой топологии, так как не содержит начала координат, являющегося предельной точкой $S$, но множество замкнуто в тонкой топологии в $\mathbb {R} ^{n}$.

Для сравнения, это невозможно в $\mathbb {R} ^{2}$ построить такое связное множество, тонкое в начале координат.

Ссылки

• Дж. Л. Дуб. Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, ISBN   3-540-41206-9 .
• Л. Л. Хелмс (1975). Введение в теорию потенциала . РЭ Кригер ISBN   0-88275-224-3 .