Теорема Шарковского

В математике , теорема Шарковского также пишется как Шарковский , Шарковский ( Шарковский или Сарковский ), названная в честь Александра Николаевича Шарковского , опубликовавшего ее в 1964 году, является результатом о дискретных динамических системах . ^{[ 1 ]} Одно из следствий теоремы состоит в том, что если дискретная динамическая система на действительной прямой имеет периодическую точку периода 3, то она должна иметь периодические точки любого другого периода.

Заявление

За некоторый интервал $I\subset \mathbb {R}$ , предположим, что $f:I\to I$ является непрерывной функцией . Число $x$ называется периодической точкой периода $m$ если $f^{(m)}(x)=x$ , где $f^{(m)}$ обозначает итерированную функцию, полученную композицией $m$ копии $f$ . Число $x$ говорят, что он имеет наименьший период $m$ если, кроме того, $f^{(k)}(x)\neq x$ для всех $0<k<m$ . Теорема Шарковского касается возможных наименьших периодов периодических точек $f$ . Рассмотрим следующий порядок натуральных чисел , иногда называемый порядком Шарковского: ^{[ 2 ]} ${\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}$

Он состоит из:

нечетные числа $=(2n+1)\cdot 2^{0}$ в порядке возрастания ,
в 2 раза больше нечетных чисел $=(2n+1)\cdot 2^{1}$ в порядке возрастания ,
В 4 раза больше нечетных чисел $=(2n+1)\cdot 2^{2}$ в порядке возрастания ,
В 8 раз больше нечетных чисел $=(2n+1)\cdot 2^{3}$ ,
и т. д. $=(2n+1)\cdot 2^{m}$
наконец, степени двойки $=2^{n}$ в порядке убывания .

Этот порядок представляет собой полный порядок : каждое положительное целое число появляется где-то в этом списке ровно один раз. Однако это не очень хороший порядок . В правильном порядке каждое подмножество будет иметь самый ранний элемент, но в этом порядке нет самой ранней степени двойки.

Теорема Шарковского утверждает, что если $f$ имеет периодическую точку наименьшего периода $m$ , и $m$ предшествует $n$ в приведенном выше порядке, тогда $f$ имеет также периодическую точку наименьшего периода $n$ .

Одним из последствий является то, что если $f$ имеет лишь конечное число периодических точек, то все они должны иметь периоды, являющиеся степенями двойки. Более того, если существует периодическая точка третьего периода, то существуют и периодические точки всех остальных периодов.

Теорема Шарковского не утверждает, что существуют устойчивые циклы этих периодов, а лишь утверждает, что существуют циклы этих периодов. Для таких систем, как логистическая карта , бифуркационная диаграмма показывает диапазон значений параметров, для которого, видимо, единственный цикл имеет период 3. На самом деле там должны быть циклы всех периодов, но они не устойчивы и поэтому не видны на схеме. компьютерная картинка.

Предположение о непрерывности имеет важное значение. Без этого предположения разрывная кусочно-линейная функция $f:[0,3)\to [0,3)$ определяется как: $f:x\mapsto {\begin{cases}x+1&\mathrm {for\ } 0\leq x<2\\x-2&\mathrm {for\ } 2\leq x<3\end{cases}}$ для которого каждое значение имеет период 3, будет контрпримером. Столь же существенным является предположение о $f$ определяется на интервале. В противном случае $f:x\mapsto (1-x)^{-1}$ , который определен для действительных чисел, кроме одного: $\mathbb {R} \setminus \{1\},$ и для которого каждое ненулевое значение имеет период 3, будет контрпримером.

Обобщения и связанные с ними результаты

Шарковский доказал также обратную теорему: каждое верхнее множество указанного порядка является множеством периодов некоторой непрерывной функции от интервала к самому себе. Фактически все такие наборы периодов достигаются семейством функций $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ , $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ для $h\in [0,1]$ , за исключением пустого набора периодов, который достигается $T:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $x\mapsto x+1$ . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

С другой стороны, при наличии дополнительной информации о комбинаторной структуре карты интервалов, действующей на точки периодической орбиты, точка периода n может вызвать период 3 (и, следовательно, все периоды). А именно, если тип орбиты (циклическая перестановка, порожденная отображением, действующим на точки периодической орбиты) имеет так называемую растягивающуюся пару, то это подразумевает существование периодической точки периода-3. Можно показать (в асимптотическом смысле), что почти все циклические перестановки допускают хотя бы одну растягивающую пару, и, следовательно, почти все типы орбит подразумевают период-3. ^{[ 5 ]}

Тянь-Иен Ли и Джеймс А. Йорк показали в 1975 году, что существование цикла периода 3 не только подразумевает существование циклов всех периодов, но, кроме того, оно подразумевает существование несчетного бесконечного числа точек, которые никогда не отображаются в любой цикл ( хаотические точки ) — свойство, известное как третий период, подразумевает хаос . ^{[ 6 ]}

Теорема Шарковского не применима непосредственно к динамическим системам в других топологических пространствах. с периодическими точками только периода 3 несложно Найти карту круга : возьмем поворот, например, на 120 градусов. Но возможны некоторые обобщения, обычно включающие группу классов отображения пространства без периодической орбиты. Например, Питер Клоден показал, что теорема Шарковского справедлива для треугольных отображений, т. е. отображений, для которых компонента $зависит fi$ только от первых $i$ компонент $x 1,..., x i$ . ^{[ 7 ]}

Ссылки

^ Шарковский А. Н. (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.
^ К. Бернс, Б. Хассельблатт, « Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство » (2008). По состоянию на 3 февраля 2023 г.
^ Альседа, Л.; Ллибре, Дж.; Мисюревич, М. (2000). Комбинаторная динамика и энтропия в первом измерении . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-02-4053-0 .
^ Бернс, К.; Хассельблатт, Б. (2011). «Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство». Американский математический ежемесячник . 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.03.229 . S2CID 15523008 .
^ Лундберг, Эрик (2007). «Почти все типы орбит подразумевают период-3» . Топология и ее приложения . 154 (14): 2741–2744. дои : 10.1016/j.topol.2007.05.009 .
^ Ли, Тайвань; Йорк, Дж.А. (1975). «Третий период подразумевает хаос». Американский математический ежемесячник . 82 (10): 985–992. Бибкод : 1975AmMM...82..985L . дои : 10.1080/00029890.1975.11994008 . JSTOR 2318254 .
^ Клоден, ЧП (1979). «Об упорядочении сосуществования циклов Шарковского» . Бык. Австрал. Математика. Соц . 20 (2): 171–178. дои : 10.1017/S0004972700010819 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Шарковского» . Математический мир .
Теорема Шарковского в PlanetMath .
Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
Мисюревич, Михал (ноябрь 1997 г.). «Замечания к теореме Шарковского». Американский математический ежемесячник . 104 (9): 846–847.
Кейт Бернс и Борис Хассельблатт, Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство
scholarpedia: Sharkovsky ordering by Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky

[1] Шарковский А. Н. (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.

[2] К. Бернс, Б. Хассельблатт, « Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство » (2008). По состоянию на 3 февраля 2023 г.

[3] Альседа, Л.; Ллибре, Дж.; Мисюревич, М. (2000). Комбинаторная динамика и энтропия в первом измерении . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-02-4053-0 .

[4] Бернс, К.; Хассельблатт, Б. (2011). «Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство». Американский математический ежемесячник . 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.03.229 . S2CID 15523008 .

[5] Лундберг, Эрик (2007). «Почти все типы орбит подразумевают период-3» . Топология и ее приложения . 154 (14): 2741–2744. дои : 10.1016/j.topol.2007.05.009 .

[6] Ли, Тайвань; Йорк, Дж.А. (1975). «Третий период подразумевает хаос». Американский математический ежемесячник . 82 (10): 985–992. Бибкод : 1975AmMM...82..985L . дои : 10.1080/00029890.1975.11994008 . JSTOR 2318254 .

[7] Клоден, ЧП (1979). «Об упорядочении сосуществования циклов Шарковского» . Бык. Австрал. Математика. Соц . 20 (2): 171–178. дои : 10.1017/S0004972700010819 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]