Линейная сложная структура

В математике — сложная структура в реальном векторном пространстве. $V$ является автоморфизмом $V$ это квадраты с минусовым тождеством , $-Id_{V}$ . Такая структура на $V$ позволяет определить умножение на комплексные скаляры каноническим образом, чтобы учитывать $V$ как комплексное векторное пространство .

Каждое комплексное векторное пространство может быть каноническим образом снабжено совместимой комплексной структурой; однако канонической комплексной структуры вообще не существует. Комплексные структуры имеют приложения в теории представлений, а также в комплексной геометрии , где они играют существенную роль в определении почти комплексных многообразий , в отличие от комплексных многообразий . Термин «сложная структура» часто относится к этой структуре на многообразиях; когда вместо этого оно относится к структуре в векторных пространствах, его можно назвать линейной комплексной структурой .

Определение и свойства

в Сложная структура реальном векторном пространстве $V$ это настоящее линейное преобразование $J:V\to V$ такой, что $J^{2}=-Id_{V}.$ Здесь $J^{2}$ означает $J$ состоит из самого себя и $Id_{V}$ это карта идентичности на $V$ . То есть эффект от применения $J$ дважды - это то же самое, что умножить на $-1$ . Это напоминает умножение на мнимую единицу , $i$ . Сложная структура позволяет наделить $V$ со структурой комплексного векторного пространства . Комплексное скалярное умножение можно определить как $(x+iy){\vec {v}}=x{\vec {v}}+yJ({\vec {v}})$ для всех действительных чисел $x,y$ и все векторы ${\vec {v}}$ в $В.$ Можно проверить, что это действительно дает $V$ структуру комплексного векторного пространства, которое мы обозначаем $V_{J}$ .

Идем в другом направлении, если начать с комплексного векторного пространства. $W$ тогда можно определить сложную структуру в базовом реальном пространстве, определив $Jw=iw~~\forall w\in W$ .

Более формально, линейная комплексная структура в действительном векторном пространстве представляет собой алгебраическое представление комплексных чисел. $\mathbb {C}$ , рассматриваемая как ассоциативная алгебра над действительными числами . Эта алгебра реализуется конкретно как $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),$ что соответствует $i^{2}=-1$ . Тогда представление $\mathbb {C}$ это реальное векторное пространство $V$ , вместе с действием $\mathbb {C}$ на $V$ (карта $\mathbb {C} \rightarrow {\text{End}}(V)$ ). Конкретно это просто действие $i$ , поскольку это порождает алгебру и оператор, представляющий $i$ (изображение $i$ в ${\text{End}}(V)$ ) это точно $J$ .

Если $V_{J}$ имеет комплексную размерность $n$ затем $V$ должно иметь реальное измерение $2n$ . То есть конечномерное пространство $V$ допускает сложную структуру только в том случае, если оно четномерно. Нетрудно видеть, что любое четномерное векторное пространство допускает сложную структуру. Можно определить $J$ на парах $e,f$ базисных по векторов $Je=f$ и $Jf=-e$ а затем распространить по линейности на все $V$ . Если $(v_{1},\dots ,v_{n})$ является основой комплексного векторного пространства $V_{J}$ затем $(v_{1},Jv_{1},\dots ,v_{n},Jv_{n})$ является основой лежащего в основе реального пространства $V$ .

Настоящее линейное преобразование $A:V\rightarrow V$ является комплексным линейным преобразованием соответствующего комплексного пространства $V_{J}$ тогда и только тогда, когда $A$ ездит с $J$ , т.е. тогда и только тогда, когда $AJ=JA.$ Аналогично, настоящее подпространство $U$ из $V$ представляет собой комплексное подпространство $V_{J}$ тогда и только тогда, когда $J$ сохраняет $U$ , т.е. тогда и только тогда, когда $JU=U.$

Примеры

Элементарный пример

Коллекция $2\times 2$ реальные матрицы $\mathbb {M} (2,\mathbb {R} )$ над реальным полем является 4-мерным. Любая матрица

J={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}},~~a^{2}+bc=-1

имеет квадрат, равный отрицательному значению единичной матрицы. Сложная структура может образовываться в $\mathbb {M} (2,\mathbb {R} )$ : с единичной матрицей $I$ , элементы $xI+yJ$ , с помощью матричного умножения образуют комплексные числа.

Комплексное n -мерное пространство C ^н

Фундаментальным примером линейной комплексной структуры является структура на R ^22н исходящий из сложной структуры на C ^н. То есть комплексное n -мерное пространство C ^н также является реальным 2 n -мерным пространством – с использованием того же сложения векторов и вещественного скалярного умножения – в то время как умножение на комплексное число i – это не только комплексное линейное преобразование пространства, рассматриваемое как комплексное векторное пространство, но и действительное линейное преобразование пространства, рассматриваемое как реальное векторное пространство. Конкретно, это потому, что скалярное умножение на i коммутирует со скалярным умножением на действительные числа. $i(\lambda v)=(i\lambda )v=(\lambda i)v=\lambda (iv)$ – и распределяется по векторному сложению. Как комплексная матрица размера n × n , это просто скалярная матрица с i на диагонали. Соответствующая вещественная матрица размером 2 n × 2 n обозначается J .

Учитывая основу $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\right\}$ для комплексного пространства это множество вместе с этими векторами, умноженными на i, а именно $\left\{ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\},$ составляют основу реального пространства. Есть два естественных способа упорядочить этот базис, абстрактно соответствующие тому, записывают ли тензорное произведение как $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ или вместо этого как $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{n}.$

Если заказать базис как $\left\{e_{1},ie_{1},e_{2},ie_{2},\dots ,e_{n},ie_{n}\right\},$ тогда матрица для J принимает блочно-диагональную форму (добавлены индексы для обозначения размерности): $J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\\&&0&-1\\&&1&0\\&&&&\ddots \\&&&&&\ddots \\&&&&&&0&-1\\&&&&&&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{2}\\&J_{2}\\&&\ddots \\&&&J_{2}\end{bmatrix}}.$ Такое упорядочение имеет то преимущество, что оно учитывает прямые суммы комплексных векторных пространств, а это означает, что основа для $\mathbb {C} ^{m}\oplus \mathbb {C} ^{n}$ то же самое, что и для $\mathbb {C} ^{m+n}.$

С другой стороны, если заказать базис как $\left\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n},ie_{1},ie_{2},\dots ,ie_{n}\right\}$ , то матрица для J блочно-антидиагональная: $J_{2n}={\begin{bmatrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{bmatrix}}.$ Такое упорядочение будет более естественным, если рассматривать комплексное пространство как прямую сумму реальных пространств, как обсуждается ниже.

Данные реального векторного пространства и матрицы J точно такие же, как данные комплексного векторного пространства, поскольку матрица J позволяет определять комплексное умножение. На уровне алгебр Ли и групп Ли это соответствует включению gl( n , C ) в gl(2 n , R ) (алгебры Ли – матрицы, не обязательно обратимые) и GL( n , C ) в GL( 2 н , Р ):

gl( n , C ) < gl( 2n , R ) и GL( n , C ) <GL( 2n , R ).

Включение соответствует забвению комплексной структуры (и сохранению только вещественной структуры), тогда как подгруппу GL( n , C ) можно охарактеризовать (задать в уравнениях) как матрицы, коммутирующие с J: $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )\mid AJ=JA\right\}.$ Соответствующее утверждение об алгебрах Ли состоит в том, что подалгебрами gl( n , C комплексных матриц ) являются те, у которых скобка Ли с J обращается в нуль, что означает $[J,A]=0;$ другими словами, как ядро отображения брекетинга с J, $[J,-].$

Обратите внимание, что определяющие уравнения для этих утверждений одни и те же: $AJ=JA$ то же самое, что $AJ-JA=0,$ что то же самое, что $[A,J]=0,$ хотя смысл исчезновения скобки Ли менее очевиден с геометрической точки зрения, чем смысл коммутации.

Прямая сумма

Если V — любое вещественное векторное пространство, существует каноническая комплексная структура прямой суммы V ⊕ V , заданная формулой $J(v,w)=(-w,v).$ Форма матрицы J : блочной $J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}$ где $I_{V}$ является тождественным отображением на V . Это соответствует комплексной структуре тензорного произведения $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }V.$

Совместимость с другими конструкциями

Если $B$ — билинейная форма на $V$ , то мы говорим, что $J$ сохраняет $B,$ если $B(Ju,Jv)=B(u,v)$ для $ты, v \in V.$ всех Эквивалентная характеристика состоит в том, $J$ кососопряжен что относительно $B$ : $B(Ju,v)=-B(u,Jv).$

Если $g$ — скалярное произведение на $V$ , то $J$ сохраняет $g$ тогда и только тогда, когда $J$ — ортогональное преобразование . Аналогично, $J$ сохраняет невырожденную кососимметрическую J форму $ω$ тогда и только тогда, когда $является$ симплектическим преобразованием (т. е. если ${\textstyle \omega (Ju,Jv)=\omega (u,v)}$ ). Для симплектических форм $ω$ интересное условие совместимости между $J$ и $ω$ состоит в том, что $\omega (u,Ju)>0$ выполняется для всех ненулевых $u$ в $V$ . Если это условие выполнено, то мы говорим, что $укрощает$ ω $($ синонимно: что $ω$ ручная относительно J $J$ ; что $J$ ручная относительно ω $; или$ что пара ${\textstyle (\omega ,J)}$ является ручным).

Учитывая симплектическую форму $ω$ и линейную комплексную структуру $J$ на $V$ , можно определить ассоциированную билинейную форму $g J$ на $V$ следующим образом: $g_{J}(u,v)=\omega (u,Jv).$ Поскольку симплектическая форма невырождена, то и связанная с ней билинейная форма невырождена. Соответствующая форма сохраняется $J$ тогда и только тогда, когда сохраняется симплектическая форма. Более того, если симплектическая форма сохраняется $J$ , то ассоциированная форма симметрична. Если, кроме того, $ω$ укрощается $J$ , то ассоциированная форма положительно определена . Таким образом, в этом случае $V$ является пространством внутреннего продукта относительно $g J$ .

Если симплектическая форма $ω$ сохраняется (но не обязательно укрощается) $J$ , то $g J$ является вещественной частью ( эрмитовой формы по соглашению антилинейной по первому аргументу) ${\textstyle h_{J}\colon V_{J}\times V_{J}\to \mathbb {C} }$ определяется $h_{J}(u,v)=g_{J}(u,v)+ig_{J}(Ju,v)=\omega (u,Jv)+i\omega (u,v).$

Отношение к комплексификациям

Учитывая любое действительное векторное пространство V, мы можем определить его комплексификацию путем расширения скаляров :

V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .

комплексная размерность которого равна действительной размерности V. Это комплексное векторное пространство , Он имеет каноническое комплексное сопряжение, определяемое формулой

{\overline {v\otimes z}}=v\otimes {\bar {z}}

Если J — комплексная структура на V , мы можем расширить J по линейности до V ^С:

J(v\otimes z)=J(v)\otimes z.

Поскольку C , алгебраически замкнут J гарантированно имеет собственные значения , удовлетворяющие λ ² = −1, а именно λ = ± i . Таким образом, мы можем написать

V^{\mathbb {C} }=V^{+}\oplus V^{-}

где В ⁺ и В. ⁻ являются собственными пространствами + i и − i соответственно. Комплексное сопряжение V ⁺ и В. ⁻. Проекция отображается на V ^± собственные пространства задаются формулой

{\mathcal {P}}^{\pm }={1 \over 2}(1\mp iJ).

Так что

V^{\pm }=\{v\otimes 1\mp Jv\otimes i:v\in V\}.

существует естественный комплексный линейный изоморфизм Между V _J и V ⁺, поэтому эти векторные пространства можно считать одинаковыми, а V ⁻ можно рассматривать как -сопряженный V J _. комплексно

Обратите внимание: если V _J имеет комплексную размерность n, то оба V ⁺ и В. ⁻ имеют комплексную размерность n, а V ^С имеет комплексную размерность 2 n .

Абстрактно, если начать с комплексного векторного пространства W и взять комплексификацию лежащего в основе реального пространства, получится пространство, изоморфное прямой сумме W и сопряженного ему пространства:

W^{\mathbb {C} }\cong W\oplus {\overline {W}}.

Расширение на связанные векторные пространства

Пусть V вещественное векторное пространство со сложной структурой J. — Двойственное пространство V * имеет естественную комплексную структуру J заданную двойственным (или транспонированным ) пространством J. * , Комплексификация дуального пространства ( V *) ^С поэтому имеет естественное разложение

(V^{*})^{\mathbb {C} }=(V^{*})^{+}\oplus (V^{*})^{-}

в ± i собственные пространства J *. При естественной идентификации ( V *) ^С с ( В ^С)* можно охарактеризовать ( V *) ⁺ как те комплексные линейные функционалы, которые обращаются в нуль на V ⁻. Аналогично ( В *) ⁻ состоит из тех комплексных линейных функционалов, которые обращаются в нуль на V ⁺.

(Комплексные) тензорные , симметричные и внешние алгебры над V ^С также допускают разложение. Внешняя алгебра, пожалуй, самое важное применение этого разложения. В общем, если векторное пространство U допускает разложение U = S ⊕ T , то внешние степени U можно разложить следующим образом:

\Lambda ^{r}U=\bigoplus _{p+q=r}(\Lambda ^{p}S)\otimes (\Lambda ^{q}T).

Поэтому комплексная структура J на V индуцирует разложение

\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Lambda ^{p,q}\,V_{J}

где

\Lambda ^{p,q}\,V_{J}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,(\Lambda ^{p}\,V^{+})\otimes (\Lambda ^{q}\,V^{-}).

Все внешние степени берутся за комплексные числа. Итак, если V _J имеет комплексную размерность n (действительная размерность 2 n ), то

\dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{r}\,V^{\mathbb {C} }={2n \choose r}\qquad \dim _{\mathbb {C} }\Lambda ^{p,q}\,V_{J}={n \choose p}{n \choose q}.

Размеры складываются правильно, что обусловлено личностью Вандермонда .

Пространство ( p , q )-форм Λ ^{п , д} V _J * — пространство (комплексных) полилинейных форм на V ^С которые исчезают на однородных элементах, если p не принадлежат V ⁺ и q взяты из V ⁻. Также можно рассматривать Λ ^{п , д} V _J * как пространство вещественных полилинейных отображений из V _J в C , которые являются комплексными линейными в терминах p и сопряженно-линейными в терминах q .

См. сложную дифференциальную форму и почти комплексное многообразие для применения этих идей.

См. также

Ссылки

Кобаяши С. и Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии , John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7 . (сложные структуры обсуждаются в томе II, главе IX, разделе 1).
Будинич П. и Траутман А. Спинориальная шахматная доска , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (сложные структуры обсуждаются в разделе 3.1).
Гольдберг С.И., Кривизна и гомология , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (комплексные структуры и почти комплексные многообразия обсуждаются в разделе 5.2).