Разрывы монотонных функций

В математической области анализа известная теорема описывает множество разрывов монотонной вещественной функции действительной переменной; все разрывы такой (монотонной) функции обязательно являются скачкообразными и их не более чем счетное число .

Обычно эта теорема появляется в литературе без названия. она называется теоремой Фроды В некоторых недавних работах ; в своей диссертации 1929 года Александру Фрода заявил, что результат был ранее хорошо известен, и для удобства предоставил собственное элементарное доказательство. Предыдущие работы по разрывам уже обсуждались в мемуарах французского математика Жана Гастона Дарбу в 1875 году .

Определения

Обозначим предел слева через

$$f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x-h)$$

и обозначим предел справа через

$$f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).$$

Если $f\left(x^{+}\right)$ и $f\left(x^{-}\right)$ существуют и конечны, то разница $f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)$ называется прыжком из $f$ в $x.$

Рассмотрим вещественную функцию $f$ реальной переменной $x$ определенный в окрестности точки $x.$ Если $f$ разрывен в точке $x$ тогда разрыв будет устранимым разрывом , или существенным разрывом , или скачкообразным разрывом (называемым также разрывом первого рода ). Если функция непрерывна при $x$ затем прыжок на $x$ равен нулю. Более того, если $f$ не является непрерывным в $x,$ скачок может быть равен нулю при $x$ если $f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).$

Точное утверждение

Позволять $f$ быть вещественной монотонной функцией, определенной на интервале $I.$ Тогда множество разрывов первого рода не более чем счетно .

Можно доказать что все точки разрыва монотонной вещественной функции, определенной на отрезке, являются скачкообразными разрывами и, следовательно, по нашему определению, первого рода. Благодаря этому замечанию теорема принимает более сильную форму:

Позволять $f$ — монотонная функция, определенная на интервале $I.$ Тогда множество разрывов не более чем счетно.

Доказательства

Это доказательство начинается с доказательства частного случая, когда областью определения функции является замкнутый и ограниченный интервал. $[a,b].$ Доказательство общего случая следует из этого частного случая.

Доказательство того, что домен закрыт и ограничен

Даны два доказательства этого частного случая.

Доказательство 1

Позволять $I:=[a,b]$ быть интервалом и пусть $f:I\to \mathbb {R}$ быть неубывающей функцией (например, возрастающей функцией).Тогда для любого $a<x<b,$

$$f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).$$

Позволять $\alpha >0$ и пусть $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}$ быть $n$ точки внутри $I$ при котором прыжок $f$ больше или равно $\alpha$:

$$f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n$$

Для любого $i=1,2,\ldots ,n,$ $f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)$ так что $f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.$Следовательно,

$${\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}$$

и, следовательно, $n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.$

С $f(b)-f(a)<\infty$ мы имеем, что количество точек, в которых скачок больше, чем $\alpha$ конечен (возможно, даже равен нулю).

Определите следующие наборы:

$$S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},$$

$$S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.$$

Каждый набор $S_{n}$ конечно или пустое множество . Союз $S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}$ содержит все точки, в которых скачок положителен, и, следовательно, содержит все точки разрыва. Поскольку каждый $S_{i},\ i=1,2,\ldots$ не более чем счетно, их объединение $S$ также не более чем счетно.

Если $f$ не возрастает (или убывает ), то доказательство аналогично. Это завершает доказательство частного случая, когда областью определения функции является замкнутый и ограниченный интервал. $\blacksquare$

Доказательство 2

Так что пусть $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ является монотонной функцией и пусть $D$ обозначим множество всех точек $d\in [a,b]$ в области $f$ на котором $f$ разрывно (что обязательно является скачком).

Потому что $f$ имеет скачок при $d\in D,$ $f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)$ значит, существует некоторое рациональное число $y_{d}\in \mathbb {Q}$ что лежит строго посередине $f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)$ (в частности, если $f\nearrow$ тогда выбери $y_{d}\in \mathbb {Q}$ так что $f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)$ в то время как если $f\searrow$ тогда выбери $y_{d}\in \mathbb {Q}$ так что $f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)$ держится).

Теперь будет показано, что если $d,e\in D$ различны, скажем, с $d<e,$ затем $y_{d}\neq y_{e}.$Если $f\nearrow$ затем $d<e$ подразумевает $f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)$ так что $y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.$Если с другой стороны $f\searrow$ затем $d<e$ подразумевает $f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)$ так что $y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.$В любом случае, $y_{d}\neq y_{e}.$

Таким образом, каждый $d\in D$ связано с уникальным рациональным числом (иными словами, отображение $D\to \mathbb {Q}$ определяется $d\mapsto y_{d}$ является инъективным ).С $\mathbb {Q}$ счетно, то же самое должно быть верно и для $D.$$\blacksquare$

Доказательство общего случая

Предположим, что область $f$ (монотонная вещественная функция) равна объединению счетного числа замкнутых и ограниченных интервалов; скажем, его домен $\bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]$ (к этим замкнутым и ограниченным интервалам не предъявляются никакие требования ).Из доказанного выше частного случая следует, что для любого индекса $n,$ ограничение ​ $f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R}$ из $f$ к интервалу $\left[a_{n},b_{n}\right]$ имеет не более счетного числа разрывов; обозначим это (счетное) множество разрывов через $D_{n}.$Если $f$ имеет разрыв в какой-то точке $x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]$ в своей области, то либо $x_{0}$ равен конечной точке одного из этих интервалов (т. е. $x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}$) или существует некоторый индекс $n$ такой, что $a_{n}<x_{0}<b_{n},$ в этом случае $x_{0}$ должно быть точкой разрыва $f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}$ (то есть, $x_{0}\in D_{n}$).Таким образом, набор $D$ всех точек, в которых $f$ является разрывным, является подмножеством $\left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},$ которое является счетным множеством (поскольку оно представляет собой объединение счетного числа счетных множеств), так что его подмножество $D$ также должно быть счетным (поскольку каждое подмножество счетного множества счетно).

В частности, поскольку каждый интервал (включая открытые интервалы и полуоткрытые/закрытые интервалы) действительных чисел можно записать как счетное объединение замкнутых и ограниченных интервалов, отсюда следует, что любая монотонная вещественная функция, определенная на интервале, имеет не более чем счетное число. много разрывов.

Чтобы сделать этот аргумент более конкретным, предположим, что область $f$ это интервал $I$ который не замкнут и ограничен (и, следовательно, по теореме Гейне–Бореля не компактен ).Тогда интервал можно записать как счетное объединение замкнутых и ограниченных интервалов. $I_{n}$ со свойством, что любые два последовательных интервала имеют конечную точку : общую $I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.$Если $I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty$ затем $I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots$ где $\left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ строго убывающая последовательность такая, что $\alpha _{n}\rightarrow a.$ Аналогичным образом, если $I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty$ или если $I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .$В любом интервале $I_{n},$ существует не более чем счетное число точек разрыва, а поскольку счетное объединение не более чем счетных множеств не более чем счетно, отсюда следует, что множество всех разрывов не более чем счетно. $\blacksquare$

Функции перехода

Примеры. Пусть x ₁ < x ₂ < x ₃ < ⋅⋅⋅ — счетное подмножество компактного интервала [ a , b ] и пусть µ ₁ , µ ₂ , µ ₃ , ... — положительная последовательность с конечной суммой. Набор

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)$

х _А обозначает характеристическую функцию компактного интервала А. где Тогда f — неубывающая функция на [ a , b ], которая непрерывна, за исключением скачкообразных разрывов в точке x _n для n ≥ 1. В случае конечного числа скачкообразных разрывов f — ступенчатая функция . Приведенные выше примеры представляют собой обобщенные ступенчатые функции; они представляют собой весьма частные случаи так называемых функций скачка или скачкообразных функций.

В более общем плане анализ монотонных функций изучали многие математики, начиная с Абеля, Жордана и Дарбу. Следуя Riesz & Sz.-Nagy (1990) , при необходимости заменяя функцию ее отрицательной, следует рассматривать только случай неотрицательных неубывающих функций. Область [ a , b ] может быть конечной или иметь концы ∞ или −∞.

Основная задача — построить монотонные функции — обобщающие ступенчатые функции — с разрывами в заданном счетном множестве точек и с заданными левым и правым разрывами в каждой из этих точек.Пусть x _n ( n ≥ 1) лежит в ( a , b ) и возьмем λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... и µ ₁ , µ ₂ , µ ₃ , ... неотрицательные с конечной суммой и с λ _n + µ _n > 0 для каждого n . Определять

$f_{n}(x)=0\,\,$ для $\,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,$ для $\,\,x>x_{n}.$

Тогда функция скачка или скачкообразная функция , определяемая формулой

$f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},$

не убывает на [ a , b ] и непрерывен, за исключением скачкообразных разрывов в точке x _n для n ≥ 1.

Чтобы доказать это, заметим, что sup | ж _п | = λ _n + μ _n , так что Σ f _n сходится равномерно к f . Переходя к пределу, отсюда следует, что

$f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,$ и $\,\,f(x\pm 0)=f(x)$

если x не является одним из x _n .

Наоборот, по теореме Лебега о дифференцировании функция скачка f однозначно определяется свойствами: (1) быть неубывающим и неположительным; (2) имея данные о скачках в точках разрыва x _n ; (3) удовлетворяющие граничному условию f ( a ) = 0; имеющую нулевую производную и (4) почти всюду .

show Доказательство того, что функция скачка почти всюду имеет нулевую производную.

Property (4) can be checked following Riesz & Sz.-Nagy (1990), Rubel (1963) and Komornik (2016). Without loss of generality, it can be assumed that f is a non-negative jump function defined on the compact [a,b], with discontinuities only in (a,b). Note that an open set U of (a,b) is canonically the disjoint union of at most countably many open intervals Im; that allows the total length to be computed ℓ(U)= Σ ℓ(Im). Recall that a null set A is a subset such that, for any arbitrarily small ε' > 0, there is an open U containing A with ℓ(U) < ε'. A crucial property of length is that, if U and V are open in (a,b), then ℓ(U) + ℓ(V) = ℓ(U ∪ V) + ℓ(U ∩ V). It implies immediately that the union of two null sets is null; and that a finite or countable set is null. Proposition 1. For c > 0 and a normalised non-negative jump function f, let Uc(f) be the set of points x such that ${f(t)-f(s) \over t-s}>c$ for some s, t with s < x < t. ThenUc(f) is open and has total length ℓ(Uc(f)) ≤ 4 c−1 (f(b) – f(a)). Note that Uc(f) consists the points x where the slope of h is greater that c near x. By definition Uc(f) is an open subset of (a, b), so can be written as a disjoint union of at most countably many open intervals Ik = (ak, bk). Let Jk be an interval with closure in Ik and ℓ(Jk) = ℓ(Ik)/2. By compactness, there are finitely many open intervals of the form (s,t) covering the closure of Jk. On the other hand, it is elementary that, if three fixed bounded open intervals have a common point of intersection, then their union contains one of the three intervals: indeed just take the supremum and infimum points to identify the endpoints. As a result, the finite cover can be taken as adjacent open intervals (sk,1,tk,1), (sk,2,tk,2), ... only intersecting at consecutive intervals. Hence $\ell (J_{k})\leq \sum _{m}(t_{k,m}-s_{k,m})\leq \sum _{m}c^{-1}(f(t_{k,m})-f(s_{k,m}))\leq 2c^{-1}(f(b_{k})-f(a_{k})).$ Finally sum both sides over k. Proposition 2. If f is a jump function, then f '(x) = 0 almost everywhere. To prove this, define $Df(x)=\limsup _{s,t\rightarrow x,\,\,s<x<t}{f(t)-f(s) \over t-s},$ a variant of the Dini derivative of f. It will suffice to prove that for any fixed c > 0, the Dini derivative satisfies Df(x) ≤ c almost everywhere, i.e. on a null set. Choose ε > 0, arbitrarily small. Starting from the definition of the jump function f = Σ fn, write f = g + h with g = Σn≤N fn and h = Σn>N fn where N ≥ 1. Thus g is a step function having only finitely many discontinuities at xn for n ≤ N and h is a non-negative jump function. It follows that Df = g' +Dh = Dh except at the N points of discontinuity of g. Choosing N sufficiently large so that Σn>N λn + μn < ε, it follows that h is a jump function such that h(b) − h(a) < ε and Dh ≤ c off an open set with length less than 4ε/c. By construction Df ≤ c off an open set with length less than 4ε/c. Now set ε' = 4ε/c — then ε' and c are arbitrarily small and Df ≤ c off an open set of length less than ε'. Thus Df ≤ c almost everywhere. Since c could be taken arbitrarily small, Df and hence also f ' must vanish almost everywhere.

Как объяснено в работе Riesz & Sz.-Nagy (1990) , каждая неубывающая неотрицательная функция F может быть однозначно разложена как сумма функции скачка f и непрерывной монотонной функции g : функция скачка f строится с использованием данные скачка исходной монотонной функции F , и легко проверить, что g = F − f является непрерывным и монотонным.

См. также

• Непрерывная функция – математическая функция без резких изменений.
• Ограниченная вариация - действительная функция с конечной полной вариацией.
• Монотонная функция

Библиография

• Апостол, Том М. (1957). Математический анализ: современный подход к углубленному исчислению . Аддисон-Уэсли . стр. 162–163. МР   0087718 .
• Боас, Ральф П. младший (1961). «Дифференцируемость прыжковых функций» (PDF) . Коллок. Математика . 8 : 81–82. дои : 10.4064/см-8-1-81-82 . МР   0126513 .
• Боас, Ральф П. младший (1996). «22. Монотонные функции». Букварь реальных функций . Карус Математические монографии. Том. 13 (Четвертое изд.). МАА . стр. 158–174. ISBN  978-1-61444-013-0 . (требуется подписка)
• Беркилл, Дж. К. (1951). Интеграл Лебега . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 40. Издательство Кембриджского университета . МР   0045196 .
• Эдгар, Джеральд А. (2008). «Топологическое измерение». Мера, топология и фрактальная геометрия . Тексты для студентов по математике (второе изд.). Спрингер-Верлаг . стр. 85–114. ISBN  978-0-387-74748-4 . МР   2356043 .
• Гельбаум, Бернард Р .; Олмстед, Джон М.Х. (1964), «18: Монотонная функция, точки разрыва которой образуют произвольное счетное (возможно, плотное) множество» , «Контрпримеры в анализе» , The Mathesis Series, Сан-Франциско, Лондон, Амстердам: Холден-Дэй, стр. 28, МР   0169961 ; перепечатано Дувром, 2003 г.
• Хобсон, Эрнест В. (1907). Теория функций действительного переменного и их ряды Фурье . Издательство Кембриджского университета . п. 245.
• Коморник, Вилмос (2016). «4. Монотонные функции». Лекции по функциональному анализу и интегралу Лебега . Университеттекст. Спрингер-Верлаг . стр. 151–164. ISBN  978-1-4471-6810-2 . МР   3496354 .
• Липинский, Дж. С. (1961). «Простое доказательство теоремы о производной функции скачков» (PDF) . Коллок. Математика. (на французском языке). 8 (2): 251–255. дои : 10,4064/см-8-2-251-255 . МР   0158036 .
• Лоясевич, Станислав (1988). «1. Функции ограниченной вариации». Введение в теорию действительных функций . Перевод Г.Х. Лоудена (Третье изд.). Чичестер: Джон Уайли и сыновья . стр. 10–30. ISBN  0-471-91414-2 . МР   0952856 .
• Натансон, Исидор П. (1955), «III. Функции конечной вариации. Интеграл Стилтьеса», Теория функций действительной переменной , том. 1, перевод Лео Ф. Борона, Нью-Йорк: Фредерик Унгар, стр. 204–206, MR   0067952.
• Николеску, М .; Динкуляну, Н.; Маркус, С. (1971), Математический анализ (на румынском языке), том I (4-е изд.), Бухарест: Didactică si Pedagogica, стр. 783, MR   0352352.
• Олмстед, Джон М.Х. (1959), Действительные переменные: введение в теорию функций , Серия по математике Appleton-Century, Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts, упражнение 29, с. 59, МР   0117304
• Рисс, Фридьес ; Сз.-Надь, Бела (1990). «Сальтусные функции». Функциональный анализ . Перевод Лео Ф. Борона. Дуврские книги. стр. 13–15. ISBN  0-486-66289-6 . МР   1068530 . Перепечатка оригинала 1955 года.
• Сакс, Станислав (1937). «III. Функции ограниченной вариации и интеграл Лебега-Стилтьеса» (PDF) . Теория интеграла . Монография Математическая. Том. VII. Перевод Л. К. Янга. Нью-Йорк: GE Stechert. стр. 96–98.
• Рубель, Ли А. (1963). «Дифференцируемость монотонных функций» (PDF) . Коллок. Математика . 10 (2): 277–279. дои : 10,4064/см-10-2-277-279 . МР   0154954 .
• Рудин, Уолтер (1964), Принципы математического анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, MR   0166310
• фон Нейман, Джон (1950). «IX. Монотонные функции». Функциональные операторы. I. Меры и интегралы . Анналы математических исследований. Том. 21. Издательство Принстонского университета . стр. 63–82. дои : 10.1515/9781400881895 . ISBN  978-1-4008-8189-5 . МР   0032011 .
• Янг, Уильям Генри; Янг, Грейс Чисхолм (1911). «О существовании дифференциального коэффициента» . Учеб. Лондонская математика. Соц. 2. 9 (1): 325–335. дои : 10.1112/plms/s2-9.1.325 .