BPST инстантон

ДХ ​ ¹ ⊗σ ₃ коэффициент BPST-инстантона на (x ¹ ,х ² ) -кусок R ⁴ где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). ДХ ​ ² Коэффициент ⊗σ ₃ (справа вверху). Эти коэффициенты A ₁ ³ и А ₂ ³ определить ограничение BPST-инстантона A с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ Р ​ ⁴ (внизу справа).

В теоретической физике инстантон BPST — это инстантон с обмоткой номер 1, найденный Александром Белавиным , Александром Поляковым , Альбертом Шварцем и Ю. С. Тюпкин . Это классическое решение уравнений движения SU (2) теории Янга – Миллса в евклидовом пространстве-времени (т.е. после вращения Вика ), то есть оно описывает переход между двумя различными топологическими вакуумами теории. Первоначально надеялись открыть путь к решению проблемы конфайнмента , тем более что в 1975 году Поляков доказал, что инстантоны являются причиной конфайнмента в трехмерной компактной КЭД. Однако эта надежда не оправдалась.

Описание

Инстантон

Инстантон BPST имеет нетривиальное число витков , которое можно представить как нетривиальное отображение окружности на себя.

Инстантон BPST представляет собой существенно непертурбативное классическое решение уравнений поля Янга – Миллса. Он находится при минимизации Янга–Миллса SU(2) плотности лагранжиана :

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{\mu \nu }^{a}$

с F _µν ^а = ∂ _μ A _ν ^а – ∂ _ν A _μ ^а + г ε ^абв А _мкм ^б н _​ ^с поля напряженность . Инстантон является решением с конечным действием, так что F _µν должно стремиться к нулю в бесконечности пространства-времени, а это означает, что A _µ переходит в чисто калибровочную конфигурацию. Пространственно-временная бесконечность нашего четырёхмерного мира равна S ³ . Калибровочная группа SU(2) имеет точно такую ​​же структуру, поэтому решения с чистой калибровкой A _µ на ​​бесконечности являются отображениями из S ³ на себя. Эти отображения можно пометить целым числом q , индексом Понтрягина (или номером витка ). Инстантоны имеют q = 1 и, таким образом, соответствуют (на бесконечности) калибровочным преобразованиям, которые не могут быть непрерывно деформированы к единице. Таким образом, решение BPST топологически стабильно.

Можно показать, что автодуальные конфигурации, подчиняющиеся соотношению F _µν ^а = ± ⁠ 1/2 ​ ⁠ е ​ ^мнав Избранное _​ ^а минимизировать действие. Решения со знаком плюс называются инстантонами, со знаком минус — антиинстантонами.

Можно показать, что инстантоны и антиинстантоны минимизируют локальное действие следующим образом:

${\tilde {F}}_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$, где ${\tilde {F}}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu }^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }$.

$S=\int dx^{4}{\frac {1}{4}}F^{2}=\int dx^{4}{\frac {1}{8}}(F\pm {\tilde {F}})^{2}\mp \int dx^{4}{\frac {1}{4}}F{\tilde {F}}$

Первый член минимизируется самодуальными или антиавтодуальными конфигурациями, тогда как последний член является полной производной и, следовательно, зависит только от границы (т.е. $x\rightarrow \infty$) раствора; следовательно, это топологический инвариант , и можно показать, что оно равно целому числу, умноженному на некоторую константу (константа здесь равна ${\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}$). Целое число называется инстантонным числом (см. Гомотопическую группу ).

Явно инстантонное решение имеет вид

$A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\eta _{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}$

где z _{µ -} центр, а ρ - масштаб инстантона. η ^а _μν — символ 'т Хофта :

$\eta _{\mu \nu }^{a}={\begin{cases}\epsilon ^{a\mu \nu }&\mu ,\nu =1,2,3\\-\delta ^{a\nu }&\mu =4\\\delta ^{a\mu }&\nu =4\\0&\mu =\nu =4\end{cases}}.$

Для большого х ² , ρ становится пренебрежимо малым и калибровочное поле приближается к чистому калибровочному преобразованию: ${\frac {x^{0}+i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\sigma } }{\sqrt {x^{2}}}}$. Действительно, напряженность поля равна:

${\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{F^{a}}_{jk}={F^{a}}_{0i}={\frac {4{\rho }^{2}\delta _{ai}}{g(x^{2}+\rho ^{2})^{2}}}$

и приближается к нулю так же быстро, как r ⁻⁴ на бесконечности.

Анти-инстантон описывается аналогичным выражением, но с заменой символа 'т Хоофт на символ анти-'т Хоофт. ${\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}$, который равен обычному символу 'т Хофта, за исключением того, что компоненты с одним из индексов Лоренца, равным четырем, имеют противоположный знак.

Решение BPST имеет много симметрий. Переводы и расширения преобразуют решение в другие решения. Инверсия координат ( x ^м → х ^м / х ² ) преобразует инстантон размера ρ в антиинстантон размера 1/ρ и наоборот. Вращения в евклидовом четырехмерном пространстве и специальные конформные преобразования оставляют решение инвариантным (с точностью до калибровочного преобразования).

Классическое действие инстантона равно

$S={\frac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}.$

эта величина имеет экспоненциальную форму, Поскольку в формализме интеграла по путям это по существу непертурбативный эффект, поскольку функция e ^{−1/ х^2} имеет исчезающий ряд Тейлора в начале координат, несмотря на то, что в других местах он отличен от нуля.

Другие датчики

Приведенное выше выражение для инстантона BPST находится в так называемой регулярной калибровке Ландау . Существует другая форма, калибровочно эквивалентная приведенному выше выражению, в сингулярной калибровке Ландау . В обеих этих калибровках выражение удовлетворяет условию ∂ _µ A ^м = 0. В сингулярной калибровке инстантон равен

$A_{\mu }^{a}(x)={\frac {2}{g}}{\frac {\rho ^{2}}{(x-z)^{2}}}{\frac {{\bar {\eta }}_{\mu \nu }^{a}(x-z)_{\nu }}{(x-z)^{2}+\rho ^{2}}}.$

В сингулярной калибровке выражение имеет особенность в центре инстантона, но стремится к нулю быстрее при переходе x к бесконечности.

При работе в других калибровках, кроме калибровки Ландау, в литературе можно встретить аналогичные выражения.

Обобщение и встраивание в другие теории

При конечной температуре инстантон BPST обобщается до так называемого калорона .

Сказанное выше справедливо для теории Янга–Миллса с SU(2) в качестве калибровочной группы. Его легко обобщить на произвольную неабелеву группу. Тогда инстантоны задаются инстантоном BPST для некоторых направлений в групповом пространстве и нулем в других направлениях.

Обращаясь к теории Янга-Миллса со спонтанным нарушением симметрии из-за механизма Хиггса , можно обнаружить, что инстантоны BPST больше не являются точными решениями уравнений поля. Для нахождения приближенных решений можно использовать формализм связанных инстантонов.

Инстантон газ и жидкость

В КХД

Ожидается, что BPST-подобные инстантоны играют важную роль в вакуумной структуре КХД . Инстантоны действительно обнаруживаются при расчетах на решетке . Первые вычисления, выполненные с инстантонами, использовали приближение разбавленного газа. Полученные результаты не решили инфракрасную проблему КХД, что заставило многих физиков отвернуться от инстантонной физики. Однако позже была предложена модель инстантонной жидкости , которая оказалась более многообещающим подходом.

Модель разбавленного инстантонного газа исходит из предположения, что вакуум КХД состоит из газа инстантонов BPST. Хотя точно известны только решения с одним или несколькими инстантонами (или антиинстантонами), разбавленный газ инстантонов и антиинстантонов можно аппроксимировать, рассматривая суперпозицию одноинстантонных решений на больших расстояниях друг от друга. 'т Хофт рассчитал эффективное действие для такого ансамбля: и он обнаружил инфракрасную расходимость для больших инстантонов, а это означает, что бесконечное количество бесконечно больших инстантонов будет заселять вакуум.

Позже модель инстантонной жидкости была изучена . Эта модель исходит из предположения, что ансамбль инстантонов не может быть описан простой суммой отдельных инстантонов. Были предложены различные модели, вводящие взаимодействия между инстантонами или использующие вариационные методы (например, «приближение долины»), стремясь как можно точнее аппроксимировать точное многоинстантонное решение. Достигнуты многие феноменологические успехи. Удержание, по-видимому, является самой большой проблемой в теории Янга-Миллса, на которую у инстантонов нет никакого ответа.

В электрослабой теории

Слабое взаимодействие описывается уравнением SU(2), так что можно ожидать, что и здесь будут играть роль инстантоны. Если это так, они вызовут нарушение барионного числа . Благодаря механизму Хиггса инстантоны больше не являются точными решениями, вместо этого можно использовать приближения. Один из выводов состоит в том, что наличие массы калибровочного бозона подавляет большие инстантоны, поэтому приближение инстантонного газа является состоятельным.

Благодаря непертурбативной природе инстантонов все их эффекты подавляются в e раз. ^{-16р. 2 / г 2} , что в электрослабой теории имеет порядок 10 ⁻¹⁷⁹ .

Другие решения уравнений поля

Инстантон и антиинстантон не являются единственными решениями уравнений поля Янга – Миллса, вращающихся по Вику. Мультиинстантонные решения были найдены для q, равного двум и трем, а существуют частичные решения и для более высоких q также . Общие многоинстантонные решения могут быть аппроксимированы только с использованием аппроксимации долины: каждый начинается с определенного анзаца (обычно суммы требуемого числа инстантонов) и численно минимизирует действие при заданном ограничении (сохраняя количество инстантонов и размеры константы инстантонов).

Существуют также решения, которые не являются самодвойственными. Это не локальные минимумы действия, а соответствующие седловым точкам.

Инстантоны также тесно связаны с меронами , сингулярные недвойственные решения евклидовых уравнений поля Янга–Миллса топологического заряда 1/2. Считается, что инстантоны состоят из двух меронов.

См. также

• Инстантон
• Есть
• Монополь Ву – Янга