Почти кэлерово многообразие

В математике почти кэлерово многообразие — это почти эрмитово многообразие. $M$, с почти сложной структурой $J$, такой, что (2,1)-тензор $\nabla J$ является кососимметричным . Так,

$(\nabla _{X}J)X=0$

для каждого векторного поля $X$ на $M$.

В частности, кэлерово многообразие почти кэлерово. Обратное неверно. Например, почти кэлерова шестисфера $S^{6}$ является примером почти кэлерова многообразия, которое не является кэлером. Знакомая почти сложная структура шестисферы не вызвана сложным атласом на $S^{6}$. Обычно некелеровы почти кэлеровы многообразия называют «строгими почти кэлеровыми многообразиями».

Почти кэлеровы многообразия, также известные как почти многообразия Тачибаны, были изучены Сюнъити Татибаной в 1959 году. а затем, Альфредом Греем . с 1970 года, Например, было доказано, что любое 6-мерное строгое почти кэлерово многообразие является многообразием Эйнштейна и имеет исчезающий первый класс Черна. (в частности, это подразумевает спин). В 1980-х годах строгие, почти кэлеровы многообразия привлекли большое внимание из-за их связи с Киллингом. спиноры : Томас Фридрих и Ральф Грюневальд показали, что 6-мерное риманово многообразие допускает риманов спинор Киллинга тогда и только тогда, когда он почти кэлеров. Позже этому было дано более фундаментальное объяснение. Кристиан Бар, который отметил, что это именно те 6-многообразия, для которых соответствующий 7-мерный риманов конус обладает голономией G ₂ .

Единственные компактные односвязные 6-многообразия, допускающие строгие, почти кэлеровы метрики, — это $S^{6},\mathbb {C} \mathbb {P} ^{3},\mathbb {P} (T\mathbb {CP} _{2})$, и $S^{3}\times S^{3}$. Каждый из них допускает такую ​​уникальную почти кэлерову метрику, которая также является однородной, и эти примеры фактически являются единственными компактными однородными строго почти кэлеровыми 6-многообразиями. Однако Фосколо и Хаскинс недавно показали, что $S^{6}$ и $S^{3}\times S^{3}$ также допускают строгие, почти кэлеровы метрики, которые не являются однородными.

Наблюдение Бэра о голономии римановых конусов может показаться указанием на то, что условие почти кэлера наиболее естественно и интересно в размерности 6. Это на самом деле подтверждается теоремой Надя, который доказал, что любое строгое, полное почти кэлерово многообразие является локально римановым произведением однородных почти кэлеровых пространств, твисторных пространств над кватернион-кэлеровыми многообразиями и 6-кэлеровых многообразий. размерные почти кэлеровы многообразия.

Почти кэлеровы многообразия также представляют собой интересный класс многообразий, допускающих метрическую связность с параллельное полностью антисимметричное кручение.

Почти кэлеровы многообразия не следует путать с почти кэлеровыми многообразиями . Почти кэлерово многообразие $M$ — почти эрмитово многообразие с замкнутой кэлеровой формой : $d\omega =0$. Форма Кэлера или фундаментальная 2-форма $\omega$ определяется

$\omega (X,Y)=g(JX,Y),$

где $g$ это показатель на $M$. Условие почти кэлера и условие почти кэлера по существу исключают: почти эрмитово многообразие является одновременно почти кэлером и почти кэлером тогда и только тогда, когда оно кэлерово.