Решетка Кокстера – Тодда
В математике решетка Кокстера-Тодда K 12 , открытая Кокстером и Тоддом ( 1953 ), представляет собой 12-мерную четную целую решетку дискриминанта 3. 6 без векторов нормы-2. Это подрешетка решетки Лича , зафиксированная некоторым автоморфизмом порядка 3, аналогичная решетке Барнса – Уолла . Группа автоморфизмов решетки Кокстера–Тодда имеет порядок 2. 10 ·3 7 ·5·7=78382080, и в этой решетке нормы 4 756 векторов (самых коротких ненулевых векторов в этой решетке).
Характеристики
[ редактировать ]Решетку Кокстера-Тодда можно превратить в 6-мерную самодвойственную решетку над целыми числами Эйзенштейна . Группа автоморфизмов этой комплексной решетки имеет индекс 2 в полной группе автоморфизмов решетки Кокстера–Тодда и представляет собой комплексную группу отражений (номер 34 в списке) со структурой 6.PSU 4 ( F 3 ).2, называемую группой Митчелла. группа .
Род . решетки Коксетера-Тодда был описан ( Scharlau & Venkov 1995 ) и имеет 10 классов изометрии: все они, кроме решетки Кокстера-Тодда, имеют корневую систему максимального ранга 12
Строительство
[ редактировать ]На основе веб-страницы Nebe мы можем определить K 12 , используя следующие 6 векторов в 6-мерных комплексных координатах. ω – комплексное число порядка 3, т.е. ω 3 =1.
(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0),
½(1,ω,ω,1,0,0), ½(ω,1,ω,0,1,0), ½(ω,ω,1,0,0,1),
Сложив векторы, имеющие скалярное произведение -½, и умножив на ω, мы можем получить все векторы решетки. У нас есть 15 комбинаций двух нулей, умноженных на 16 возможных знаков, что дает 240 векторов; плюс 6 единичных векторов, умноженные на 2 для знаков, дают 240+12=252 вектора. Умножив его на 3, используя умножение на ω, мы получим 756 единичных векторов в решетке K 12 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]Решетка Коксетера-Тодда подробно описана в ( Conway & Sloane 1999 , раздел 4.9) и ( Conway & Sloane 1983 ).
Ссылки
[ редактировать ]- Конвей, Дж. Х.; Слоан, Нью-Джерси (1983), «Решетка Кокстера-Тодда, группа Митчелла и связанные с ней упаковки сфер», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 93 (3): 421–440, Bibcode : 1983MPCPS..93..421C , дои : 10.1017/С0305004100060746 , МР 0698347
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Основы математических наук, том. 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5 , МР 0920369
- Коксетер, HSM; Тодд, Дж. А. (1953), «Крайняя дуоденальная форма», Canadian Journal of Mathematics , 5 : 384–392, doi : 10.4153/CJM-1953-043-4 , MR 0055381
- Шарлау, Рудольф; Венков, Борис Б. (1995), «Род решетки Кокстера-Тодда» , препринт , заархивировано из оригинала 12 июня 2007 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Решетка Кокстера – Тодда в каталоге решеток Слоана