Список релятивистских уравнений

Ниже приводится список часто встречающихся уравнений в специальной теории относительности .

Постулаты специальной теории относительности

Чтобы вывести уравнения специальной теории относительности, нужно начать с двух других

1. Законы физики инвариантны относительно преобразований между инерциальными системами отсчета. Другими словами, законы физики будут одинаковыми независимо от того, проверяете ли вы их в «покоящейся» системе отсчета или в системе, движущейся с постоянной скоростью относительно «покоящейся» системы координат.
2. Скорость света в идеальном классическом вакууме ( $c_{0}$) измеряется одинаково всеми наблюдателями в инерциальных системах отсчета и, более того, является конечным, но ненулевым. Эта скорость действует как предел скорости локальной передачи информации во Вселенной.

В этом контексте «скорость света» на самом деле относится к супремуму скорости передачи информации или движения обычной материи (неотрицательной массы) локально, как в классическом вакууме. Таким образом, более точное описание будет относиться к $c_{0}$ а не скорость света как таковая. Однако свет и другие безмассовые частицы теоретически движутся со скоростью. $c_{0}$ в условиях вакуума и эксперимент не опровергли это представление с достаточно высокой точностью. Независимо от того, распространяется ли сам свет со скоростью $c_{0}$, хотя $c_{0}$ действует как такая супремум, и это предположение имеет значение для теории относительности.

Из этих двух постулатов вытекает вся специальная теория относительности.

Далее относительная скорость v между двумя инерциальными системами координат полностью ограничивается направлением декартовой x системы координат .

Кинематика

Преобразование Лоренца

В специальной теории относительности очень часто используются следующие обозначения:

Лоренц-фактор

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

где $\beta ={\frac {v}{c}}$ и v — относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета .

Для двух кадров в состоянии покоя γ = 1 и увеличивается с увеличением относительной скорости между двумя инерциальными кадрами. Когда относительная скорость приближается к скорости света, γ → ∞.

Замедление времени (разное время t и t' в одной и той же позиции x в одной и той же инерциальной системе отсчета)

$t'=\gamma t$

showВывод замедления времени

Applying the above postulates, consider the inside of any vehicle (usually exemplified by a train) moving with a velocity v with respect to someone standing on the ground as the vehicle passes. Inside, a light is shone upwards to a mirror on the ceiling, where the light reflects back down. If the height of the mirror is h, and the speed of light c, then the time it takes for the light to go up and come back down is: $t={\frac {2h}{c}}$ However, to the observer on the ground, the situation is very different. Since the train is moving by the observer on the ground, the light beam appears to move diagonally instead of straight up and down. To visualize this, picture the light being emitted at one point, then having the vehicle move until the light hits the mirror at the top of the vehicle, and then having the train move still more until the light beam returns to the bottom of the vehicle. The light beam will have appeared to have moved diagonally upward with the train, and then diagonally downward. This path will help form two-right sided triangles, with the height as one of the sides, and the two straight parts of the path being the respective hypotenuses: $c^{2}\left({\frac {t'}{2}}\right)^{2}=h^{2}+v^{2}\left({\frac {t'}{2}}\right)^{2}$ Rearranging to get $t'$: $\left({\frac {t'}{2}}\right)^{2}={\frac {h^{2}}{c^{2}-v^{2}}}$ ${\frac {t'}{2}}={\frac {h}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$ $t'={\frac {2h}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}$ Taking out a factor of c, and then plugging in for t, one finds: $t'={\frac {2h}{c}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ This is the formula for time dilation: $t'=\gamma t$

В этом примере время, измеренное в кадре транспортного средства, t , известно как собственное время . Собственное время между двумя событиями (например, событием излучения света транспортным средством и событием приема света транспортным средством) — это время между двумя событиями в кадре, где события происходят в одном и том же месте. Итак, как было показано выше, излучение и прием света происходили в корпусе транспортного средства, поэтому время, которое наблюдатель в кадре транспортного средства мог бы измерить, является собственным временем.

Сокращение длины (разные положения x и x' в один и тот же момент t в одной и той же инерциальной системе отсчета)

$\ell '={\frac {\ell }{\gamma }}$

showВывод сокращения длины

Consider a long train, moving with velocity v with respect to the ground, and one observer on the train and one on the ground, standing next to a post. The observer on the train sees the front of the train pass the post, and then, some time t′ later, sees the end of the train pass the same post. He then calculates the train's length as follows: $\ell =vt'\,$ However, the observer on the ground, making the same measurement, comes to a different conclusion. This observer finds that time t passed between the front of the train passing the post, and the back of the train passing the post. Because the two events - the passing of each end of the train by the post - occurred in the same place in the ground observer's frame, the time this observer measured is the proper time. So: $\ell '=vt=v\left({\frac {t'}{\gamma }}\right)={\frac {\ell }{\gamma }}$

Это формула сокращения длины. Поскольку существует подходящее время для замедления времени, существует и правильная длина для сокращения длины, которая в данном случае равна ℓ . Правильная длина объекта — это длина объекта в кадре, в котором объект находится в состоянии покоя. Кроме того, это сжатие влияет только на размеры объекта, которые параллельны относительной скорости между объектом и наблюдателем. Таким образом, на длины, перпендикулярные направлению движения, сокращение длины не влияет.

Преобразование Лоренца

$x'=\gamma \left(x-vt\right)$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

showВывод преобразования Лоренца с использованием замедления времени и сокращения длины

Now substituting the length contraction result into the Galilean transformation (i.e. x = ℓ), we have: ${\frac {x'}{\gamma }}=x-vt$ that is: $x'=\gamma \left(x-vt\right)$ and going from the primed frame to the unprimed frame: $x=\gamma \left(x'+vt'\right)$ Going from the primed frame to the unprimed frame was accomplished by making v in the first equation negative, and then exchanging primed variables for unprimed ones, and vice versa. Also, as length contraction does not affect the perpendicular dimensions of an object, the following remain the same as in the Galilean transformation: $y'=y\,$ $z'=z\,$ Finally, to determine how t and t′ transform, substituting the x↔x′ transformation into its inverse: $x=\gamma \left(\gamma \left(x-vt\right)+vt'\right)$ $x=\gamma \left(\gamma x-\gamma vt+vt'\right)$ $x=\gamma ^{2}x-\gamma ^{2}vt+\gamma vt'\,$ $\gamma vt'=\gamma ^{2}vt-\gamma ^{2}x+x\,$ $\gamma vt'=\gamma ^{2}vt+x\left(1-\gamma ^{2}\right)$ Plugging in the value for γ: $\gamma vt'=\gamma ^{2}vt+x\left(1-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}\right)$ $\gamma vt'=\gamma ^{2}vt+x\left({\frac {1-\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}-{\frac {1}{1-\beta ^{2}}}\right)$ $\gamma vt'=\gamma ^{2}vt-x\left({\frac {\beta ^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right)$ $\gamma vt'=\gamma ^{2}vt-\gamma ^{2}\beta ^{2}x\,$ Finally, dividing through by γv: $t'=\gamma \left(t-\beta {\frac {x}{c}}\right)$ Or more commonly: $t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$ And the converse can again be gotten by changing the sign of v, and exchanging the unprimed variables for their primed variables, and vice versa. These transformations together are the Lorentz transformation: $x'=\gamma \left(x-vt\right)$ $y'=y\,$ $z'=z\,$ $t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

Добавление скорости

$V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}$

$V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}$

$V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}$

showВывод сложения скоростей

The Lorentz transformations also apply to differentials, so: $dx'=\gamma \left(dx-vdt\right)$ $dy'=dy\,$ $dz'=dz\,$ $dt'=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)$ The velocity is dx/dt, so ${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma \left(dx-vdt\right)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)}}$ ${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx-vdt}{dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}}}$ ${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-{\frac {dx}{dt}}{\frac {v}{c^{2}}}}}$ Now substituting: $V_{x}={\frac {dx}{dt}}\,\quad V'_{x}={\frac {dx'}{dt'}}$ gives the velocity addition (actually below is subtraction, addition is just reversing the signs of Vx, Vy, and Vz around): $V'_{x}={\frac {V_{x}-v}{1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}}}$ $V'_{y}={\frac {V_{y}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}$ $V'_{z}={\frac {V_{z}}{\gamma \left(1-{\frac {V_{x}v}{c^{2}}}\right)}}$ Also, the velocities in the directions perpendicular to the frame changes are affected, as shown above. This is due to time dilation, as encapsulated in the dt/dt′ transformation. The V′y and V′z equations were both derived by dividing the appropriate space differential (e.g. dy′ or dz′) by the time differential.

Метрика и четырехвекторы

Основные статьи: метрический тензор и четырехвекторы

Далее жирный шрифт без засечек используется для 4-векторов , а обычный жирный римский шрифт — для обычных 3-векторов.

Внутренний продукт (т.е. понятие длины )

${\boldsymbol {\mathsf {a}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {b}}}=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})$

где $\eta$ известен как метрический тензор . В специальной теории относительности метрический тензор — это метрика Минковского :

$\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Пространственно-временной интервал

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}={\begin{pmatrix}cdt&dx&dy&dz\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}cdt\\dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}$

Вышеупомянутое, дс ² известен как пространственно-временной интервал. Этот внутренний продукт инвариантен относительно преобразования Лоренца, то есть

$\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}}',{\boldsymbol {\mathsf {b}}}')=\eta \left(\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}},\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {b}}}\right)=\eta ({\boldsymbol {\mathsf {a}}},{\boldsymbol {\mathsf {b}}})$

Знак метрики и расположение временных терминов ct , ct' , cdt и cdt' могут варьироваться в зависимости от выбора автора. Например, во многих случаях термины, основанные на времени, располагаются первыми в четырех векторах, а за ними следуют пространственные термины. Кроме того, иногда η заменяется на − η , в результате чего пространственные члены вносят отрицательный вклад в скалярное произведение или пространственно-временной интервал, в то время как временной член вносит положительный вклад. Эти различия можно использовать в любой комбинации, при условии, что выбор стандартов полностью соблюдается на протяжении всех выполняемых вычислений.

Лоренц преобразует

Вышеупомянутое преобразование координат можно выразить через матрицу. Чтобы упростить ситуацию, лучше всего заменить t , t' , dt и dt' на ct , ct' , cdt и cdt' , которые имеют размерность расстояния. Так:

$x'=\gamma x-\gamma \beta ct\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$ct'=\gamma ct-\gamma \beta x\,$

тогда в матричной форме:

${\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Векторы в приведенном выше уравнении преобразования известны как четырехвекторы, в данном случае это, в частности, четырехпозиционные вектора. В общем, в специальной теории относительности четырехвекторы можно преобразовать из одной системы отсчета в другую следующим образом:

${\boldsymbol {\mathsf {a}}}'=\Lambda {\boldsymbol {\mathsf {a}}}$

В приведенном выше ${\boldsymbol {\mathsf {a}}}'$ и ${\boldsymbol {\mathsf {a}}}$ — это четырехвектор и преобразованный четырехвектор соответственно, а Λ — матрица преобразования, которая для данного преобразования одинакова для всех четырехвекторов, которые можно преобразовать. Так ${\boldsymbol {\mathsf {a}}}'$ может быть четырьмя векторами, представляющими положение, скорость или импульс, и один и тот же Λ может использоваться при преобразовании между одними и теми же двумя кадрами. Наиболее общее преобразование Лоренца включает повышение и вращение; компоненты сложны, и для преобразования требуются спиноры .

4-векторы и результаты, инвариантные к кадрам

Инвариантность и унификация физических величин возникают из четырехвекторов . Внутренний продукт 4-вектора сам на себя равен скаляру (по определению внутреннего продукта), и поскольку 4-вектора являются физическими величинами, их величины также соответствуют физическим величинам.

Свойство/эффект	3-векторный	4-векторный	Инвариантный результат
Пространственно-временные события	3-позиция: r = ( x 1 , x 2 , x 3 ) $\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \equiv r^{2}\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,\!$	4-позиция: X = ( ct , x 1 , x 2 , x 3 )	${\boldsymbol {\mathsf {X}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {X}}}=\left(c\tau \right)^{2}\,\!$ ${\begin{aligned}&\left(ct\right)^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\\&=\left(ct\right)^{2}-r^{2}\\&=-\chi ^{2}=\left(c\tau \right)^{2}\end{aligned}}\,\!$ τ = собственное время χ = правильное расстояние
Инвариантность импульса и энергии	$\mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} \,\!$ 3-импульс: p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) $\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} \equiv p^{2}\equiv p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\,\!$	4-импульс: P = ( E/c , p 1 , p 2 , p 3 ) ${\boldsymbol {\mathsf {P}}}=m{\boldsymbol {\mathsf {U}}}\,\!$	${\boldsymbol {\mathsf {P}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {P}}}=\left(mc\right)^{2}\,\!$ ${\begin{aligned}&\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)\\&=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-p^{2}\\&=\left(mc\right)^{2}\end{aligned}}\,\!$ что приводит к: $E^{2}=\left(pc\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}\,\!$ E = полная энергия m = инвариантная масса
Скорость	3-скорость: ты знак равно ( ты 1 , ты 2 , ты 3 ) $\mathbf {u} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\,\!$	4-скорость: U = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) ${\boldsymbol {\mathsf {U}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathsf {X}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)$	${\boldsymbol {\mathsf {U}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {U}}}=c^{2}\,\!$
Ускорение	3-ускорение: а = ( а 1 , а 2 , а 3 ) $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}\,\!$	4-ускорение: А = ( А 0 , А 1 , А 2 , А 3 ) ${\boldsymbol {\mathsf {A}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathsf {U}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma \left(c{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} +\gamma \mathbf {a} \right)$	${\boldsymbol {\mathsf {A}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {U}}}=0\,\!$
Сила	3-сила: f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) $\mathbf {f} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\!$	4-сила: F = ( F 0 , F 1 , F 2 , F 3 ) ${\boldsymbol {\mathsf {F}}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathsf {P}}}}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma m\left(c{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} +\gamma \mathbf {a} \right)$	${\boldsymbol {\mathsf {F}}}\cdot {\boldsymbol {\mathsf {U}}}=0\,\!$

Допплеровский сдвиг

Основная статья: Релятивистский эффект Доплера

Общий допплеровский сдвиг:

$\nu '=\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)$

Доплеровский сдвиг для излучателя и наблюдателя, движущихся навстречу друг другу (или прямо прочь):

$\nu '=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}$

Доплеровский сдвиг для излучателя и наблюдателя, движущихся в направлении, перпендикулярном соединяющей их линии:

$\nu '=\gamma \nu$

showВывод релятивистского доплеровского сдвига

If an object emits a beam of light or radiation, the frequency, wavelength, and energy of that light or radiation will look different to a moving observer than to one at rest with respect to the emitter. If one assumes that the observer is moving with respect to the emitter along the x-axis, then the standard Lorentz transformation of the four-momentum, which includes energy, becomes: ${\begin{pmatrix}{\frac {E'}{c}}\\p'_{x}\\p'_{y}\\p'_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}$ ${\frac {E'}{c}}=\gamma {\frac {E}{c}}-\gamma \beta p_{x}$ Now, if $p_{x}=\|p\|\cos \theta$ where θ is the angle between px and ${\vec {p}}$, and plugging in the formulas for frequency's relation to momentum and energy: ${\frac {h\nu '}{c}}=\gamma {\frac {h\nu }{c}}-\gamma \beta \left\Vert p\right\|\cos \theta =\gamma {\frac {h\nu }{c}}-\gamma \beta {\frac {h\nu }{c}}\cos \theta$ $\nu '=\gamma \nu -\gamma \beta \nu \cos \theta =\gamma \nu \left(1-\beta \cos \theta \right)$ This is the formula for the relativistic doppler shift where the difference in velocity between the emitter and observer is not on the x-axis. There are two special cases of this equation. The first is the case where the velocity between the emitter and observer is along the x-axis. In that case θ = 0, and cos θ = 1, which gives: ${\begin{aligned}\nu '&=\gamma \nu \left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {1}{\sqrt {\left(1-\beta \right)\left(1+\beta \right)}}}\left(1-\beta \right)\\&=\nu {\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\end{aligned}}$ This is the equation for doppler shift in the case where the velocity between the emitter and observer is along the x-axis. The second special case is that where the relative velocity is perpendicular to the x-axis, and thus θ = π/2, and cos θ = 0, which gives: $\nu '=\gamma \nu$ This is actually completely analogous to time dilation, as frequency is the reciprocal of time. So, doppler shift for emitters and observers moving perpendicular to the line connecting them is completely due to the effects of time dilation.

См. также

• Теория относительности
• Специальная теория относительности
• Общая теория относительности
• Список физических формул
• Определяющее уравнение (физическая химия)
• Определяющее уравнение
• Список уравнений классической механики
• Таблица термодинамических уравнений
• Список уравнений волновой теории
• Список уравнений гравитации
• Список уравнений электромагнетизма
• Список уравнений фотоники
• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц

Источники

• Энциклопедия физики (2-е издание) , Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Динамика и относительность , Дж. Р. Форшоу, А. Г. Смит, Уайли, 2009 г., ISBN   978-0-470-01460-8
• «Относительность разоблачена» , Д. МакМэхон, МакГроу Хилл (США), 2006, ISBN   0-07-145545-0
• Кембриджский справочник физических формул , Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-57507-2 .
• Введение в механику , Д. Клеппнер, Р. Дж. Коленков, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-19821-9