наблюдаемый

Эта статья об использовании в физике. Чтобы узнать об использовании в статистике, см. «Наблюдаемая переменная» . Чтобы узнать об использовании в теории управления, см. Наблюдаемость . Информацию об использовании в разработке программного обеспечения см. в разделе «Шаблон наблюдателя» .

В физике наблюдаемая — это физическое свойство или физическая величина , которую можно измерить . В классической механике наблюдаемая — это вещественная «функция» на множестве всех возможных состояний системы, например положения и импульса . В квантовой механике наблюдаемая — это оператор или калибровка , в которой свойство квантового состояния может быть определено некоторой последовательностью операций . Например, эти операции могут включать в себя воздействие на систему различных электромагнитных полей и, в конечном итоге, считывание значения.

Физически значимые наблюдаемые также должны удовлетворять законам преобразования , которые связывают наблюдения, выполненные разными наблюдателями в разных системах отсчета . Эти законы преобразования являются автоморфизмами пространства состояний , то есть биективными преобразованиями , сохраняющими определенные математические свойства рассматриваемого пространства.

Квантовая механика

В квантовой механике наблюдаемые проявляются как самосопряженные операторы в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве, представляющем пространство квантовых состояний . Наблюдаемые присваивают значения результатам конкретных измерений , соответствующие собственному значению оператора. Если эти результаты представляют собой физически допустимые состояния (т. е. те, которые принадлежат гильбертовому пространству), собственные значения действительны ; однако обратное не обязательно верно. Как следствие, только определенные измерения могут определить значение наблюдаемой для некоторого состояния квантовой системы. В классической механике любое для определения значения наблюдаемой можно провести измерение.

Связь между состоянием квантовой системы и значением наблюдаемой требует для своего описания некоторой линейной алгебры . В математической формулировке квантовой механики с точностью до фазовой константы чистые состояния задаются ненулевыми векторами в пространстве V. гильбертовом два вектора v и w определяют одно и то же состояние тогда и только тогда, когда Считается, что $\mathbf {w} =c\mathbf {v}$ для некоторого ненулевого $c\in \mathbb {C}$. Наблюдаемые задаются самосопряженными операторами на V . Не каждый самосопряженный оператор соответствует физически значимой наблюдаемой. Кроме того, не все физические наблюдаемые связаны с нетривиальными самосопряженными операторами. Например, в квантовой теории масса появляется как параметр гамильтониана, а не как нетривиальный оператор.

В случае законов преобразований в квантовой механике требуемыми автоморфизмами являются унитарные (или антиунитарные ) линейные преобразования гильбертова V. пространства В рамках теории относительности Галилея или специальной теории относительности математика систем отсчета особенно проста, что значительно ограничивает набор физически значимых наблюдаемых.

В квантовой механике измерение наблюдаемых демонстрирует некоторые, казалось бы, неинтуитивные свойства. В частности, если система находится в состоянии, описываемом вектором в гильбертовом пространстве , процесс измерения влияет на состояние недетерминированным, но статистически предсказуемым образом. В частности, после применения измерения описание состояния одним вектором может быть уничтожено, заменено статистическим ансамблем . Необратимый характер операций измерения в квантовой физике иногда называют проблемой измерения и математически описывается квантовыми операциями . По структуре квантовых операций это описание математически эквивалентно тому, которое предлагает интерпретация относительного состояния , когда исходная система рассматривается как подсистема более крупной системы, а состояние исходной системы задается частичным следом состояния более крупная система.

В квантовой механике динамические переменные $A$ такие как положение, поступательный (линейный) момент , орбитальный угловой момент , спин и полный угловой момент, каждый связан с самосопряженным оператором ${\hat {A}}$ которое влияет на состояние квантовой системы. Собственные значения оператора ${\hat {A}}$ соответствуют возможным значениям, которые может иметь динамическая переменная. Например, предположим $|\psi _{a}\rangle$ является собственным вектором наблюдаемой ${\hat {A}}$, с собственным значением $a$и существует в гильбертовом пространстве . Затем $${\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .$$

Это уравнение собственной схемы гласит, что если измерение наблюдаемой ${\hat {A}}$ производится, пока система интересов находится в состоянии $|\psi _{a}\rangle$, то наблюдаемое значение этого конкретного измерения должно возвращать собственное значение $a$ с уверенностью. Однако если интересующая система находится в общем состоянии $|\phi \rangle \in {\mathcal {H}}$ (и $|\phi \rangle$ и $|\psi _{a}\rangle$ являются единичными векторами , а собственное пространство $a$ одномерно), то собственное значение $a$ возвращается с вероятностью $|\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}$по правилу Борна .

Совместимые и несовместимые наблюдаемые в квантовой механике

Принципиальное различие между классическими величинами и квантовомеханическими наблюдаемыми заключается в том, что некоторые пары квантовых наблюдаемых не могут быть измеримы одновременно — свойство, называемое дополнительностью . Математически это выражается некоммутативностью соответствующих им операторов, т. е. коммутатор $$\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.$$

Это неравенство выражает зависимость результатов измерений от порядка измерения наблюдаемых величин. ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ выполняются. Измерение ${\hat {A}}$ изменяет квантовое состояние таким образом, что это несовместимо с последующим измерением ${\hat {B}}$ и наоборот.

Наблюдаемые, соответствующие коммутирующим операторам, называются совместимыми наблюдаемыми . Например, импульс вдоль, скажем, $x$ и $y$ оси совместимы. Наблюдаемые, соответствующие некоммутирующим операторам, называются несовместимыми наблюдаемыми или дополнительными переменными . Например, положение и импульс вдоль одной оси несовместимы.

Несовместимые наблюдаемые не могут иметь полный набор общих собственных функций . Обратите внимание, что могут существовать несколько одновременных собственных векторов ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$, но их недостаточно для того, чтобы составить полную основу .

См. также

• Мера (физика)
• Наблюдаемая Вселенная
• Наблюдатель (квантовая физика)
• Таблица операторов QM
• Ненаблюдаемый

Дальнейшее чтение

• Ауян, Санни Ю. (1995). Как возможна квантовая теория поля? . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0195093452 .
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2019). Квантовая механика, Том 1 . Вайнхайм: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-3-527-34553-3 .
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN  978-1-4704-1704-8 .
• фон Нейман, Джон (1996). Математические основы квантовой механики . Перевод Роберта Т. Бейера (12. печат., 1. печат. в мягкой обложке. Изд.). Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет. Нажимать. ISBN  978-0691028934 .
• Варадараджан, В.С. (2007). Геометрия квантовой теории (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9780387493862 .
• Вейль, Герман (2009). «Приложение C: Квантовая физика и причинность». Философия математики и естествознания . Переработанное и дополненное английское издание на основе перевода Олафа Хельмера. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 253–265. ISBN  9780691141206 .
• Моретти, Вальтер (2017). Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку (2-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3319707068 .
• Моретти, Вальтер (2019). Фундаментальные математические структуры квантовой теории: спектральная теория, фундаментальные проблемы, симметрии, алгебраические формулировки . Спрингер. ISBN  978-3030183462 .