Биарк

Рис. 1

Бидуга образованная — это гладкая кривая, двумя дугами окружности . Чтобы сделать бидугу гладкой ( G ¹ непрерывно ), две дуги должны иметь одинаковую касательную в точке соединения, где они встречаются.

Биарки обычно используются в геометрическом моделировании и компьютерной графике . Их можно использовать для аппроксимации сплайнов и других плоских кривых , разместив две внешние конечные точки бидуги вдоль аппроксимируемой кривой с касательной, соответствующей кривой, а затем выбрав среднюю точку, которая лучше всего соответствует кривой. Этот выбор трех точек и двух касательных определяет уникальную пару дуг окружности, а геометрическое место средних точек, для которых эти две дуги образуют бидугу, само по себе является дугой окружности. В частности, чтобы таким образом аппроксимировать кривую Безье , среднюю точку бидуги следует выбрать как центр треугольника, образованного двумя конечными точками кривой Безье и точкой пересечения двух их касательных. В более общем смысле, можно аппроксимировать кривую гладкой последовательностью бидуг; использование большего количества бидуг в последовательности в целом улучшит близость аппроксимации к исходной кривой.

Примеры двудуговых кривых

1. В приведенных ниже примерах биарки $A(J)B$ стянуты аккордом $AB,$ и $J$ это точка соединения. Касательный вектор в начальной точке $A$ является $\mathbf {n} (\alpha )$, и $\mathbf {n} (\beta )$ это касательная в конечной точке $B:$
   $$\mathbf {n} (\alpha )=\left\|\cos \alpha ,\,\sin \alpha \right\|^{T},\quad \mathbf {n} (\beta )=\left\|\cos \beta ,\,\sin \beta \right\|^{T}.$$ ( 1 )
2. На рис. 2 показаны шесть примеров биарков. $AJB.$
   • Биарка 1 нарисована с $\alpha =100^{\circ },\;\beta =30^{\circ }.$ Биарки 2-6 есть $\alpha =100^{\circ },\;\beta =-30^{\circ }.$
   • В примерах 1, 2, 6 кривизна меняет знак, а точка соединения $J$ также является точкой перегиба. Биарка 3 включает в себя отрезок прямой $JB$.
   • Биарки 1–4 короткие в том смысле, что они не поворачиваются вблизи конечных точек. Альтернативно, бидуги 5,6 длинные : поворот возле одной из конечных точек означает, что они пересекают левое или правое дополнение хорды до бесконечной прямой.
   • Биарки 2–6 разделяют конечные касательные. Их можно найти в нижнем фрагменте рис. 3 среди семейства биарков с общими касательными.
3. На рис. 3 показаны два примера семейств бидуг, имеющих общие конечные точки и конечные касательные.
4. На рис. 4 показаны два примера семейств бидуг, имеющих общие конечные точки и конечные касательные, причем конечные касательные параллельны: $\alpha =\beta .$
5. На рис. 5 показаны конкретные семьи, в которых есть либо $|\alpha |=\pi$ или $|\beta |=\pi .$

Рис. 2. Примеры биарков

Рис. 3. Семейства биарков с общими касательными (два примера)

Рис. 4. Семейства биарков с параллельными касательными

Рис. 5. Семейства биарков с любым $|\alpha |=\pi$ или $|\beta |=\pi$

Различные цвета на рисунках 3, 4, 5 поясняются ниже как подсемейства. $\color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}$, $\color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$, $\color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$.В частности, для биарков, показанных коричневым цветом на затененном фоне ( линзоподобных или луноподобных ), справедливо следующее:

• общий поворот (угол поворота) кривой точно равен $\beta -\alpha$ (нет $\beta -\alpha \pm 2\pi$, что является поворотом для других биарков);
• $\operatorname {sgn}(\alpha +\beta )=\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})$: сумма $\alpha +\beta$ — угловая ширина линзы/луны, охватывающей бидугу, знак которой соответствует либо возрастающей (+1), либо уменьшению кривизны (−1) бидуги, согласно обобщенной теореме Фогта ( Теорема Фогта#Обобщение предложений ).

Семейство биарков с общими касательными

Семейство биарков с общими конечными точками. $A=(-c,0)$, $B=(c,0)$, а общие концевые касательные (1) обозначим как ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c),$ или, кратко, как ${\mathcal {B}}(p),$ $p$ является семейным параметром. Свойства Biarc описаны ниже в рамках статьи.

1. Построение бидуги возможно, если
   $$-\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,\quad -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi ,\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .$$ ( 2 )
2. Обозначим
   • $k_{1}$, $\theta _{1}$ и $L_{1}$ кривизна, угол поворота и длина дуги $AJ$:    $\theta _{1}=k_{1}L_{1}$;
   • $k_{2}$, $\theta _{2}$ и $L_{2}$ то же самое для дуги $JB$:    $\theta _{2}=k_{2}L_{2}$.
   Затем $$k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{where}}\quad \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}}$$(ввиду (2) , $\sin \omega \not =0$).Углы поворота: $$\theta _{1}(p)=2\arg \left(e^{-i\alpha }+p^{-1}{e^{-i\omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).$$
3. Местоположение точек соединения $J$ это круг $$X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{where}}\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}$$(показано пунктиром на рис.3, рис.5).Этот круг (прямая линия, если $\gamma =0$, рис.4) проходит через точки $A,B,$ касательная в $A$ существование $\mathbf {n} (\gamma ).$Биарги пересекают эту окружность под постоянным углом $-\omega .$
4. Касательный вектор к бидуге ${\mathcal {B}}(p)$ в точке соединения находится $\mathbf {n} \left(\tau _{{}_{J}}\right)$, где $$\tau _{\scriptscriptstyle J}(p)={-2}\arctan {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.$$
5. Биарки с $p=\pm 1$ иметь точку соединения на оси Y $(X_{J}=0),$ и получим минимальный скачок кривизны , $\min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,$ в $J.$
6. Вырожденные биарки – это:
   • Биарк ${\mathcal {B}}(0)$: как $p\to 0$, $J(p)\to A$, дуга $AJ$ исчезает.
   • Биарк ${\mathcal {B}}(\infty )$: как $p\to \pm \infty$, $J(p)\to B$, дуга $JB$ исчезает.
   • Прерывистая бидуга ${\mathcal {B}}(p^{\ast })$ включает прямую линию $AP_{\infty }J$ или $JP_{\infty }B,$ и проходит через бесконечную точку $P_{\infty }$: $$p^{\ast }={\begin{cases}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},&{\text{if}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0).\end{cases}}$$
   Затемненная линзообразная область на рис.3,4 ограничена бидугами. ${\mathcal {B}}(0),\,{\mathcal {B}}(\infty ).$ Он охватывает биарки с $p>0.$Прерывистая бидуга показана красной штрихпунктирной линией.
7. Вся семья ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$ можно разделить на три подсемейства невырожденных биарков: $${\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array}}$$Подсемейство ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ исчезает, если $p^{\ast }=0$   $(|\beta |=\pi ).$Подсемейство ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ исчезает, если $p^{\ast }=-\infty$ $(|\alpha |=\pi ).$На рисунках 3, 4, 5биарки $\color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}$ показаны коричневым цветом,биарки $\color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ в синем,и биарки $\color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ в зеленом цвете.

Ссылки

• Натборн, штат Аризона; Мартин, Р.Р. (1988). Дифференциальная геометрия применяется к дизайну кривых и поверхностей. Том 1: Основы . Эллис Хорвуд. ISBN  978-0132118224 .

Внешние ссылки

• Интерполяция Биарк