Интегральный тест на сходимость

В математике интегральный тест на сходимость — это используемый для проверки бесконечных рядов членов монотонных сходимости . метод , Он был разработан Колином Маклореном и Огюстеном-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена-Коши .

Постановка теста

Рассмотрим целое число $N$ и функцию $f,$ определенную на неограниченном интервале $[N, \infty)$ , на котором она монотонно убывает . Тогда бесконечный ряд

\sum _{n=N}^{\infty }f(n)

сходится к действительному числу тогда и только тогда, когда несобственный интеграл

\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx

конечно. В частности, если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Примечание

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство также дает нижнюю и верхнюю оценки

\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx

( 1 )

для бесконечной серии.

Обратите внимание, что если функция $f(x)$ возрастает, то функция $-f(x)$ убывает, и приведенная выше теорема применима.

Во многих учебниках требуется функция $f$ быть позитивным, ^[1]^[2]^[3] но это условие на самом деле не является необходимым. С каких пор $f$ является отрицательным и убывает, оба $\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$ и $\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$ расходится, как обсуждалось в разделе Mathematics Stack Exchange. ^[4]

Доказательство

Доказательство в основном использует тест сравнения , сравнивая член $f (n)$ с интегралом $f$ по интервалам. $[n - 1, n)$ и $[n, n + 1)$ соответственно.

Монотонная функция $f$ непрерывен . почти всюду Чтобы показать это, позвольте $D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}$ . Для каждого $x\in D$ , существует плотности по $\mathbb {Q}$ а $c(x)\in \mathbb {Q}$ так что $c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]$ . Заметим, что это множество содержит открытый непустой интервал именно тогда, когда $f$ является прерывистым в $x$ . Мы можем однозначно идентифицировать $c(x)$ как рациональное число , имеющее наименьший индекс в перечислении $\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ и удовлетворяет указанному выше свойству. С $f$ монотонно , это определяет инъективное отображение $c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)$ и таким образом $D$ является счетным . Отсюда следует, что $f$ непрерывен . почти всюду Этого достаточно для интегрируемости по Риману . ^[5]

Поскольку $f$ — монотонно убывающая функция, мы знаем, что

f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )

и

f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].

Следовательно, для любого целого $n \geq N$ числа

\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)

( 2 )

и для каждого целого числа $n \geq N +$ 1

f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.

( 3 )

Суммируя по всем $n$ от $N$ до некоторого большего целого числа $M$ , получаем из ( 2 )

\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)

и из ( 3 )

\sum _{n=N}^{M}f(n)=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.

Объединение этих двух оценок дает

\int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.

Позволяя $M$ стремиться к бесконечности, получаем оценки в ( 1 ) и результат.

Приложения

Гармонический ряд

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}

расходится, потому что, используя натуральный логарифм , его первообразную и основную теорему исчисления , мы получаем

\int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .

С другой стороны, сериал

\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}

(см. дзета-функция Римана )сходится для любого $ε > 0$ , поскольку по степенному правилу

\int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.

Из ( 1 ) получаем верхнюю оценку

\zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},

которую можно сравнить с некоторыми конкретными значениями дзета-функции Римана .

Граница между дивергенцией и конвергенцией

Приведенные выше примеры с участием гармонических рядов поднимают вопрос о том, существуют ли монотонные последовательности такие, что $f (n)$ убывает до 0 быстрее, чем $1/ n,$ но медленнее, чем $1/ n. 1+ е$ в том смысле, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty

для каждого $ε > 0$ и расходится ли по-прежнему соответствующий ряд $f (n)$ . Как только такая последовательность найдена, можно задать аналогичный вопрос, взяв на $/ себя роль 1$ n $и так$ далее. Таким образом можно исследовать границу между расходимостью и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный тест на сходимость, можно показать (см. ниже), что для любого натурального числа $k$ ряд

\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}

( 4 )

все еще расходится (ср. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится при $k = 1$ ), но

\sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}

( 5 )

сходится для любого $ε > 0$ . Здесь $ln k$ обозначает $k$ -кратную композицию натурального логарифма, определенную рекурсивно формулой

\ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}

Кроме того, $N k$ обозначает наименьшее натуральное число такое, что $k$ -кратная композиция определена корректно и $ln k (N k) \geq 1$ , т.е.

N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k

используя тетрацию или обозначение Кнута со стрелкой вверх .

Чтобы увидеть расходимость ряда ( 4 ) с помощью интегрального теста, заметим, что при многократном применении цепного правила

{\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},

следовательно

\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .

Чтобы увидеть сходимость ряда ( 5 ), обратите внимание, что по степенному правилу , цепному правилу и приведенному выше результату

-{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},

следовательно

\int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty

и ( 1 ) дает оценки бесконечного ряда в ( 5 ).

См. также

Ссылки

Кнопп, Конрад , «Бесконечные последовательности и ряды», Dover Publications , Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
Уиттакер, Э.Т., и Уотсон, Дж.Н., Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43). ISBN 0-521-58807-3
Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гюльбенкян, 1987 год, ISBN 972-31-0179-3

^ Стюарт, Джеймс; Клегг, Дэниел; Уотсон, Салим (2021). Исчисление: метрическая версия (9-е изд.). Сенгаге. ISBN 9780357113462 .
^ Уэйд, Уильям (2004). Введение в анализ (3-е изд.). Пирсон Образование. ISBN 9780131246836 .
^ Томас, Джордж; Хасс, Джоэл; Привет, Кристофер; Вейр, Морис; Сулета, Хосе Луис (2018). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (14-е изд.). Пирсон Образование. ISBN 9781292253114 .
^ savemycalculus. «Почему для применения интегрального теста он должен быть положительным и уменьшающимся?» . Математический обмен стеками . Проверено 11 марта 2020 г.
^ Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 43 (7): 396–398. дои : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1] Стюарт, Джеймс; Клегг, Дэниел; Уотсон, Салим (2021). Исчисление: метрическая версия (9-е изд.). Сенгаге. ISBN 9780357113462 .

[2] Уэйд, Уильям (2004). Введение в анализ (3-е изд.). Пирсон Образование. ISBN 9780131246836 .

[3] Томас, Джордж; Хасс, Джоэл; Привет, Кристофер; Вейр, Морис; Сулета, Хосе Луис (2018). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (14-е изд.). Пирсон Образование. ISBN 9781292253114 .

[4] savemycalculus. «Почему для применения интегрального теста он должен быть положительным и уменьшающимся?» . Математический обмен стеками . Проверено 11 марта 2020 г.

[5] Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега интегрируемости по Риману». Американский математический ежемесячник . 43 (7): 396–398. дои : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]