Периодическая точка

В математике при изучении повторяющихся функций и динамических систем периодическая точка функции — это точка , в которую система возвращается после определенного количества итераций функции или определенного промежутка времени.

Итерированные функции

Учитывая отображение f из множества X в себя,

$f:X\to X,$

Точка x в X называется периодической точкой, если существует такое n > 0, что

$\ f_{n}(x)=x$

где f _n итерация n я — f . - Наименьшее положительное целое число n, удовлетворяющее вышеизложенному, называется простым периодом или наименьшим периодом точки x . Если каждая точка в X является периодической точкой с одинаковым периодом n , то f называется периодической с периодом n (это не следует путать с понятием периодической функции ).

Если существуют различные n и m такие, что

$f_{n}(x)=f_{m}(x)$

тогда x называется предпериодической точкой . Все периодические точки предпериодичны.

Если f — диффеоморфизм , дифференцируемого многообразия так что производная $f_{n}^{\prime }$ определена, то говорят, что периодическая точка является гиперболической , если

$|f_{n}^{\prime }|\neq 1,$

что это привлекательно, если

$|f_{n}^{\prime }|<1,$

и это отталкивает, если

$|f_{n}^{\prime }|>1.$

Если размерность устойчивого многообразия периодической точки или неподвижной точки равна нулю, точка называется источником ; если размерность его неустойчивого многообразия равна нулю, оно называется стоком ; и если и устойчивое, и неустойчивое многообразие имеют ненулевую размерность, оно называется седловой или седловой точкой .

Примеры

Точка периода один называется фиксированной точкой .

Логистическая карта

$$x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4$$

проявляет периодичность для различных значений параметра r . Для r между 0 и 1 0 является единственной периодической точкой с периодом 1 (давая последовательность 0, 0, 0,…, которая притягивает все орбиты). Для r между 1 и 3 значение 0 все еще является периодическим, но не притягивает, а значение ${\tfrac {r-1}{r}}$ является притягивающей периодической точкой периода 1. С r больше 3, но меньше ⁠ $1+{\sqrt {6}},$⁠ существует пара точек периода 2, которые вместе образуют притягивающую последовательность, а также непритягивающие точки периода 1 0 и ${\tfrac {r-1}{r}}.$ При увеличении значения параметра r к 4 возникают группы периодических точек с любым целым положительным числом за период; для некоторых значений r одна из этих повторяющихся последовательностей притягивает, а для других ни одна из них не притягивает (при этом почти все орбиты хаотичны).

Динамическая система

Учитывая реальную глобальную динамическую систему ⁠ $(\mathbb {R} ,X,\Phi ),$⁠ где X — фазовое пространство , а Φ — функция эволюции ,

$\Phi :\mathbb {R} \times X\to X$

точка x в X называется периодической с периодом T, если

$\Phi (T,x)=x\,$

Наименьший положительный T, обладающий этим свойством, называется простым периодом точки x .

Характеристики

• Учитывая периодическую точку x с периодом T , тогда $\Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)$ для всех t в ⁠ $\mathbb {R} .$⁠
• Если задана периодическая точка x , то все точки на орбите от γ _x до x являются периодическими с одним и тем же простым периодом.

См. также

• Предельный цикл
• Установлен лимит
• Стабильный набор
• Теорема Шарковского
• Стационарная точка
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений

Эта статья включает в себя материал из гиперболической фиксированной точки из PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .