Визуальное исчисление

Визуальное исчисление , изобретенное Мамиконом Мнацаканяном (известным как Мамикон), представляет собой подход к решению множества задач интегрального исчисления . ^[1] Многие задачи, которые в противном случае казались бы довольно сложными, поддаются решению с помощью метода, практически не требующего вычислений. Мамикон сотрудничал с Томом Апостолом над книгой « Новые горизонты в геометрии» 2013 года, описывающей эту тему.

Описание

Мамикон разработал свой метод в 1959 году, будучи студентом, впервые применив его к известной геометрической задаче: найти площадь кольца ( кольца ) по длине хорды, касательной к внутренней окружности. Возможно, это удивительно, но никакой дополнительной информации не требуется; решение не зависит от внутренних и внешних размеров кольца.

Традиционный подход включает в себя алгебру и применение теоремы Пифагора . Однако метод Мамикона предполагает альтернативную конструкцию кольца: сначала рисуется только внутренний круг, затем создается касательная постоянной длины, которая проходит по его окружности, «выметая» кольцо по мере своего движения.

Теперь, если все касательные (постоянной длины), использованные при построении кольца, переместить так, чтобы их точки касания совпали, в результате получится круглый диск известного радиуса (и легко вычислимой площади). В самом деле, поскольку радиус внутренней окружности не имеет значения, с тем же успехом можно было бы начать с окружности нулевого радиуса (точки) — а протягивание кольца вокруг окружности нулевого радиуса неотличимо от простого вращения отрезка линии вокруг одного из его конечные точки и очистка диска.

Идея Мамикона заключалась в том, чтобы признать эквивалентность двух конструкций; и поскольку они эквивалентны, они дают равные площади. Более того, две начальные кривые не обязательно должны быть круглыми — факт, который нелегко доказать более традиционными геометрическими методами. Это дает теорему Мамикона :

Площадь касательной развертки равна площади ее касательного кластера, независимо от формы исходной кривой.

Приложения

Площадь циклоиды

Площадь циклоиды можно вычислить, рассмотрев площадь между ней и окружающим прямоугольником. Все эти касательные можно объединить в круг. Если круг, образующий циклоиду, имеет радиус $r$ , то этот круг также имеет радиус $r$ и площадь $π r. 2$ . Площадь прямоугольника равна $2 r \times 2π r = 4π r. 2$ . Следовательно, площадь циклоиды равна $3π r 2$ : это в 3 раза больше площади образующего круга.

Касательную группу можно рассматривать как круг, поскольку циклоида создается окружностью, а касательная к циклоиде будет находиться под прямым углом к линии, ведущей от образующей точки к точке качения. Таким образом, касательная и линия, проходящая к точке контакта, образуют прямоугольный треугольник в образующей окружности. Это означает, что сгруппированные вместе касательные будут описывать форму образующего круга. ^[3]

См. также

Принцип Кавальери
Годограф . Это связанная конструкция, которая отображает скорость точки с помощью полярной диаграммы.
Метод механических теорем
Теорема Паппа о центроиде
Планиметр

Ссылки

^ Визуальное исчисление Мамикон Мнацаканян
^ Хаунспергер, Дина; Кеннеди, Стивен (2006). Край Вселенной: празднование десяти лет математических горизонтов . ISBN 9780883855553 . Проверено 9 мая 2017 г.
^ Апостол, Мнацаканян (2012). Новые горизонты в геометрии . Математическая ассоциация Америки. дои : 10.5948/9781614442103 . ISBN 9781614442103 .

Внешние ссылки

[1] Визуальное исчисление Мамикон Мнацаканян

[2] Хаунспергер, Дина; Кеннеди, Стивен (2006). Край Вселенной: празднование десяти лет математических горизонтов . ISBN 9780883855553 . Проверено 9 мая 2017 г.

[3] Апостол, Мнацаканян (2012). Новые горизонты в геометрии . Математическая ассоциация Америки. дои : 10.5948/9781614442103 . ISBN 9781614442103 .

[1]

[2]

[3]