Базовый поток (случайные динамические системы)

В математике базовым потоком является случайной динамической системы динамическая система, «шума» определенная в вероятностном пространстве , которая описывает, как «перемотать вперед» или «перемотать назад» шум, когда кто-то хочет изменить время, в которое он «начинается». случайная динамическая система.

Определение

В определении случайной динамической системы задано семейство отображений $\vartheta _{s}:\Omega \to \Omega$ в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$. меру Динамическая система, сохраняющая $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )$ известен как основной поток случайной динамической системы. Карты $\vartheta _{s}$ часто называют картами сдвига, поскольку они «сдвигают» время. Базовый поток часто эргодичен .

Параметр $s$ может быть выбран для наезда

• $\mathbb {R}$ (двусторонняя непрерывная динамическая система);
• $[0,+\infty )\subsetneq \mathbb {R}$ (односторонняя динамическая система с непрерывным временем);
• $\mathbb {Z}$ (двусторонняя дискретная динамическая система);
• $\mathbb {N} \cup \{0\}$ (односторонняя дискретная динамическая система).

Каждая карта $\vartheta _{s}$ требуется

• быть $({\mathcal {F}},{\mathcal {F}})$- измеримая функция : для всех $E\in {\mathcal {F}}$, $\vartheta _{s}^{-1}(E)\in {\mathcal {F}}$
• сохранить меру $\mathbb {P}$: для всех $E\in {\mathcal {F}}$, $\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))=\mathbb {P} (E)$.

Более того, всей семьей карты $\vartheta _{s}$ удовлетворить отношения

• $\vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega$, тождественная функция на $\Omega$;
• $\vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}$ для всех $s$ и $t$ для которого определены три карты в этом выражении. В частности, $\vartheta _{s}^{-1}=\vartheta _{-s}$ если $-s$ существует.

Другими словами, карты $\vartheta _{s}$ образуют коммутативный моноид (в случаях $s\in \mathbb {N} \cup \{0\}$ и $s\in [0,+\infty )$) или коммутативной группы (в случаях $s\in \mathbb {Z}$ и $s\in \mathbb {R}$).

Пример

В случае случайной динамической системы, управляемой винеровским процессом $W:\mathbb {R} \times \Omega \to X$, где $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — двустороннее классическое пространство Винера , основной поток $\vartheta _{s}:\Omega \to \Omega$ будет предоставлено

$W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )$.

Это можно прочитать как утверждение, что $\vartheta _{s}$ "начинается шум вовремя $s$ вместо времени 0".