Четверки Архимеда

В геометрии связанных четверки Архимеда — это четыре конгруэнтных круга, с арбелосом . Представленные Фрэнком Пауэром летом 1998 года, каждый из них имеет ту же площадь , что и круги-близнецы Архимеда , что делает их архимедовыми кругами . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Строительство

Арбелос образован тремя коллинеарными A , B и C тремя полукругами диаметрами AB точками , AC и BC . Пусть два меньших круга имеют радиусы r ₁ и r ₂ , откуда следует, что больший полукруг имеет радиус r = r ₁ + r ₂ . Пусть точки D и E будут центром и серединой соответственно полукруга радиуса r ₁ . Пусть H — середина прямой AC . Тогда две из четырех окружностей четверки касаются линии HE в точке E , а также касаются внешнего полукруга. Два других четверных круга образованы симметрично из полукруга радиусом r ₂ .

Доказательство соответствия

Согласно предложению 5 Архимеда « Книги лемм » , общий радиус двойных кругов Архимеда равен:

{\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r}}.

По теореме Пифагора :

\left(HE\right)^{2}=\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}.

Затем создайте две окружности с центрами J _i, , касающимися перпендикулярными HE большого полукруга в точке Li _, касающимися точки E , и с равными радиусами x . Используя теорему Пифагора :

\left(HJ_{i}\right)^{2}=\left(HE\right)^{2}+x^{2}=\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}+x^{2}

Также:

HJ_{i}=HL_{i}-x=r-x=r_{1}+r_{2}-x~

Объединение этих результатов дает:

\left(r_{1}\right)^{2}+\left(r_{2}\right)^{2}+x^{2}=\left(r_{1}+r_{2}-x\right)^{2}

Разложение, сбор в одну сторону и факторизация:

2r_{1}r_{2}-2x\left(r_{1}+r_{2}\right)=0

Решение относительно х :

x={\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}={\frac {r_{1}\cdot r_{2}}{r}}

Доказать, что площади каждой четверки Архимеда равны площади каждой из двойных окружностей Архимеда. ^{[ 4 ]}

Ссылки

^ Пауэр, Фрэнк (2005), «Еще несколько архимедовых кругов в Арбелосе» , Ю, Пол (редактор), Forum Geometricorum , vol. 5 (опубликовано 2 ноября 2005 г.), стр. 133–134, ISSN 1534-1178 , получено 13 апреля 2008 г.
^ Интернет-каталог архимедовых кругов.
^ Клейтон В. Додж, Томас Шох, Питер Ю. Ву, Пол Ю (1999). «Эти вездесущие архимедовы круги». PDF .
^ Богомольный, Александр . «Четверки Архимеда» . Архивировано из оригинала 12 мая 2008 года . Проверено 13 апреля 2008 г.

Еще материалы для чтения

Арбелос: Книга лемм, Цепочка Паппа, Круг Архимеда, Четверки Архимеда, Круги-близнецы Архимеда, Круг Банкоффа, С. ISBN 1156885493

[1] Пауэр, Фрэнк (2005), «Еще несколько архимедовых кругов в Арбелосе» , Ю, Пол (редактор), Forum Geometricorum , vol. 5 (опубликовано 2 ноября 2005 г.), стр. 133–134, ISSN 1534-1178 , получено 13 апреля 2008 г.

[2] Интернет-каталог архимедовых кругов.

[3] Клейтон В. Додж, Томас Шох, Питер Ю. Ву, Пол Ю (1999). «Эти вездесущие архимедовы круги». PDF .

[4] Богомольный, Александр . «Четверки Архимеда» . Архивировано из оригинала 12 мая 2008 года . Проверено 13 апреля 2008 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]