Аттрактор обратного хода

В математике аттрактор . случайной динамической системы можно условно представить как набор, к которому система эволюционирует через достаточно долгое время Основная идея та же, что и для детерминированной динамической системы , но требует осторожного подхода, поскольку случайные динамические системы обязательно неавтономны . Это требует рассмотрения понятия обратного аттрактора или аттрактора в смысле обратного движения .

Настройка и мотивация

Рассмотрим случайную динамическую систему $\varphi$ в полном сепарабельном метрическом пространстве $(X,d)$, где шум выбирается из вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ с базовым потоком $\vartheta :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega$.

Наивное определение аттрактора ${\mathcal {A}}$ для этой случайной динамической системы означало бы потребовать, чтобы для любого начального условия $x_{0}\in X$, $\varphi (t,\omega )x_{0}\to {\mathcal {A}}$ как $t\to +\infty$. Это определение слишком ограничено, особенно в измерениях выше единицы. Более правдоподобным определением, основанным на идее омега-предельного множества , было бы сказать, что точка $a\in X$ лежит в аттракторе ${\mathcal {A}}$ тогда и только тогда, когда существует начальное условие, $x_{0}\in X$, и существует последовательность времен $t_{n}\to +\infty$ такой, что

$d\left(\varphi (t_{n},\omega )x_{0},a\right)\to 0$ как $n\to \infty$.

Это не так уж далеко от рабочего определения. Однако мы еще не учли влияние шума. $\omega$, что делает систему неавтономной (т.е. она явно зависит от времени). По техническим причинам возникает необходимость сделать следующее: вместо поиска $t$ секунд в «будущее» и рассматривая предел как $t\to +\infty$, один "перематывает" шум $t$ секунды в «прошлое» и развивает систему через $t$ секунд, используя то же начальное условие. То есть нас интересует предел отката

$\lim _{t\to +\infty }\varphi (t,\vartheta _{-t}\omega )$.

Так, например, в смысле обратного подхода омега-предел для набора (возможно, случайного) $B(\omega )\subseteq X$ это случайный набор

$\Omega _{B}(\omega ):=\left\{x\in X\left|\exists t_{n}\to +\infty ,\exists b_{n}\in B(\vartheta _{-t_{n}}\omega )\mathrm {\,s.t.\,} \varphi (t_{n},\vartheta _{-t_{n}}\omega )b_{n}\to x\mathrm {\,as\,} n\to \infty \right.\right\}.$

Эквивалентно это можно записать как

$\Omega _{B}(\omega )=\bigcap _{t\geq 0}{\overline {\bigcup _{s\geq t}\varphi (s,\vartheta _{-s}\omega )B(\vartheta _{-s}\omega )}}.$

Важно отметить, что в случае детерминированной динамической системы (без шума) предел отката совпадает с детерминированным прямым пределом, поэтому имеет смысл сравнивать детерминированные и случайные множества омега-пределов, аттракторы и т. д.

Несколько примеров обратных аттракторов неавтономных динамических систем представлены аналитически и численно.

Определение

Обратный аттрактор (или случайный глобальный аттрактор ) ${\mathcal {A}}(\omega )$ для случайной динамической системы – это $\mathbb {P}$- почти наверняка уникальный случайный набор такой, что

1. ${\mathcal {A}}(\omega )$ представляет собой случайный компакт : ${\mathcal {A}}(\omega )\subseteq X$ почти наверняка компактен и $\omega \mapsto \mathrm {dist} (x,{\mathcal {A}}(\omega ))$ это $({\mathcal {F}},{\mathcal {B}}(X))$- измеримая функция для каждого $x\in X$;
2. ${\mathcal {A}}(\omega )$ инвариант всех : для $\varphi (t,\omega )({\mathcal {A}}(\omega ))={\mathcal {A}}(\vartheta _{t}\omega )$ почти наверняка;
3. ${\mathcal {A}}(\omega )$ является привлекательным : для любого детерминированного ограниченного множества $B\subseteq X$,

$\lim _{t\to +\infty }\mathrm {dist} \left(\varphi (t,\vartheta _{-t}\omega )(B),{\mathcal {A}}(\omega )\right)=0$ почти наверняка.

имеет небольшое злоупотребление обозначениями Вышеупомянутое : первое использование слова «расстояние» относится к полурасстоянию Хаусдорфа от точки до множества,

$\mathrm {dist} (x,A):=\inf _{a\in A}d(x,a),$

тогда как второе использование слова «расстояние» относится к полурасстоянию Хаусдорфа между двумя наборами,

$\mathrm {dist} (B,A):=\sup _{b\in B}\inf _{a\in A}d(b,a).$

Как отмечалось в предыдущем разделе, в отсутствие шума это определение аттрактора совпадает с детерминированным определением аттрактора как минимального компактного инвариантного множества, которое притягивает все ограниченные детерминированные множества.

Теоремы, связывающие омега-предельные множества с аттракторами

Аттрактор как объединение омега-предельных множеств

Если случайная динамическая система имеет компактное случайное поглощающее множество $K$, то случайный глобальный аттрактор имеет вид

${\mathcal {A}}(\omega )={\overline {\bigcup _{B}\Omega _{B}(\omega )}},$

где объединение осуществляется по всем ограниченным множествам $B\subseteq X$.

Ограничение аттрактора детерминированным множеством

Крауэль (1999) доказал, что если базовый поток $\vartheta$ является эргодическим и $D\subseteq X$ представляет собой детерминированный компакт с

$\mathbb {P} \left({\mathcal {A}}(\cdot )\subseteq D\right)>0,$

затем ${\mathcal {A}}(\omega )=\Omega _{D}(\omega )$ $\mathbb {P}$- почти наверняка.

Дальнейшее чтение

• Крауэль, Ганс; Дебюше, Арно; Фландоли, Франко (1 апреля 1997 г.). «Случайные аттракторы» . Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 9 (2): 307–341. Бибкод : 1997JDDE....9..307C . дои : 10.1007/BF02219225 . hdl : 11568/53248 . ISSN   1040-7294 . S2CID   192603977 . Проверено 13 июля 2023 г.
• Крауэль, Ганс (1 декабря 1999 г.). «Глобальные случайные аттракторы однозначно определяются путем привлечения детерминированных компактов» . Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 176 (1): 57–72. дои : 10.1007/BF02505989 . ISSN   1618-1891 . S2CID   119417673 . Проверено 13 июля 2023 г.
• Чекруун, Микаэль Д.; Симонне, Эрик; Гил, Майкл (1 октября 2011 г.). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и зависящие от времени инвариантные меры» (PDF) . Физика D: Нелинейные явления . 240 (21): 1685–1700. Бибкод : 2011PhyD..240.1685C . дои : 10.1016/j.physd.2011.06.005 . ISSN   0167-2789 . HAL   hal-01120519 . Проверено 13 июля 2023 г.